www semanticwebgrundlagen de Semantic Web Technologies I Lehrveranstaltung

www. semantic-web-grundlagen. de Semantic Web Technologies I Lehrveranstaltung im WS 08/09 PD Dr. Pascal Hitzler M. Sc. Markus Krötzsch Dr. Sebastian Rudolph

Logik – Grundlagen Einleitung und Ausblick XML und URIs Semantic Web Architecture Einführung in RDF Schema Logik - Grundlagen Current research Semantik von RDF(S) OWL - Syntax und Intuition OWL - Semantik und Reasoning SPARQL - Syntax und Intuition Semantik von SPARQL Konjunktive Anfragen/Regelsprachen Regeln im Semantic Web Bericht aus der Praxis OWL 2 - Syntax und Semantik Semantic Web – Anwendungen Now standardized

Was ist Logik? etymologische Herkunft: griechisch ogos bedeutet „Wort, Rede, Lehre“ (s. a. Faust I…) • Logik als Argumentation: ✔ ✖ Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich. Alle Pinguine sind schwarz-weiß. Einige alte TV-Shows sind schwarz-weiß. Einige Pinguine sind alte TV-Shows. • Definition für diese Vorlesung: Logik ist die Lehre vom formal korrekten Schließen.

Warum formal? Automatisierbarkeit! Eine „Rechenmaschine“ für Logik!! G. W. Leibniz (1646 -1716):

Grundbegriffe der Logik

Wie funktioniert Logik? Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Also ist Sokrates sterblich. Logik ist die Lehre vom formal korrekten Schließen. Ø Was schließen wir woraus? Ø Beschreibende Grundelemente der Logik nennen wir Sätze

Wie funktioniert Logik? Sätze und Schlussfolgerungen Jede Logik besteht aus einer Menge von Sätzen zusammen mit einer Schlussfolgerungsrelation (entailment relation). Letztere liefert die Semantik (grch. semantikos – zum Zeichen gehörend). rot gelb hellgrün süß sauer ² grün ² süß-sauer giftig

Folgerung und Äquivalenz von Sätzen Formal: L : = (S, ²) mit ² 2 2 S £ S Dabei bedeutet für ð eine Menge µ S von Sätzen und ð einen Satz 2 S ² „Aus den Sätzen folgt der Satz “ oder auch „ ist eine logische Konsequenz aus . “ Gilt für zwei Sätze und y, dass sowohl { } ² y als auch {y} ² , dann sind diese Sätze (logisch) äquivalent und man schreibt auch y = = .

Wie funktioniert Logik? Syntax (von grch. suntaxis – Zusammenstellung, Satzbau) erschließt sich über die Frage Was ist ein „richtiger“ Satz? D. h. wie wird die Menge der Sätze einer Logik definiert? Nutzung von „Erzeugungsregeln“ zur Definition (Konstruktion) von wohlgeformten Sätzen, z. B. : Grundelemente: grün rot gelb süß sauer Syntax-Regel: „Wenn und y Sätze sind, dann auch Æy“ süß-sauer Konstruktor oder Junktor

Wie funktioniert Logik? Ausdrucksstärke. Trade-off: Logiken mit vielen Ausdrucksmitteln (Konstruktoren/Junktoren) sind: Ø komfortabler in der Verwendung (verschiedene und komplexe Sachverhalte sind einfach auszudrücken), aber Ø schwieriger (meta)mathematisch zu handhaben (Beweisen von Eigenschaften der Logik umständlicher). Möglicher Ausweg: Einschränkung der Sätze auf Teilmenge, die für jeden Satz der Logik einen logisch äquivalenten Vertreter enthält (vgl. Normalformen, minimale Junktorenmengen…) und Definition der anderen Sätze/Junktoren als „syntactic sugar“. Wird eine Logik über dieses Maß hinaus eingeschränkt, erhält man ein Fragment der ursprünglichen Logik mit geringerer Ausdrucksstärke.

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Eine Möglichkeit, die Schlussfolgerungsrelation zu definieren besteht über Interpretationen bzw. Modelle Interpretationen süß ist Modell von ² Sätze sauer süß-sauer rot hellgrün gelb giftig

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Sätze, für die jede Interpretation ein Modell ist, heißen allgemeingültig oder Tautologien (grch. tauto ogia). Interpretationen ² ² ² süß ² sauer ² ² ² Sätze ² süß-sauer rot hellgrün gelb giftig

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Sätze, für die keine Interpretation ein Modell ist, heißen widersprüchlich oder unerfüllbar. Interpretationen Sätze süß sauer süß-sauer rot hellgrün gelb giftig

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Sätze, die (mindestens) ein Modell haben, heißen erfüllbar. Interpretationen Sätze süß sauer süß-sauer ² ² rot hellgrün gelb giftig

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Eine Möglichkeit, die Schlussfolgerungsrelation zu definieren besteht über Interpretationen bzw. Modelle Interpretationen Sätze süß sauer süß-sauer ² ² rot hellgrün gelb giftig

Wie funktioniert Logik? - Modelltheorie Eine Möglichkeit, die Schlussfolgerungsrelation zu definieren besteht über Interpretationen bzw. Modelle Interpretationen Sätze süß sauer süß-sauer rot hellgrün gelb ² grün giftig

Wie funktioniert Logik? Semantik entlang der Syntax Häufiges Prinzip bei Definition von Interpretationen: Ø Interpretation von Grundelementen wird festgelegt Ø Interpretation von zusammengesetzten (konstruierten) Sätzen wird auf die Interpretation der Teile zurückgeführt, z. B. : Semantik-Regel: „Die Modelle von Æy sind genau die Interpreta tionen, die Modelle sowohl von als auch von y sind. “ süß-sauer ² ² ² süß sauer

Beweistheorie ² Ø Zurück zu Leibniz: Rechenmaschine für Logik Ø Aber: Möglichkeit, direkt mit allen möglichen Interpretationen zu arbeiten, oft eingeschränkt Ø Daher: Versuch, Schlussfolgerungsrelation durch rein syntaktische Verfahren zu beschreiben/berechnen

Entscheidungsverfahren/Entscheidbarkeit 1 1 1 n Ø Entscheidungsalgorithmus: ð input: Menge { 1, …, n} von Sätzen und Satz ð terminiert nach endlicher Zeit ð output: ² „Ja“, falls { 1, …, n} ² ² „Nein“ sonst Ø Gibt es einen solchen Algorithmus für eine Logik, dann nennt man sie entscheidbar. JA/NEIN

Aufzählungsverfahren/Semientscheidbarkeit 1 1 1 n Ø Aufzählungsverfahren: ð input: Sätze { 1, …, n} ð output: Sätze , für die gilt { 1, …, n} ² ð jeder solche Satz wird (irgendwann) ausgegeben • Gibt es einen solchen Algorithmus für eine Logik, dann nennt man sie semi-entscheidbar.

Deduktionskalkül Ø kann gesehen werden als spezielle Form eines Aufzählungsverfahrens Ø besteht aus Ableitungsregeln, z. B. : { , y w, . . . . } y, y Æy

Deduktionskalkül Ein Satz ist aus einer Menge von Sätzen ableitbar (geschrieben: ` ), wenn sich durch wiederholtes Anwenden der Ableitungsregeln eines Deduktionskalküls aus „erzeugen“ lässt. Deduktionskalkül ist korrekt (engl. sound), wenn aus ` immer ² folgt, d. h. alle ableitbaren Schlüsse auch wirklich logisch folgen. Deduktionskalkül ist vollständig (engl. complete), wenn aus ² immer ` folgt, d. h. alle logischen Konsequenzen auch abgeleitet werden können. In einem korrekten und vollständigen Deduktionskalkül gilt: ² = ` und man kann es als Aufzählungsverfahren verwenden. Achtung! Es gibt Logiken, für die nachweislich kein solches Deduktionskalkül existiert (Gödel 1931).

Weitere interessante Eigenschaften von Logiken: Ø Ø Monotonie Kompaktheit Algorithmische Komplexität für Entscheidungsverfahren …und jede Menge anderes…

Aussagenlogik Ø auch: propositionale Logik boolesche Logik Ø schon bei den Stoikern voll ausgearbeitete Junktorenlogik Ø George Boole (1815 – 1864) „An Investigation of the Laws of Thought“ (1854) Ø syntaktische Grundelemente: atomare Sätze / Propositionen / Aussagen (p, q, …, p 1, p 2, …) Ø Können als natürlichsprachliche Aussagen gedacht werden: „Es regnet. “…

Aussagenlogik – Syntax Ø Erzeugungsregeln für Sätze: ðalle atomaren Propositionen sind Sätze ( p , q , …) ðist φ ein Satz, dann auch : φ ðsind φ und ψ Sätze, dann auch (φ ∧ ψ) , (φ ∨ ψ), (φ → ψ) und (φ ↔ ψ) Ø Klammern können ggf. weggelassen werden; Präzedenzen (bei uns): : vor Æ, Ç vor !, $. Ø Zusätzliche Klammern machen es trotzem oft lesbarer…

Aussagenlogik – Syntax Junktor Name Intuitive Bedeutung : Æ Ç ! $ „nicht“ „und“ „oder“ „wenn – dann“ „genau dann, wenn“ Negation Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz Einfache Aussagen Modellierung Es regnet. r Die Straße wird nass. n Die Sonne ist grün g Zusammengesetzte Aussagen Modellierung Wenn es regnet, dann wird die Straße nass. r!n Wenn es regnet, und die Straße nicht nass wird, dann ist die Sonne grün. (r Æ : n)! g

Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik Was sind die Modelle der Aussagenlogik? Interpretationen Sätze p q … ✔ ✖ … p q … ✖ ✖ … ✔ ✔ … p q … ✖ ✔ … : p ² ² ² q p!q p Æ (: p ! q) pÇq

Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik Ø Formal: Interpretationen I sind Abbildungen von der Menge der atomaren Propositionen in die Menge {wahr, falsch}, d. h. jeder dieser Propositionen p wird ein Wahrheitswert WWI(p) zugeordnet. Ø Daraus bestimmt man Modelle für zusammengesetzte Sätze über Semantik-Regeln ð I Modell von : φ genau dann, wenn I kein Modell von φ ð I Modell von (φ ∧ ψ) genau dann, wenn I Modell von φ und von ψ ð I Modell von (φ ∨ ψ) genau dann, wenn I Modell von φ oder von ψ ð I Modell von (φ → ψ) genau dann, wenn I kein Modell von φ oder I Modell von ψ ð I Modell von (φ ↔ ψ) genau dann, wenn I Modell für jeden oder keinen der beiden Sätze ist.

Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik Beispiel für Tautologie in der Aussagenlogik. Interpretationenp q … : p ✔ ✖ … ² p q … ² ✖ ✖ … p q … ✔ ✔ … Sätze ² p!q p Ç : p (tertium non datur) pÆq ² p q … ✖ ✔ … p Æ (p ! q)

Aussagenlogik – Modelltheoretische Semantik Beispiel für Kontradiktion in der Aussagenlogik. Interpretationenp q … : p ✔ ✖ … ² p q … ² ✖ ✖ … p q … ✔ ✔ … ² Sätze p!q p Æ : p pÆq ² p q … ✖ ✔ … p Æ (p ! q)

Aussagenlogik – Normalformen & vollständige Junktoren aus diesen Äquivalenenzen folgt: Ø zu jeder Formel gibt es eine logisch äquivalente Formel, die nur die Junktoren Æ und : enthält. Ø zu jeder Formel gibt es eine Formel in konjunktiver Normalform, d. h. ð nur einfache Negation direkt vor atomaren Propositionen (sog. Literale) ð Formel ist Konjunktion von Disjunktionen von Literalen ð Bsp. : (p Ú : q Ú r Ú : s) Ù (: p Ú q Ú s) Ù (q Ú : r Ú s)

Aussagenlogik – Entscheidungsalgorithmus Ø Aussagenlogik ist entscheidbar Ø nützliche Eigenschaft dabei: { 1, …, n} ² gilt genau dann, wenn ( 1Æ…Æ n)! eine Tautologie ist Ø Entscheidung, ob Satz Tautologie ist, über Wahrheitswerttabelle Ø im Prinzip: Überprüfung aller Interpretationen (nur die Wahrheitswerte der vorkommenden atomaren Propositionen fallen ins Gewicht)

Aussagenlogik – Entscheidungsalgorithmus Modus Ponens: { p , p!q }² q ² (p Æ(p ! q)) ! q p p ✖ p ✔ q q ✖ q ✔ q ✖ … p!q … … ² ² … … ✔ ✔ … p Æ(p ! q) ² ² (p Æ(p ! q)) ! q ² ²

Nächstes Mal Einleitung und Ausblick XML und URIs Semantic Web Architecture Einführung in RDF Schema Logik - Grundlagen Current research Semantik von RDF(S) OWL - Syntax und Intuition OWL - Semantik und Reasoning SPARQL - Syntax und Intuition Semantik von SPARQL Konjunktive Anfragen/Regelsprachen Regeln im Semantic Web Bericht aus der Praxis OWL 2 - Syntax und Semantik Semantic Web – Anwendungen Now standardized