Wykad 13 Elementy Rachunku Prawdopodobiestwa 9 stycznia 2002

Wykład 13 Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Grażyna Mirkowska, PJWSTK 1

O rachunku prawdopodobieństwa b Czym zajmuje się rachunek prawdopodobieństwa? b Trochę historii 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 2

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zdarzenie elementarne - pojęcie pierwotne teorii. Przykład 1 Doświadczenie polega na rzucie kostką sześcienną. Obserwujemy liczbę wyrzuconych oczek. Zdarzenie elementarne, to wi = „wyrzucono i oczek”. Wyrzucono jedno oczko. Wyrzucono 6 oczek. Zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych nazywamy przestrzenią zdarzeń. Ozn. . W rozważanym doświadczeniu jest 6 zdarzeń elementarnych. = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 3

Przykłady Przykład 2 Niech doświadczenie polega na rzucie monetą. Zdarzenia elementarne to O=„wyrzucono orła” i R=„wyrzucono reszkę” Przestrzeń zdarzeń elementarnych = {O, R}. Przykład 3 Rzucamy dwoma monetami. Możliwe sytuacje możemy scharakteryzować parą : wynik uzyskany na pierwszej monecie i wynik uzyskany na drugiej monecie. Czyli ={(O, O), (O, R), (R, O)}. Przykład 4 Na zawodach narciarskich każdy zawodnik oddaje 2 skoki. Wynik każdego skoku można uznać za zdarzenie losowe. Długość skoku mierzymy z dokładnością do 0. 5 m. Na rozważanej skoczni nie można oddać dłuższego skoku niż 140 m. = {(x, y): x długość pierwszego, a y długość drugiego skoku}= {0, 0. 5, 1, 1. 5, 2, . . . , 139. 5, 140} Przestrzeń zdarzeń składa się z 281 zdarzeń elementarnych. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 4

Przykłady c. d. Przykład 5 Ocena końcowa z MAD zależy od liczby uzyskanych punktów z 2 sprawdzianów i z egzaminu. Przestrzenią zdarzeń elementarnych może być zbiór trójek (x, y, z), gdzie x, y są liczbami punktów uzyskanymi ze sprawdzianów a z liczbą punktów uzyskanych z egzaminu. = {(x, y, z) N 3: x 10, y 20, z 30} Taka przestrzeń zdarzeń ma 11*21*31 różnych elementów. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 5

Zdarzenia Definicja Zdarzenie to podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych. Przykład W doświadczeniu z rzutem jedną kostką sześcienną niech w 1, w 2, . . . w 6 oznaczają odpowiednio zdarzenia elementarne polegające na wyrzuceniu 1, 2. . . lub 6 oczek. = {wi : i=1, 2. . . 6}. Zdarzenie A=„wypadła liczba parzysta”, to podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych A={w 2, w 4, w 6}. Zdarzenie B=„ wypadło więcej niż 4 oczka”, zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wypadło 5 lub 6 oczek, czyli B={w 5, w 6}. Zdarzenie C=„wypadły co najwyżej 4 oczka”, zachodzi wttw, gdy wypadło 1 lub 2 lub 3 lub 4 oczka. C = {w 1, w 2, w 3, w 4}. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 6

Zdarzenia c. d. A oraz A = {a 1, . . . , an}. zdarzenia elmentarne sprzyjające zdarzeniu A Przykład W doświadczeniu polegającym na rzucie dwoma kostkami mamy = {wij : i, j=1, 2. . . 6}. Zdarzenie A=„co najmniej raz wypadła szóstka” , to podzbiór {w 6 i : i=1, 2. . . 6} {wi 6 : i=1, 2. . . 5}. Zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest 11. Zdarzenie B= „suma oczek wynosi 8”, to podzbiór {w 26 , w 35 , w 44 , w 53 , w 62 }. Jest tylko 5 zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu B. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 7

Przykłady zdarzeń Przykład W doświadczeniu z rzutem jedną kostką sześcienną niech = {wi : i=1, 2. . . 6}. Zdarzenie A=„wypadła liczba parzysta”, to podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych A={w 2, w 4, w 6}. Zdarzenie B=„ wypadły więcej niż 4 oczka”, zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wypadło 5 lub 6 oczek, czyli B={w 5, w 6}. Zdarzenie C=„liczba wyrzuconych oczek jest kwadratem liczby naturalnej”, zachodzi wttw, gdy wypadło 1 lub 4 oczka. C = {w 1, w 4}. Zdarzenie D=„liczba wyrzuconych oczek przystaje do 1 modulo 3, zachodzi wttw gdy liczba wyrzuconych oczek przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1. Czyli D = {w 1, w 4 }. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 8

Działania na zdarzeniach Na zdarzeniach wykonujemy takie same operacje jak na zbiorach. A= zdarzenie pewne wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjają temu zdarzeniu A= zdarzenie niemożliwe żadne zdarzenie elementarne nie sprzyjają temu zdarzeniu Powiemy, że dwa zdarzenia są identyczne jeśli mają te same zbiory sprzyjających zdarzeń elementarnych. Por. zdarzenia C i D z poprzedniego przykładu. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 9

c. d. Operacje na Zdarzeniach Przykład Doświadczenie z rzutem 2 kostkami sześciennymi. zdarzenia A =„suma oczek jest liczbą parzystą lub nieparzystą” pewne B =„w sumie wypadło co najwyżej 12 oczek” zdarzenie niemożliwe C = „ w sumie wypadło 17 oczek” D = „iloczyn wyrzuconych oczek jest liczbą parzystą” zdarzenia E = „co najmniej na jednej kostce jest liczba parzysta” identyczne F = „wyrzucono co najmniej raz 6” G = „wyrzucono co najmniej raz 5” iloczyn tych zdarzeń to „suma wyrzuconych oczek wynosi 11” Zdarzenie F G jest realizowane przez zdarzenia elementarne {w 6 i: i=1, 2, 3, 4, 5, 6} {wi 6 : i=1, 2, 3, 4, 5} {w 5 i: i=1, 2, 3, 4, 5} {wi 5 : i=1, 2, 3, 4}. Jest 20 zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu F G. Zdarzenie „ani razu nie wystąpiła 6 ani 5” to zdarzenie -(F G)= {wij: i, j=1, 2, 3, 4}. Zdarzeń sprzyjających jest tu 16. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 10

Wyłącznie się zdarzeń Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywa się Zdarzeniu A’ zdarzenie A’= - A. sprzyjają tylko te zdarzenia elementarne, które nie należą do A Powiemy, że dwa zdarzenia A i B wyłączają się wttw A B = . W doświadczeniu polegającym na wylosowaniu Nie ma takich zdarzeń elementarnych, które kolejno ze zwracaniem 2 kart, zdarzenia sprzyjają równocześnie A= „wylosowano za każdym razem asa” i obu zdarzeniom B =„za drugim razem wylosowano dziesiątkę” są zdarzeniami wyłączającymi się. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 11

Pojęcie prawdopodobieństwa definicja Kołmogorowa Niech oznacza przestrzeń zdarzeń elementarnych. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P określoną na zdarzeniach taką, że (1) P(A) 0 dla dowolnego zdarzenia A, (2) P(A B) = P(A) + P(B) dla dowolnych zdarzeń A, B wyłączających się, (3) P( ) = 1. Uwaga Prawdopodobieństwo jest teoretycznym odpowiednikiem pojęcia częstości. Jeżeli zdarzenia A 1, A 2, . . . An wyłączają się parami, to P(A 1 . . . An) = P(A 1) + P(A 2) +. . . + P(An). Dowód przez indukcje ze względu na n. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 12

Obliczanie prawdopodobieństw Niech = {w 1, w 2, . . . wn} i załóżmy, że wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, P(wi) = p. Na mocy poprzedniego twierdzenia mamy: P( ) = P({w 1, w 2, . . . wn}) = P({w 1} { w 2} . . . {wn} ) = P(w 1) + P( w 2) +. . . +P(wn) = n*p. Stąd p = 1/n. Podobnie, jeśli rozważymy dowolne zdarzenie A = {wi 1, wi 2, . . . wik}, to P(A) = P({wi 1, wi 2, . . . wik}) = P({wi 1} { wi 2} . . . {wik} ) = P(wi 1) + P( wi 2) +. . . +P(wik) = k*p. Stąd P(A) = k/n Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A i liczby zdarzeń elementarnych w rozważanej przestrzeni, o ile zdarzenia elementarne wyłączają się parami. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 13

Przykład 1 Rzut dwiema kostkami. (a) A =„na obu kostkach wypadło 6 oczek” (b) B = „suma wyrzuconych oczek wynosi 10” (c) C = „suma wyrzuconych oczek wynosi 7” Przestrzeń zdarzeń elementarnych ma 36 elementów. A={(6, 6)} więc P(A)= 1/36. B= {(4, 6), (5, 5), (6, 4)}, więc P(B) = 3/36 =1/12. Przestrzeń zdarzeń elementarnych (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) 9 stycznia 2002 C = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)} więc P(C)= 6/36=1/6. Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 14

Przykład 2 9 osób {a, b, c, . . g, h, i} siada przy okrągłym stole. Jakie jest prawdopodobieństwo, że osoby a, b będą siedziały obok siebie? b card( )= 9! Przestrzeń zdarzeń elementarnych, to zbiór wszystkich możliwych ustawień 9 osób na 9 miejscach. a Jest 9 możliwych pozycji dla pary (a, b) i 9 możliwych pozycji dla pary (b, a). Ostatecznie, szukane prawdopodobieństwo = 2*9*7!/9!=1/4 9 stycznia 2002 Pozostałe osoby mogą być rozmieszczone dowolnie, tzn 7! możliwych ustawień. Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 15

Przykład 3 W urnie jest 9 kul ponumerowanych od 1 do 9. Losujemy bez zwracania dwie kule. Pierwsza z nich jest traktowana jako liczba jedności a druga jako liczba dziesiątek. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A = „wylosowano liczbę parzystą” Jeśli za pierwszym razem wylosowano a za drugim razem wylosowano 6 4 to wylosowana liczba wynosi 6*10 + 4 = 64. Przestrzeń zdarzeń elementarnych = {(k, l) : k, l {1, 2, . . . 9} oraz k l}. 9*8 elementów Zdarzeniu A sprzyjają zdarzenia elementarne (2, x), gdzie x 2, (4, x), gdzie x 4, Razem jest ich 4*8. (6, x), gdzie x 6, Zatem P(A)= 4*8/(9*8) = 4/9. (8, x), gdzie x 8. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 16

Przykład 4 Rzucamy 10 razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dziesięciu rzutach dokładnie 4 razy pojawi się orzeł? Przestrzeń zdarzeń elementarnych tozbior ciągów o wartościach O-orzeł i R-reszka. Takich elementów jest tyle ile różnych funkcji ze zbioru 10 elementowego w zbiór 2 elementowy, tzn. 210. Zdarzeniu A sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne, w których na 4 pozycjach są orły a na pozostałych reszki. Ostatecznie P(A) = (10 nad 4) / 2 10. 9 stycznia 2002 Jest ich tyle, ile podzbiorów 4 elementowych, tzn. (10 nad 4) Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 17

Własności prawdopodobieństwa Niech będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Wtedy Ad. Dowód (b). B= (B-A) A (a) P( ) = 0 (b) jeżeli A B, to P(A) P(B), Ad. Dowód (e). A B = A (B-A) B= (B-A) (A B) (c) dla każdego A , P(A) 1, (d) P(A’) =1 - P(A), (e) P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Rzucamy 3 razy kostką. jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A=„choć raz wypadła 6” ? Rozwiązanie. Zbiór zdarzeń elementarnych = {(x, y, z): x, y, z {1, 2, . . . 6}}. card(W)= 63. Zdarzenie przeciwne do A, A’ =„ani razu nie wypadła 6”. A’={(x, y, z): x, y, z {1, 2, 3, 4, 5}}. Zatem P(A’) = 53/63, więc P(A) = 1 - 53/63. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 18

Przykłady Przykład Rzucamy dwiema różnokolorowymi kostkami do gry i rozważamy dwa zdarzenia A = „ suma oczek wyrzuconych wyniesie 8” B = „obie liczby oczek są nieparzyste” Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A B? Rozwiązanie Na mocy twierdzenia P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). Ponieważ A={(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} B ={(x, y): x, y=1, 3, 5} oraz Zbiór zdarzeń elementarnych A B = {(3, 5), (5, 3)} to zbiór funkcji, Zatem P(A B) = 5/36 + 9/36 - 2/36 = 1/3. f : {1, 2, 3. . . , 10} -> {O, R}. Policzymy najpierw P(A’). Przykład Rzucamy 10 razy monetą. Mamy P(A’)=1/210 jakie jest prawdopodobieństwo, że choć raz dostaniemy orła? 9 stycznia 2002 Stąd P(A)= 1 -1/1024. Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 19

Prawdopodobieństwo warunkowe Przykład 1 2 3 4 W urnie znajdują sie 4 kule: dwie białe i dwie czarne ponumerowanie od 1 do 4. Losujemy 2 kule bez zwracania. Przestrzeń zdarzeń elementarnych to {(x, y): x y i x, y =1, 2, 3, 4}. card ( ) = 4*3 =12. Zakładamy, że zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne. Czyli P(x, y)=1/12. Rozważmy zdarzenia: A=” za drugim razem biała kula”, B= „ za pierwszym razem kula czarna”. P(A)=6/12 Zdarzeniu A sprzyja 6 zdarzeń: (1, 3), (1, 4), (3, 4), (2, 3), (2, 4), (4, 3). Zdarzeniu B sprzyja 6 zdarzeń el. : (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4). Jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie B po pierwszym losowaniu, to jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia A? Zdarzeniu A sprzyjają 4 zdarzenia el. występujące w B, czyli P(A/B)= 4/6. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 20

Prawdopodobieństwo warunkowe c. d. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zajdzie zdarzenie B, P(A|B), wyraża się wzorem: P(A|B) = P(A B)/ P(B) o ile P(B) >0 Przykład Rzucamy 3 kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że A=„chociaż na jednej kostce wypadnie 1”, jeśli B=„na każdej kostce wypadnie inna liczba oczek”. Zdarzenia elementarne to trójki (x, y, z) gdzie x, y, z =1, 2, 3, 4, 5, 6. Jest ich 6*6*6. Zdarzeń sprzyjających B jest tyle ile funkcji 1 -1 na zb. 3 elem. w zbiór 6 elementowy. Jest ich 6*5*4. Czyli P(B) = 6*5*4/(6*6*6). Zdarzeniu A B sprzyjają trójki (1, x, y) , (x, 1, y), (x, y, 1) gdzie x jest jedną z 5 wartości a y jedną z 4 wartości. P(A B)= 5*4*3/63 Ostatecznie P(A|B) = (10/36)/(20/36)= 1/2 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 21

Niezależność zdarzeń Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli P(A B) = P(A) * P(B). Zauważmy, że jeśli A i B stanowią parę zdarzeń niezależnych, to P(A|B) = P(A B)/P(B) = P(A). Czyli, zajście zdarzenia B nie wpływa na prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A. Zdarzenie A nie zależy od tego czy zajdzie czy też nie zdarzenie B. Przykład Z talii kart losujemy 2 ze zwracaniem. Rozważmy zdarzenia A =„ za pierwszym razem wylosowano asa” B = „ za drugim razem wylosowano asa”. Mamy P(A B) = (4*4)/522 P(A)= 4/52 P(B) = 4/52, czyli P(A B) = P(A) * P(B), a więc są to zdarzenia niezależne. 9 stycznia 2002 Matematyka Dyskretna, Rachunek Prawdopodobieństwa Mirkowska, PJWSTK Grażyna 22