www muratguner net HER GEN MATEMATK RENEBLR MURAT

www. muratguner. net HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER ASIM ÜLKER LİSESİ - 2004

www. muratguner. net 1. Pisagor ve öklid bağıntıları A c B b h p H k C a a 2 = b 2 + c 2 Pisagor Bağıntısı h 2 = p. k c 2 = p. a b 2 = k. a Öklid Bağıntısı

www. muratguner. net 2. Kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olan üçgenler dik üçgendir. 5 k 3 k 8 k 4 k 5 k 13 k 12 k 17 k 15 k 7 k 25 k 24 k

www. muratguner. net ÖRNEK x=? 9 y=? 5 12 z=? 16 12 30 ÇÖZÜM 3. 3 x = 5. 3 = 15 4. 3 y = 13 5 12 8. 2 z = 17. 2 = 34 15. 2

www. muratguner. net ÖRNEK A 13 x B 3 x – 3 5 -12 -13 mü diye sorgulamadan bunu yapma! x=? C ÇÖZÜM ( 3 x – 3 )2 + x 2 = 132 9 x 2 – 18 x + 9 + x 2 = 169 10 x 2 – 18 x + 9 = 169 10 x 2 – 18 x – 160 = 0 x =5

www. muratguner. net ÖRNEK A 8 6 B Şekilde ABC dik üçgeninde ha + h b + h c = ? C H ÇÖZÜM l BC l = 10 ( 3 k – 4 k – 5 k Üçgeni) A ( ABC ) = = 24 ha. 10 = 48 ha = 4, 8 hb = 6 hc = 8

www. muratguner. net ÖRNEK A b c B Şekilde ABC dik üçgeninde a 2 + b 2 + c 2 = 128 ise a kaç birimdir ? C a ÇÖZÜM a 2 = b 2 + c 2 a 2 + b 2 + c 2 = 128 a 2 + a 2 = 128 2 a 2 = 128 a 2 = 64 a =8

www. muratguner. net ÖRNEK D x = ? x . A 5 -12 -13 mü diye sorgulamadan bunu yapma! 20 13 y B 11 ÇÖZÜM 400 = x 2 + y 2 + 22 y +121 l AB l = y olsun. 132 = x 2 + y 2 C 400 = 169 + 22 y +121 400 – 290 = 22 y 202 = x 2 + ( y +11 )2 110 = 22 y 5 = y x = 12 ( 5 -12 -13 )

www. muratguner. net ÖRNEK A l AC l = ? 7 E 15 y B ÇÖZÜM y=9 12 C ( 3 k – 4 k – 5 k ) l AC l 2 = 122 + 162 l AC l 2 = 144 + 256 l AC l 2 = 400 l AC l- = 20

www. muratguner. net ÖRNEK A 5 3 Şekilde ABC üçgeninde x = ? K . 4 4 B x C ÇÖZÜM Birinci üçgende İkinci üçgende l BK l = 4 x 2 = 42 + ( 4 ( 3 – 4 – 5 üçgeni ) x 2 = 16 + 48 x 2 = 64 )2 x= 8

www. muratguner. net ÖRNEK A Şekilde ABC dik üçgeninde l AH l = ? h B 3 H 6 ÇÖZÜM l AH l = h olsun h 2 = l BH l. l HC l h 2 = 3. 6 h 2 = 18 h = 3 C

www. muratguner. net ÖRNEK A Şekilde ABC dik üçgeninde l AB l = ? x B 4 H 9 ÇÖZÜM x 2 = l BH l. l BC l x 2 = 4. 13 x 2 = 52 x= (Öklid Bağıntısı ) C

www. muratguner. net ÖRNEK A Şekilde verilenlere göre c B x H 4 x ÇÖZÜM c 2 = l BH l. l BC l c 2 = x. 5 x. c 2 = 5 x 2 c= (Öklid Bağıntısı ) C

www. muratguner. net ÖRNEK A y. D x = ? 6 4 x. B C ÇÖZÜM l AD l = y olsun 42 = y. ( 6 + y ) 16 = 6 y + x 2 = y. 6 ( Öklid ) x 2 = 12 y 2 0 = y 2 + 6 y – 16 x 2 = 2. 6 y=2 x= 2

www. muratguner. net ÖRNEK A a ise x=? x 4 a K l AK l = 4. l BK l 4 B H C ÇÖZÜM AKl l==a 4. , l l BK l AH l =l 2 a= , 8 l 2 AK + 42 l = 4 ax 2 = l. AHl 2 + l. HCl 2 l BK AK l =ise 4 a l BK 2 42 = l BK l. l KA l l AH l 2 = 64 + 16 x = 80 + 16 = a. ( 4 a ) a 2 = 4 a =2 l AH l 2 = 80 x 2 = 80 + 41 x 2 = 121 x = 11

www. muratguner. net ÖRNEK A b c B ÇÖZÜM H C

www. muratguner. net ÖRNEK A b c B H ÇÖZÜM b 4 k b 4 = = c 3 k c 3 BC = 5 k ( 3 k – 4 k – 5 k Üçgeni ) BC = 5 k = 20 k = 4 C

www. muratguner. net ÖRNEK 1999 A Şekilde verilenlere göre l BH l = x = ? 16 20 K B x ÇÖZÜM H A 16 l KH l = h = 12 20 K 122 = l BK l. 16 ( Öklid Bağıntısı ) l BK l = 9 9 B ( 3 k – 4 k – 5 k Üçgeni ) 12 x H l BH l = x = 15 ( 3 k – 4 k – 5 k Üçgeni )

www. muratguner. net 3. MUHTEŞEM ÜÇLÜ A A H B m ( A ) = 90° ve l AH l kenarortay ise H l AH l = l BH l = l HC ise l AH l = l BH l = l HC l C B m ( A ) = 90° C

www. muratguner. net ÖRNEK A 10 Şekilde ABC dik üçgeninde l BH l = l HC l ise l AC l = ? 13 C H B ÇÖZÜM A l BH l = l HC l ise muhteşem üçlü gereği l BH l = l HC l = l AH l = 13 10 13 l AC l = 24 ( 5 k– 12 k– 13 k Üçgeni ) B 13 H 13 C

www. muratguner. net ÖRNEK A Şekilde ABC dik üçgeninde l. ABl = ? 10 7 B H 7 ÇÖZÜM A 7 C l AB l 2 + 102 = 142 !? Muhteşem üçlü gereği 90° olmalı l AB l 2 + 100 = 196 10 7 l AB l 2 = 196 – 100 l AB l 2 = 96 B 7 H 7 C l AB l = 4

www. muratguner. net ÖRNEK A l BD l = l DC l ise x = ? x 8 B ÇÖZÜM H 6 C D A l AD l = 10 ( 3 k – 4 k – 5 k Üçgeni ) l BD l = l DC l ise [ AD ] kenarortaydır. x 10 8 l BD l = l DC l = l AD l ( Muhteşem … ) l BH l = 10 – 6 = 4 B 4 H 6 D 10 C x 2 = 82 + 42 x 2 = 80 4

www. muratguner. net ÖRNEK A ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir? 12 5 C H B ÇÖZÜM A 12 5 K F 5 B l BF l = l FA l = l FH l = 5 ; muhteşem… l AK l = l KC l = l KH l = 12 ; muhteşem… 12 12 5 H l BC l = 26 ; 5 k – 12 k – 13 k Üçgeni Ç (ABC ) = 10 + 24 +26 C = 60

www. muratguner. net 4. ÖZEL DİK ÜÇGENLER Dik üçgende 30° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir. 60° a 60° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısının katına eşittir. 60° 2 a 2 a 30° a

www. muratguner. net İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarlardan birinin katına eşittir. 45° a a a 45°

www. muratguner. net 67, 5° – 22 , 5 – 90° ve 75° – 15° – 90° üçgenleri A A h h 67, 5° B 75° 22, 5° C H h H m ( B ) = 67, 5° l BC l = 2 B 15° m ( B ) = 75° dır. l BC l = 4 h dır. C

www. muratguner. net ÖRNEK A Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? x 60° B 20 ÇÖZÜM = 10 3 C

www. muratguner. net ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? x 4 30° . ÇÖZÜM x 4= 2 x=8

www. muratguner. net ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? x 3 45° . ÇÖZÜM 45° x=3 3 . 3 45°

www. muratguner. net ÖRNEK C H 5 x =? 13 12 A ÇÖZÜM l HB l = 12 12 x B ( 5 – 12 – 13 Üçgeni ) l AB l = x = 12 ( 45° – 45° - 90° üçgeni )

www. muratguner. net ÖRNEK A l AB l = 2 cm 67, 5° 22, 5° C B ÇÖZÜM A 2 2 45° 67, 5° 22, 5° B 45° 2 2 D 2 2 22, 5° C ise A( ABC ) = ?

www. muratguner. net ÖRNEK A l BD l = l DC l , l AD l = 5 cm y 5. B İse l AB l kaç cm’ dir? 3 x D x C ÇÖZÜM l AB l = y olsun. 52 = x 2 + y 2 + 4 x 2 = 52 y 2 + x 2 + 3 x 2 = 52 25 + 3 x 2 = 52 – 25 3 x 2 = 27 x 2 = 9 x = 3 y = 4 ; 3 – 4 – 5 üçgeni

www. muratguner. net ÖRNEK A Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? 60° x H B ÇÖZÜM x B 60° C 6 A 30° 60° H 30° 6 C

www. muratguner. net ÖRNEK C 45° 30° B D A ÇÖZÜM C 2 a 45° 30° A D 2 a a a 2 a B

www. muratguner. net ÖRNEK 1996 -ll A l AB l = ? 6 x 45° 30° C B ÇÖZÜM A 45° 60° x 6 3 45° B l AH l = 3 ; 30° nin karşısındaki. . . l BH l = 3 ; İkizkenar dik üçgen x= 30° 3 H C ; İkizkenar dik üçgen

www. muratguner. net

www. muratguner. net A 1. İkizkenar üçgende [ BC ] tabanına ait yükseklik , açıortay ve kenarortay aynı doğru parçasıdır. l AH l = Va = na =ha B H C 2. İkizkenarlara ait yükseklikler birbirine , açıortaylar birbirine ve kenarortaylar birbirine eşittir. A A hb B hb = h c hc nc nb C B A nb = n c C B Vb Vc Vb = V c C

www. muratguner. net A 3. İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen yüksekliklerin toplamı ikizkenarlardan birine ait olan yüksekliğe eşittir. E F B D Yani ; D [ BC ] , l AB l = l AC l ise l DE l + l DF l = hb = hc C

www. muratguner. net A 4. İkizkenar üçgende taban F E üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen paralel doğru parçalarının uzunlukları toplamı ikizkenarlardan birinin uzunluğuna eşittir. B D Yani ; D [ BC ] , l AB l = l AC l , DF // AC , DE // AB ise l DE l + l DF l = l AB l = l AC l = b C

www. muratguner. net A 5 İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları farkı ikizkenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir. F B Yani ; C D E D BC – [ BC ] , l AB l = l AC l , DE AC , DF AB ise l l DF l – l DE l l = hb = hc

www. muratguner. net ÖRNEK x =? 15 15 x 4 14 ÇÖZÜM 15 C 4 4 M 15 12 x 5 A l AD l = l DB l l CD l = 12 14 14 ; 5 – 12 – 13 üçgeni l MD l = 9 – 4 = 5 9 D ; İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır. B x = 13 ; 5 – 12 – 13 üçgeni

www. muratguner. net ÖRNEK A Şekilde verilenlere göre l AB l = l AC l ise l AB l = ? 30° E 5 F 3 B D C ÇÖZÜM A hc = 3 + 5 = 8 ; 30° hc = 8 E 5 C l AB l = l AC l = 16 F 3 D B İkizkenarlara çıkılan dikmelerin toplamı ikizkenarlardan birinin yüksekliğine eşittir. ; 30° nin karşısındaki kenar…

www. muratguner. net ÖRNEK A l BC l = ? 4 120° 30° C B ÇÖZÜM A 4 l AH l = 2 120° 60° l HC l = 4 2 30° B 30° H l BC l = C ; 30° nin karşısındaki …. . ; 60° nin karşısındaki …

www. muratguner. net ÖRNEK A l AB l = 2 ise l BC l = ? 105° 60° C B ÇÖZÜM 105° 2 3 30° 4 l BD l 2 15° 2 60° B 2 = A D 2 3 l BD l = 4 l AD l = 4 2 15° l BC l = 4 + 2 C 3 =2 3 3

www. muratguner. net 1999 ÖRNEK L A 30° 6 x D AL // MB , l AD l = 6 cm l BD l = 2 olduğuna göre l ML l = x kaç cm dir? 2 30° M B ÇÖZÜM 30° 6 2 30° B x D x 2 30° K M L A M( AKB ) = 30° 8 x= 2 ; ( İçters açı ) x=4

www. muratguner. net ÖRNEK A l DC l = 7 br , l AD l = 24 br , l AE l = l EB l ise l BD l =? E 24 B D ÇÖZÜM 7 C A x+7 E 24 l AC l = l BC l ; İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya ayırır. x + 7 = 25 7 – 24 – 25 Üçgeni x = 18 B x D 7 C ;

www. muratguner. net ÖRNEK B Şekilde ABC dik üçgeninde x = ? 12 D 10 x 10 C A ÇÖZÜM B 6 12 E 102 = 6. ( 12 + x ) 6 10 10 A 100 = 72 + 6 x D 100 – 72 = 6 x x 28 = 6 x C 14 / 3 = x

www. muratguner. net

www. muratguner. net A 1. İkizkenar üçgenin bütün özelliklerini sağlar. 60° a 2. Bütün yükseklik , açıortay ve kenarortay eşittir. 60° B Va = na =ha = x Vb = nb =hb = x Vc= nc =hc = x Va ha a na H a 60° C

www. muratguner. net 3. Eşkenar A üçgende üçgen içinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı , bir yüksekliğe eşittir. Yani ; M h K D B N [ MD ] [ AB ] , [ DK ] [ AC ] , [DN ] [ BC ] ise l DK l + l DM l + l DN l = h = C

www. muratguner. net A M a 4. Eşkenar üçgende , üçgen içinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin uzunluklar toplamı, üçgenin bir kenar uzunluğuna eşittir. D B N K C Yani ; [ MD ] // [ AC ] , [ DK ] // [ BC ] , [DN ] // [ AB ] ise l DK l + l MD l + l DN l = a

www. muratguner. net ÖRNEK A ABC eşkenar üçgen , x l BC l = 2. l CD l = 2 cm ise x = ? D C B ÇÖZÜM A l BC l = 2. l CD l = 2 l CD l = 1 , l BC l = 2 l BH l = l HC l = 1 60° 2 60° B 1 l AH l = 60° H 2 1 C 1 D ; Eşkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır. ; 60° nin karşısındaki….

www. muratguner. net ÖRNEK A ABC dik üçgen , BEF eşkenar üçgen l AE l = 2. l EF l ve l FC l = 10 ise E l BF l = ? C F B ÇÖZÜM A l AE l = 2. l EF l = x , l AE l = 2 x 2 x E x 60° B 3 x = x 60° x 30° F 10 C x + 10 6 x = x + 10 2 5 x = 10 x=2

www. muratguner. net ÖRNEK A l AD l = 7 cm , l BC l = 5 cm B m( ADC ) = m ( BCD ) = 60° ise l DC l = x kaç cm ’ dir? 60° 60° D C ÇÖZÜM A 2 E 60° B 30° 4 7 5 5 60° D l DC l = x = 4 + 5 = 9 60° 4 5 60° 5 C

www. muratguner. net ÖRNEK 1997 -l A Yandaki şekilde ABC eşkenar üçgenler , D E B C ÇÖZÜM A l DC l = 2 k , l DA l = 3 k 3 k D 30° 2 k 60° B 4 k E k C

www. muratguner. net ÖRNEK 1996 -l C D L E x O A ÇÖZÜM B C 30° l OC l = h x 8 D Yandaki şekilde ABC ve DOC eşkenar üçgenler , l CL l = l LB l l AO l = l OB l , [ DE ] // [ AB ] ve l DE l = 8 cm olduğuna göre l OL l = x kaç cm dir? L E 30° x ; x 60° A O olsun 60° B Eşkenar üçgende yükseklik tanımı

www. muratguner. net ÖRNEK A Şekilde ABC üçgeni eşkenar üçgendir. [ DE ] // [ BC ] [ GD] // [ AC ] [DF ] // [ AB ] ve l ABl = 6 br ise l DF l + l GD l + l DE l = ? G D B F E C ÇÖZÜM l DF l + l GD l + l DE l = l AB l = 6