Wykad 13 Elementy Rachunku Prawdopodobiestwa styczen 2003 MAD

Wykład 13 Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa PJWSTK Grażyna Mirkowska, 1

O rachunku prawdopodobieństwa b Czym zajmuje się rachunek prawdopodobieństwa ? Badaniem praw rządzących zjawiskami przypadkowymi. Zastosowania: w zagadnieniach gospodarczych, wojskowych i naukowych styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 2

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne - pojęcie pierwotne teorii. Przykład 1 Doświadczenie polega na rzucie kostką sześcienną. Obserwujemy liczbę wyrzuconych oczek. Zdarzenie elementarne, to wi = „wyrzucono i oczek”. Wyrzucono jedno oczko. Wyrzucono 6 oczek. Zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych nazywamy przestrzenią zdarzeń. Ozn. . W rozważanym doświadczeniu jest 6 zdarzeń elementarnych. = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 3

Przykłady Przykład 2 Niech doświadczenie polega na rzucie monetą. Zdarzenia elementarne to O=„wyrzucono orła” i R=„wyrzucono reszkę” Przestrzeń zdarzeń elementarnych = {O, R}. Przykład 3 Rzucamy dwoma monetami. Możliwe sytuacje możemy scharakteryzować parą : wynik uzyskany na pierwszej monecie i wynik uzyskany na drugiej monecie. Czyli ={(O, O), (O, R), (R, O)}. Przykład 4 Na zawodach narciarskich każdy zawodnik oddaje 2 skoki. Wynik każdego skoku można uznać za zdarzenie losowe. Długość skoku mierzymy z dokładnością do 0. 5 m. Na rozważanej skoczni nie można oddać dłuższego skoku niż 140 m. = {(x, y): x długość pierwszego, a y długość drugiego skoku}= {0, 0. 5, 1, 1. 5, 2, . . . , 139. 5, 140}2 Przestrzeń zdarzeń składa się z 2812 zdarzeń elementarnych. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 4

Przykłady c. d. Przykład 5 Ocena końcowa z MAD zależy od liczby uzyskanych punktów z 2 sprawdzianów i z egzaminu. Przestrzenią zdarzeń elementarnych może być zbiór trójek (x, y, z), gdzie x, y są liczbami punktów uzyskanymi ze sprawdzianów a z liczbą punktów uzyskanych z egzaminu. = {(x, y, z) N 3: x 10, y 20, z 30} Taka przestrzeń zdarzeń ma 11*21*31 różnych elementów. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 5

Zdarzenia Definicja Zdarzenie to podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych. Przykład W doświadczeniu z rzutem jedną kostką sześcienną niech w 1, w 2, . . . w 6 oznaczają odpowiednio zdarzenia elementarne polegające na wyrzuceniu 1, 2. . . lub 6 oczek. = {wi : i=1, 2. . . 6}. Zdarzenie A=„wypadła liczba parzysta”, to podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych A={w 2, w 4, w 6}. Zdarzenie B=„ wypadło więcej niż 4 oczka”, zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wypadło 5 lub 6 oczek, czyli B={w 5, w 6}. Zdarzenie C=„wypadły co najwyżej 4 oczka”, zachodzi wttw, gdy wypadło 1 lub 2 lub 3 lub 4 oczka. C = {w 1, w 2, w 3, w 4}. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 6

Zdarzenia c. d. A oraz A = {a 1, . . . , an}. zdarzenia elmentarne sprzyjające zdarzeniu A Przykład W doświadczeniu polegającym na rzucie dwoma kostkami mamy = {wij : i, j=1, 2. . . 6}. Zdarzenie A=„co najmniej raz wypadła szóstka” , to podzbiór {w 6 i : i=1, 2. . . 6} {wi 6 : i=1, 2. . . 5}. Zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest 11. Zdarzenie B= „suma oczek wynosi 8”, to podzbiór {w 26 , w 35 , w 44 , w 53 , w 62 }. Jest tylko 5 zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu B. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 7

Przykłady zdarzeń Przykład W doświadczeniu z rzutem jedną kostką sześcienną niech = {wi : i=1, 2. . . 6}. Zdarzenie A=„wypadła liczba parzysta”, to podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych A={w 2, w 4, w 6}. Zdarzenie B=„ wypadły więcej niż 4 oczka”, zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wypadło 5 lub 6 oczek, czyli B={w 5, w 6}. Zdarzenie C=„liczba wyrzuconych oczek jest kwadratem liczby naturalnej”, zachodzi wttw, gdy wypadło 1 lub 4 oczka. C = {w 1, w 4}. Zdarzenie D=„liczba wyrzuconych oczek przystaje do 1 modulo 3, zachodzi wttw gdy liczba wyrzuconych oczek przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Czyli D = {w 1, w 4 }. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 8

Działania na zdarzeniach Na zdarzeniach wykonujemy takie same operacje jak na zbiorach. A= zdarzenie pewne wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjają temu zdarzeniu A= zdarzenie niemożliwe żadne zdarzenie elementarne nie sprzyjają temu zdarzeniu Powiemy, że dwa zdarzenia są identyczne jeśli mają te same zbiory sprzyjających zdarzeń elementarnych. Por. zdarzenia C i D z poprzedniego przykładu. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 9

c. d. Operacje na Zdarzeniach Przykład Doświadczenie z rzutem 2 kostkami sześciennymi. A =„suma oczek jest liczbą parzystą lub nieparzystą” Zdarzenia B =„w sumie wypadło co najwyżej 12 oczek” pewne zdarzenie niemożliwe C = „ w sumie wypadło 17 oczek” D = „iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą” zdarzenia E = „co najmniej na jednej kostce jest liczba parzysta” identyczne F = „wyrzucono co najmniej raz 6” G = „wyrzucono co najmniej raz 5” iloczyn tych zdarzeń to „suma wyrzuconych oczek wynosi 11” Zdarzenie F G jest realizowane przez zdarzenia elementarne {w 6 i: i=1, 2, 3, 4, 5, 6} {wi 6 : i=1, 2, 3, 4, 5} {w 5 i: i=1, 2, 3, 4, 5} {wi 5 : i=1, 2, 3, 4}. Jest 20 zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu F G. Zdarzenie „ani razu nie wystąpiła 6 ani 5” to zdarzenie -(F G)= {wij: i, j=1, 2, 3, 4}. Zdarzeń sprzyjających jest tu 16. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 10

Wykluczanie się zdarzeń Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywa się Zdarzeniu A’ zdarzenie A’= - A. sprzyjają tylko te zdarzenia elementarne, które nie należą do A Powiemy, że dwa zdarzenia A i B wykluczają się wttw A B = . W doświadczeniu polegającym na wylosowaniu Nie ma takich zdarzeń elementarnych, które kolejno ze zwracaniem 2 kart, zdarzenia sprzyjają równocześnie A= „wylosowano za każdym razem asa” i obu zdarzeniom B =„za drugim razem wylosowano dziesiątkę” są zdarzeniami wykluczającymi się. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 11

Pojęcie prawdopodobieństwa definicja Kołmogorowa Niech oznacza przestrzeń zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P określoną na zdarzeniach taką, że (1) P(A) 0 dla dowolnego zdarzenia A, (2) P(A B) = P(A) + P(B) dla dowolnych zdarzeń A, B wykluczających się, (3) P( ) = 1. Uwaga Prawdopodobieństwo jest teoretycznym odpowiednikiem pojęcia częstości. Jeżeli zdarzenia A 1, A 2, . . . An wykluczają się parami, to P(A 1 . . . An) = P(A 1) + P(A 2) +. . . + P(An). Dowód przez indukcje ze względu na n. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 12

Obliczanie prawdopodobieństw Niech = {w 1, w 2, . . . wn} i załóżmy, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, P(wi) = p. Na mocy poprzedniego twierdzenia mamy: P( ) = P({w 1, w 2, . . . wn}) = P({w 1} { w 2} . . . {wn} ) = P(w 1) + P( w 2) +. . . +P(wn) = n*p. Stąd p = 1/n. Podobnie, jeśli rozważymy dowolne zdarzenie A = {wi 1, wi 2, . . . wik}, to P(A) = P({wi 1, wi 2, . . . wik}) = P({wi 1} { wi 2} . . . {wik} ) = P(wi 1) + P( wi 2) +. . . +P(wik) = k*p. Stąd P(A) = k/n Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i liczby zdarzeń elementarnych w rozważanej przestrzeni, o ile zdarzenia elementarne wykluczają się parami. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 13

Przykład 1 Rzut dwiema kostkami. (a) A =„na obu kostkach wypadło 6 oczek” (b) B = „suma wyrzuconych oczek wynosi 10” (c) C = „suma wyrzuconych oczek wynosi 7” Przestrzeń zdarzeń elementarnych ma 36 elementów. A={(6, 6)} więc P(A)= 1/36. B= {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}, więc P(B) = 3/36 =1/12. Przestrzeń zdarzeń elementarnych (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa C = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} więc P(C)= 6/36=1/6. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 14

Przykład 2 9 osób {a, b, c, . . g, h, i} siada przy okrągłym stole. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoby a, b będą siedziały obok siebie? b a card( )= 9! Przestrzeń zdarzeń elementarnych, to zbiór wszystkich możliwych ustawień 9 osób na 9 miejscach. Jest 9 możliwych pozycji dla pary (a, b) i 9 możliwych pozycji dla pary (b, a). Ostatecznie, szukane prawdopodobieństwo = 2*9*7!/9!=1/4 Pozostałe osoby mogą być rozmieszczone dowolnie, tzn 7! możliwych ustawień. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 15

Przykład 3 W urnie jest 9 kul ponumerowanych od 1 do 9. Losujemy bez zwracania dwie kule. Pierwsza z nich jest traktowana jako liczba jedności a druga jako liczba dziesiątek. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A = „wylosowano liczbę parzystą” Jeśli za pierwszym razem wylosowano a za drugim razem wylosowano 6 4 to wylosowana liczba wynosi 6*10 + 4 = 64. Przestrzeń zdarzeń elementarnych = {(k, l) : k, l {1, 2, . . . 9} oraz k l}. 9*8 elementów Zdarzeniu A sprzyjają zdarzenia elementarne (2, x), gdzie x 2, (4, x), gdzie x 4, Razem jest ich 4*8. (6, x), gdzie x 6, Zatem P(A)= 4*8/(9*8) = 4/9. (8, x), gdzie x 8. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 16

Przykład 4 Rzucamy 10 razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dziesięciu rzutach dokładnie 4 razy pojawi się orzeł? Przestrzeń zdarzeń elementarnych to zbior ciągów o wartościach O-orzeł i R-reszka. Takich elementów jest tyle ile różnych funkcji ze zbioru 10 elementowego w zbiór 2 elementowy, tzn. 210. Zdarzeniu A sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne, w których na 4 pozycjach są orły a na pozostałych reszki. Ostatecznie P(A) = (10 nad 4) / 2 10. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Jest ich tyle, ile podzbiorów 4 elementowych, tzn. (10 nad 4) Grażyna Mirkowska, PJWSTK 17

Własności prawdopodobieństwa Niech będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Wtedy Ad. Dowód (b). B= (B-A) A (a) P( ) = 0 (b) jeżeli A B, to P(A) P(B), Ad. Dowód (e). A B = A (B-A) B= (B-A) (A B) (c) dla każdego A , P(A) 1, (d) P(A’) =1 - P(A), (e) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Rzucamy 3 razy kostką. jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A=„choć raz wypadła 6” ? Rozwiązanie. Zbiór zdarzeń elementarnych = {(x, y, z): x, y, z {1, 2, . . . 6}}. card(W)= 63. Zdarzenie przeciwne do A, A’ =„ani razu nie wypadła 6”. A’={(x, y, z): x, y, z {1, 2, 3, 4, 5}}. Zatem P(A’) = 53/63, więc P(A) = 1 - 53/63. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 18

Przykłady Przykład Rzucamy dwiema różnokolorowymi kostkami do gry i rozważamy dwa zdarzenia A = „ suma oczek wyrzuconych wyniesie 8” B = „obie liczby oczek są nieparzyste” Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A B? Rozwiązanie Na mocy twierdzenia P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). Ponieważ A={(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} B ={(x, y): x, y=1, 3, 5} oraz Zbiór zdarzeń elementarnych A B = {(3, 5), (5, 3)} to zbiór funkcji, Zatem P(A B) = 5/36 + 9/36 - 2/36 = 1/3. f : {1, 2, 3. . . , 10} -> {O, R}. Policzymy najpierw P(A’). Przykład Rzucamy 10 razy monetą. Mamy P(A’)=1/210 jakie jest prawdopodobieństwo, że choć raz dostaniemy orła? styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Stąd P(A)= 1 -1/1024. Grażyna Mirkowska, PJWSTK 19

Prawdopodobieństwo warunkowe Przykład 1 2 3 4 W urnie znajdują sie 4 kule: dwie białe i dwie czarne ponumerowanie od 1 do 4. Losujemy 2 kule bez zwracania. Przestrzeń zdarzeń elementarnych to {(x, y): x y i x, y =1, 2, 3, 4}. card ( ) = 4*3 =12. Zakładamy, że zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Czyli P(x, y)=1/12. Rozważmy zdarzenia: A=” za drugim razem biała kula”, B= „ za pierwszym razem kula czarna”. P(A)=6/12 Zdarzeniu A sprzyja 6 zdarzeń: (1, 3), (1, 4), (3, 4), (2, 3), (2, 4), (4, 3). Zdarzeniu B sprzyja 6 zdarzeń el. : (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4). Jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie B po pierwszym losowaniu, to jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A? Zdarzeniu A sprzyjają 4 zdarzenia el. występujące w B, czyli P(A/B)= 4/6. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 20

Prawdopodobieństwo warunkowe c. d. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zajdzie zdarzenie B, P(A|B), wyraża się wzorem: P(A|B) = P(A B)/ P(B) o ile P(B) >0 Przykład Rzucamy 3 kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że A=„chociaż na jednej kostce wypadnie 1”, jeśli B=„na każdej kostce wypadnie inna liczba oczek”. Zdarzenia elementarne to trójki (x, y, z) gdzie x, y, z =1, 2, 3, 4, 5, 6. Jest ich 6*6*6. Zdarzeń sprzyjających B jest tyle ile funkcji 1 -1 na zb. 3 elem. w zbiór 6 elementowy. Jest ich 6*5*4. Czyli P(B) = 6*5*4/(6*6*6). Zdarzeniu A B sprzyjają trójki (1, x, y) , (x, 1, y), (x, y, 1), gdzie x jest jedną z 5 wartości a y jedną z 4 wartości. P(A B)= 5*4*3/63 Ostatecznie P(A|B) = (10/36)/(20/36)= 1/2 styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 21

Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli P(A B) = P(A) * P(B). Zauważmy, że jeśli A i B stanowią parę zdarzeń niezależnych, to P(A|B) = P(A B)/P(B) = P(A). Czyli, zajście zdarzenia B nie wpływa na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Zdarzenie A nie zależy od tego czy zajdzie czy też nie zdarzenie B. Przykład Z talii kart losujemy 2 ze zwracaniem. Rozważmy zdarzenia A =„ za pierwszym razem wylosowano asa” B = „ za drugim razem wylosowano asa”. Mamy P(A B) = (4*4)/522 P(A)= 4/52 P(B) = 4/52, czyli P(A B) = P(A) * P(B), a więc są to zdarzenia niezależne. styczen 2003 MAD, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 22