www muratguner net HER GEN MATEMATK RENEBLR MURAT
www. muratguner. net HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER KELKİT- 2010
www. muratguner. net İÇİNDEKİLER TANIM 2 BAZI ÖNEMLİ TOPLAM FORMÜLLERİ 26 TOPLAM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ 77 KAYNAKÇA 124
www. muratguner. net TANIM 1 + 2 + 3 + 4 + …+ n 21 + 23 + 25 + …+ m 11 + 16 + 21 + 26 + 31 + 36 + 41 + 46 + 51 1. 2 + 3. 4 + 5. 6 + 7. 8 + …+ 15. 16 ifadelerinin toplamını bir sembol kullanarak en kısa biçimde nasıl ifade edebiliriz? Bu ve bunun gibi ifadeleri Yunan alfabesinin ( sigma) harfini kullanarak yazılabiliriz. a 1+ a 2 + a 3 + a 4 + …+ an toplamını sembolü kullanarak n a 1 + a 2 + a 3 + … + a n = Ana Sayfaya Geri Dön a k k =1 şeklinde gösterebiliriz. ( n, k Z )
www. muratguner. net n Üst İndis( üst sınır) ak k=1 İndis( değişken) Alt İndis( alt sınır) Alt sınır ve üst sınır birer tam sayıdır ve daima Üst sınır Alt sınır şartı sağlanır. sembolünde alt sınır 1 olmak zorunda değildir. n a k=5 n k , a k=– 2 k gibi olabilir. İndis için kullandığımız harfin önemi yoktur. k yerine i, j, m, n…gibi başka harfler de kullanılabilir. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 7 Σ 2 k k=1 toplamını açık biçimde yazınız. ÇÖZÜM 2 k ifadesinde k yerine önce alt sınır olan 1 yazılır. Bu işlem bitince + konulur, sonra 1 den sonraki tamsayı olan 2 yazılır. Bu işlemler üst sınır olan 7’e kadar yapılır. 7 Σ 2 k = 2. 1 + 2. 2 + 2. 3 + 2. 4 + 2. 5 + 2. 6 + 2. 7 k=1 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 2 n + 1 k Σ k=1 toplamını açık biçimde yazınız. ÇÖZÜM 2 n + 1 k Σ k=1 = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ n +…+ 2 n + ( 2 n+1) Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 1 ( 2 s + 1 ) Σ s= – 2 toplamını açık biçimde yazınız ÇÖZÜM 1 ( 2 s + 1 ) = 2(– 2 ) + 1 + 2(– 1 ) + 1 + 2( 0 ) + 1 + 2( 1 ) + 1 Σ s= – 2 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 1 ( Cos kπ ) ifadesinin sonucu kaçtır? Σ k = – 3 ÇÖZÜM 1 (Cos kπ ) = Cos(– 3π)+ Cos(– 2π)+ Cos(– π)+Cos 0+Cosπ Σ k = – 3 =– 1+1– 1 =– 1 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 10 3 ifadesinin değeri kaçtır? k Σ k= – 9 ÇÖZÜM 10 k 3 Σ k= – 9 = (– 9 )3 + (– 8)3 +…+ 83 + 93 + 103 = 1000 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 4 2 + k ) ifadesinin sonucu kaçtır? ( 2 k Σ k= – 1 ÇÖZÜM 4 Σ ( 2 k 2 + k ) = [ 2(– 1 )2 + ( – 1 ) ] + 0 + 3 + 10 + 21 + 36 k= – 1 = 71 Örneklerde de görüldüğü gibi sembolü belirli kurallara göre ardışık toplam fonksiyonudur. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK æ n ö ifadesi n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı çç ÷÷ è r ø olduğuna göre, 9 Σ k=1 9 toplamının sonucu kaçtır? k ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 41 k. (2 k+3) (– 1) Σ ifadesinin değeri kaçtır? k= 1 ÇÖZÜM 41 +2 +2 k. (2 k+3) = – 5 + 7 – 9 + 11 – 13 +15+… – 81+ 83 – 85 (– 1) Σ k= 1 = 2 + 2 +…+ 2 – 85 20 tane = 40 – 85 = – 45 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 98 Σ x=9 log( 1 - 1 ) toplamının sonucu kaçtır? x +2 ÇÖZÜM 98 1 log( 1 ) = Σ x +2 x=9 98 x+1 log( ) Σ x +2 x=9 10 11 99 + + + = log. . . log 11 12 100 x, y R+ için loga( x. y ) = logax + logay = log Ana Sayfaya Geri Dön 10 11 99 1. . = log 10– 1 11 12 100 10 =– 1
www. muratguner. net ÖRNEK 179 Cotm° toplamının değeri kaçtır? Σ m=1 0( ÇÖZÜM Cot 179° = – Cot 1° ) 179 Cotm° = Σ m=1 Cot 1°+Cot 2°+ Cot 3°+…+Cot 177°+Cot 178°+Cot 179° 0( = 0 + 0 + …+ Cot 90° =0 Ana Sayfaya Geri Dön Cot 178° = – Cot 2° )
www. muratguner. net ÖRNEK 90 2 k° toplamının değeri kaçtır? Sin Σ k=1 ÇÖZÜM 90 Sin 2 k° = Σ k=1 Sin 21°+Sin 22°+ …+ Sin 244°+Sin 245° + Sin 246°+…. . . + Sin 288°+Sin 289°+ Sin 290° = Sin 21°+Sin 22°+ …+ Sin 244°+Sin 245° + Cos 244°+. . . + Cos 22°+ Cos 21°+Sin 290° 1 1 1 = 1+1+…+ 1 + Sin 245°+ Sin 290° 44 tane = 45, 5 Ana Sayfaya Geri Dön Sin 2 a°= Cos 2 b° ( a+b=90°) Sin 2 a +Cos 2 a = 1
www. muratguner. net ÖRNEK n N için xn = xn – 1+ n ve x 1= 1 dir. f(x) = x 2 – x olduğuna göre 3 xi. (f ( xi ) ) Σ i=1 işleminin sonucu kaçtır? ÇÖZÜM 3 xi. (f ( xi )) = x 1. f(x 1) + x 2. f(x 2) + x 3. f(x 3) = 1. f(1)+3. f(3)+6. f(6) Σ i=1 = 1. 0 + 3. 6 + 6. 30 xn = xn – 1+ n x 2 = x 1+ 2 x 2 = 3 x 3 = x 2+ 3 x 2 = 6 f( x ) = x 2 – x f( 1 ) = 12 – 1 = 0 f( 3 ) = 32 – 3 = 6 f( 6 ) = 62 – 6 = 30 Ana Sayfaya Geri Dön = 198
www. muratguner. net ÖRNEK x 3 – 2 x 2 – 8 x + 4 = 0 denkleminin kökleri x 1, x 2, x 3 dür. 3 Buna göre, Σ k=1 1 xk işleminin sonucu kaçtır? ÇÖZÜM 3 Σ k=1 – 8 x 2. x 3 + x 1 x 2 1 1 + + = = =2 xk = x 1 x 2 x 3 x 1. x 2. x 3 – 4 Üçüncü dereceden denklemlerde; d 4 = – 4 a 1 c + + = = – 8 =– 8 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2. x 3 a 1 x 1. x 2. x 3 = – Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK n f(x) = n! ise Σ x=1 f(10) kaçtır? ÇÖZÜM 10 f(x) = 10! Σ x=1 f( 1 ) + f( 2 ) + …+ f( 9 ) + f( 10 ) = 10! 9 f(x) = 9! Σ x=1 9! + f( 10 ) = 10! – 9! Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK y – 1 Yandaki şekilde y = f ( x ) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, 2 x 2 f(x) toplamın değeri kaçtır? Σ x=– 2 ÇÖZÜM Şekilde grafiği verilen fonksiyonun denklemi 2 f(x) = f(– 2 ) + f(– 1) + f ( 0 ) + f( 1 ) + f( 2 ) = – 5 Σ x=– 2 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK i 2 = – 1 olmak üzere 45 i 2 k+1 Σ k=1 toplamının değeri kaçtır? ÇÖZÜM 45 2 k+1 = i 3 + i 5 + i 7 + i 9 +…+ i 85 + i 87 + i 89 + i 91 i Σ k=1 = ( – i ) + i +…+ ( – i ) + i + ( – i ) 0 =–i Ana Sayfaya Geri Dön 0 0 0
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki ifadeleri toplam sembolü ile yazınız. A) 2. 4 +4. 6 + 6. 8 +…+ 100. 102 = 2. 4 +4. 6 + 6. 8 +…+ 100. 102 toplamındaki terimler ardışık iki çift sayının çarpımıdır. Ardışık çift sayılar n Z olmak üzere, 2 n+ 2 biçiminde gösteririz. B) 10 + 17 + 26 +…+ 901 = 32+1 42+1 52+1 302+1 2 n( 2 n + 2 ) Σ n=1 30 ( k 2 + 1 ) Σ k=1 C) 1. 3 + 2. 5 + 3. 7 +…+ 50. 101 = Her terimdeki birinci çarpan 1 den başlayan sayma sayılarıdır. İkinci çarpan ise solundaki çarpanın 2 katının 1 fazlası olmaktadır. Ana Sayfaya Geri Dön 50 50 n( 2 n + 1 ) Σ n=1 Bu soruların şifresini çözmem lazım ama nasıl? ? ? ama nasıl BULDUM!
www. muratguner. net ÖRNEK 7 + 11 + 15 + 19 + …+ 119 toplamını gösterimi ile ifade ediniz. ÇÖZÜM Verilen toplamı gösterimi ile ifade edebilmek için toplanan terimlerin uyduğu kuralı bulmalıyız. İlk olarak terimlerin her seferinde 4 arttığına dikkat edelim. +4 +4 +4 7 + 11 + 15 + 19 + …+ 119 Bu tür, artış miktarının sabit olduğu sorularda aşağıda göstereceğimiz mantığı kullanırsanız alt sınırın 1 olmasını garantilemiş olursunuz. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Madem 4 artıyor, ilk terim olan 7 den önce 7 + 11 terimler + 15 + her 19 seferinde + …+ 119 ifadesindeki terimlerin 4’ünbir terim olsaydı 7 – 41=eksiği 3 olurdu. katlarının olduğunu görenler artık bu işi çözmüşler +4 +4 +4 demektir. Yolunuz da bahtınız da açık olsun. Sizi kimse 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + …+ 119 tutamaz. . . Bu terimler 3 ten itibaren 4 er artıyorlar şeklinde yorumlayarak, terimlerin 4 k – 1 gerektiğini = 119 görürüz. O halde, 4 k –olduğu 1 = 7 kuralın ( 3 + 4 k ) olması sahip ? k = 30 ( üst sınır) k = 2 ( alt sınır) 7 + 11 + 15 + …+ 119 = ( 4 k + 3 ) yazabiliriz. k = 29 1 30 4 k –yazdığımızda 1 ) ) = üst(sınırı 7 sınırı + 11 bulmak + 15 +oldukça …+ 119 = ( 4 k +k 3 yerine Üst kolaydır, çünkü k=2 k=1 son terim olan 119 u elde ederiz. 4 k + 3 = 119 k = 29 ( üst sınır ) 29 7 + 11 + 15 + …+ 119 = ( 4 k + 3 ) k=1 Ana Sayfaya Geri Dön ( İstenirse böyle de yazılabilir)
www. muratguner. net ÖRNEK n 6 + 9 + 12 + …+ 81 = ( a. k + b ) olduğuna göre, a + b + n kaçtır? k=1 ÇÖZÜM +3 +3 +3 3 + 6 + 9 + 12 + …+ 81 Terimler 3 er artıyor ve ilk terim olan 6 dan önce terim olsa bu terim 6 – 3 = 3 olurdu. O halde terimlerin uyduğu kural 3 k+3 ? 26 n 27 kk = =1 1 k=2 6 3 k + +3 3 )) = ( a. k + b ) = ( 3 k ) 6+ +9 9+ + 12 12 + + …+ …+ 81 81 = = (( 3 k = 26 3 k=+33, = ( üst a b 81 = 3 , n =k 26 olup a +sınır b + )n = 32 Ana Sayfaya Geri Dön ( İstenirse böyle de yazılabilir)
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdakilerden hangisi 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren üç basamaklı doğal sayıların toplamını ifade eder. 999 A) Σ ( 5 a + 2 ) a=100 199 D) Σ ( 5 k + 2 ) k=20 100 B) Σ ( 5 p + 2 ) p=2 997 C) Σ i i=102 190 E) Σ ( 5 j – 2 ) j=19 ÇÖZÜM 5 ile bölündüğünde 2 kalanını veren üç basamaklı doğal sayılar 5 in katlarından 2 fazla ( 5 x + 2 ) olan sayılardır. Bunların en küçüğü 102, en büyüğü 997 dir. 5 x+ 2 =102 x =20( alt sınır) Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net BAZI ÖNEMLİ TOPLAM FORMÜLLERİ İSPAT Tüme varım yöntemi ile daha önce ispatlamış olduğumuz ( yı tersten yazıp tarafa toplayalım. ) formülün tümevarımdan farklı hem matematiksel hem de geometrik ispatları aşağıda yapılmıştır. + n tane Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net İSPAT – 2 D n n– 1 n– 2 1 C 2 n 3 n– 2 n– 1 n 4 3 2 A 1 n+1 Ana Sayfaya Geri Dön Yandaki dikdörtgende n tane satırda bulunan her bir dikdörtgenin alanları toplamı ( n+ 1 ) Alan( ABCD) = n(n + 1 ) 2( 1 + 2 + 3 + …+ n) = n(n + 1 ) B 1 + 2 + 3 + …+ n = n( n + 1 ) 2
www. muratguner. net ÖRNEK işleminin sonucu kaçtır? ÇÖZÜM Sigmanın kullanalım. – 4 – 3 – 2 tanımını – 1+0+ 1 + 2 + 3 +…+ 18 = – 10 + 171 =161 – 10 İleriki aşamalarda sınır değiştirme yöntemiyle de çözebileceksiniz… Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK işleminin sonucu kaçtır? ÇÖZÜM Sigmanın tanımını kullanalım. 1 + 2 + 3 +…+ 9 + 10 + 11 + 12 +…+ 25 ? Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 1 + 2 + 3 + …+ n = 210 eşitliğini sağlayan n doğal sayısını bulunuz. ÇÖZÜM n(n+1) = 210. 2 = 21. 20 n = 20 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Kürdanlar bir araya getirilerek … oluşturulan üçgenler için bir f fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanıyor. f : Üçgenlerin tabanındaki kürdan sayısı Üçgendeki toplam kürdan sayısı Buna göre, f(6) nın değeri kaçtır? ÇÖZÜM … f(1) = 3. 1= 3 f(2) = 3( 1+ 2 ) = 9 f(3) = 3( 1+ 2 + 3 ) = 18 f(6) = 3( 1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net İSPAT 2 + 4 + 6 +. . . + 2 n = 2. (1 + 2 + 3 +. . . + n ) n(n + 1) = 2( ) 2 = n. ( n + 1 ) Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net İSPAT – 1 ( T yi tersten yazıp tarafa toplayalım. ) + Terim sayısı = Ana Sayfaya Geri Dön ( 2 n – 1) – 1 +1 2 n tane ?
www. muratguner. net İSPAT – 2 eşitliğinin her iki tarafını, 2 ile çarptıktan sonra n tane 1 in toplamından çıkaralım. 2 + 4 + 6 + …+ 2 n = n 2 + n – 1 + 1 + …+ 1 = n 1 + 3 + 5 + …+ (2 n – 1) = n 2 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 2 + 4 + 6 + …+ 20 toplamını hesaplayınız. ÇÖZÜM – 1 2 + 4 + 6 + …+ 20 = 2. ( 1+ 2 + 3 + …+ 10 ) ÇÖZÜM – 2 2 + 4 + 6 + …+ 2 n = n ( n + 1 ) 2 + 4 + 6 + …+ 20 = 10. 11 = 110 20 = 2 n ise n = 10 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 2 + 4 + 6 + …+ 20 toplamını hesaplayınız. ÇÖZÜM – 3 Artış miktar sabit olan ardışık sayıların sonlu tanesinin toplamını bulmak için aşağıdaki formülü de kullanabiliriz: Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 1 + 3 + 5 + …+ 101 toplamını hesaplayınız. ÇÖZÜM 1 + 3 + 5 + …+ 101 = 512 = 2601 2 n – 1 = 101 ise n = 51 Ana Sayfaya Geri Dön 1 + 3 + 5 + …+ ( 2 n – 1 ) = n 2
www. muratguner. net ÖRNEK 21 + 23 + 25 + …+ 63 toplamını hesaplayınız. ÇÖZÜM – 1 21+ 23 + 25 +…+ 63 = (1+ 3+ 5+…+ 63) – ( 1+ 3+ 5+…+19 ) = 322 – 102 = 924 2 n – 1 = 63 ise n = 32 2 n – 1 = 19 ise n = 10 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 21 + 23 + 25 + …+ 63 toplamını hesaplayınız. ÇÖZÜM – 2 Ana Sayfaya Geri Dön
İKİ BASAMAKLI BİR SAYININ KARESİ ( a + b )2 = a 2 + 2. a. b + b 2 (ab)2 = a 2 | 2. a. b | b 2 212 = 22 | 2. 2. 1 | 12 = 4 | 1= 441 422 = 42 | 2. 4. 2 | 22 = 16 | 4 = 16 +1 | 6 | 4 = 1764 ; 16 nın 6 sı onlar basamağına yazarken elde kalan 1, sol tarafa eklenir.
ÖRNEK 872 = ? ÇÖZÜM 872 = 82 | 2. 8. 7 | 72 = 64 | 112 | 49 = 64 | 112+4 | 9 = 64 | 116 | 9 = 64+11 | 6 | 9 =7569 ; 49 unu birler basamağına yazarken elde kalan 4, sol tarafa eklenir. ; 116 nın 6 sını onlar basamağına yazarken elde kalan 11, sol tarafa eklenir.
www. muratguner. net İSPAT diyelim ve eşitliğin her iki tarafını r ile çarpıp tarafa çıkaralım. – Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM 2 3 9 æ 1ö 1 + ç - ÷ +. . . + ç - ÷ è 2ø Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 18 metre yükseklikten bir top serbest düşmeye bırakılıyor ve bu top her seferinde inerken aldığı yolun 2/3 ü oranında zıplıyor. Top 4. kez yere çarptığında aldığı yolun toplamı kaç metredir? ÇÖZÜM 18 m Toplam Yol = 1 2 18 Ana Sayfaya Geri Dön 3 4
www. muratguner. net İSPAT ( Basit kesirlere ayırma metodu) Sigmanın tanımını kullanalım. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net BASİT KESİRLERE AYIRMADA PRATİK YÖNTEM – 1 ifadesinde n ve m ardışık iki tamsayı ise basit kesirlere ayırma, şeklinde yapılır. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki örnekleri dikkatlice inceleyiniz. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının değeri kaçtır? ÇÖZÜM – 1 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının değeri kaçtır? ÇÖZÜM – 2 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net TOPLAM HESABINDA PRATİK YÖNTEM n, m, p Z ve n > m olmak üzere, Alt Sınır Üst Sınır p ve ( p + 1) ardışık sayılar olduğuna dikkat ediniz. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının değeri kaçtır? ÇÖZÜM – 3 Küçük Çarpan ( k yerine alt sınır olan 50’yi yaz) Büçük Çarpan ( k yerine üst sınır olan 99’u yaz) Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının değeri kaçtır? ÇÖZÜM Ardışık olduğuna dikkat ediniz. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK olduğuna göre, m değeri kaçtır? ÇÖZÜM Ardışık olduğuna dikkat ediniz. m=5 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net BASİT KESİRLERE AYIRMADA PRATİK YÖNTEM – 2 n, m, Z ve n m olmak üzere, Aşağıdaki örnekleri dikkatlice inceleyiniz. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ifadesinin değeri kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının değeri kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK n 1 için ÇÖZÜM n = 99 için Ana Sayfaya Geri Dön 2007 MAT– 2 olduğuna göre a 99 değerini bulunuz.
www. muratguner. net İSPAT 13 = ( 0 + 1 )3 = 03 + 3. 02. 1 + 3. 0. 12 + 13 23 = ( 1 + 1 )3 = 13 + 3. 12. 1 + 3. 1. 12 + 13 … 33 = ( 2 + 1 )3 = 23 + 3. 22. 1 + 3. 2. 12 + 13 (n + 1)3 = ( n + 1 )3 = n 3 + 3. n 2. 1 + 3. n. 12 + 13+23+…+n 3 + (n +1)3 =13+23+…+n 3+3(12+22+…+n 2)+3(1+2+…+n)+(n+1) T Yukarıdaki işlemi sonuçlandırarak ispatı tamamlayınız. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net İSPAT Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK olduğunu tümevarım kullanmadan gösteriniz. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK p ve n pozitif tamsayılardır. 1979 ÜSS eşitliği bilindiğine göre p. ( p+1) + ( p + 1). ( p + 2 ) + …+ 2 p(2 p + 1) toplamını p cinsinde hesaplayınız. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 1979 ÜSS ( a, b sabit tamsayı ve n N ) eşitliği bilindiğine göre, 2 a+b toplanın değeri kaçtır? ÇÖZÜM ; Polinom eşitliği a=3 b=2 Ana Sayfaya Geri Dön 2 a+b = 2. 3 + 2 = 8
www. muratguner. net ÖRNEK Karesi 100 den küçük olan doğal sayıların karelerinin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM Karesi 100 den küçük olan doğal sayı 9 dur. 9 02 + 12 + 22 + 32 +…+ 92 = k 2 = k=0 Ana Sayfaya Geri Dön 9. 10. 19 = 285 6
www. muratguner. net ÖRNEK Yandaki şekilde bir satranç tahtası görülmektedir. Satranç tahtasını inceleyiniz. Satranç tahtasında 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3, …, 8 x 8 birim karelik kaçar tane kare vardır? Bu karelerin sayısını toplam sembolü kullanarak gösterebilir miyiz? Toplama sembolü ile gösterdiğiniz karelerin sayılarının toplamını bulabilir misiniz? ÇÖZÜM Bir kenarı 8 birim olan 12 = 1 tane kare var. Bir kenarı 3 birim olan 62 = 36 tane kare var. Bir kenarı 7 birim olan 22 = 4 tane kare var. Bir kenarı 2 birim olan 72 = 49 tane kare var. Bir kenarı 6 birim olan 32 = 9 tane kare var. Bir kenarı 1 birim olan 82 = 64 tane kare var. Bir kenarı 5 birim olan 42 = 16 tane kare var. Bir kenarı 4 birim olan 52 = 25 tane kare var. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net 1986 – II ÖRNEK 1 den n ye kadar olan n tane doğal sayının kareleri toplamı T = 12 + 22 + 32 +…+ n 2 dir. Bu n tane sayıdan her biri 1 kadar artırıldığında T ne kadar artar? ÇÖZÜM Sayılarımız 1 , 2 , 3 , …, n olsun. T = 12 + 22 + 32 +…+ n 2 Burada her bir terimi 1 artırdığımızda T′ = 22 + 32 + 42 +…+ n 2 + ( n + 1 )2 olur. = 22 + 32 + 42 +… + n 2 + 2 n + 1 = 12 + 22 + 32 +… n 2 + 2 n T Ana Sayfaya Geri Dön Artma miktarı = n(n+2)
www. muratguner. net İSPAT Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net İSPAT 12 = ( 0 + 1 )2 = 02 + 2. 0. 1 + 12 32 = ( 2 + 1 )2 = 22 + 2. 2. 1 + 12 … 52 = ( 4 + 1 )2 = 42 + 2. 4. 1 + 12 ( 2 n – 1)2 = ( (2 n – 2) + 1 )2 = (2 n – 2)2 + 2. ( 2 n – 2 ). 1 + 12 ( 2 n + 1)2 = ( 2 n + 1 )2 = (2 n)2 + 2. (2 n). 1 + 12+32+…+(2 n – 1)2 + (2 n +1)2 = 22+42+…+(2 n)2+2(2+4+6+…+n)+(n+1). 1 T Yukarıdaki işlemi sonuçlandırarak ispatı tamamlayınız. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 52 + 152 + 252 + …+ 952 toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM 52 + 152 + …+ 952 = 52 + (3. 5)2 + (5. 5)2 + …+ (19. 5)2 = 52 + 32. 52 + 52. 52 + …+ 192. 52 = 52 [ 1+ 32 + 52 + …+ 192 ] Ana Sayfaya Geri Dön 2 n – 1 = 19 n = 10
www. muratguner. net İSPAT 14 = ( 0 + 1 )4 = 04 + 4. 03. 1 + 6. 02. 12 + 4. 0. 13 +. 1. 14 24 = ( 1 + 1 )4 = 14 + 4. 13. 1 + 6. 12 + 4. 1. 13 +. 1. 14 34 = ( 2 + 1 )4 = 24 + 4. 23. 1 + 6. 22. 12 + 4. 2. 13 +. 1. 14 … 44 = ( 3 + 1 )4 = 34 + 4. 33. 1 + 6. 32. 12 + 4. 3. 13 +. 1. 14 n 4 =((n – 1)+1)4 = (n – 1)4+ 4. (n – 1)3. 1+6. (n – 1)2. 12+ 4. (n – 1). 13 +1. (n– 1)4 ( n +1)4 = ( n + 1)4 = n 4 + 4. n 3. 1 + 6. n 2. 12 + 4. n. 13 +14 + Yukarıdaki işlemi sonuçlandırarak ispatı tamamlayınız. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net … ÖRNEK Şekildeki cisim kenar uzunlukları 1, 2, 3, …, 10 br olan 10 tane küpün üste konulmasıyla oluşmuştur. Buna göre cismin hacmi kaç birim küptür? ÇÖZÜM Cismin hacmini V ile gösterirsek, V = 13 + 23 + 33 + 43 +…+103 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK olduğunu tüme varım kullanmadan gösteriniz. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK olduğunu tüme varım kullanmadan gösteriniz. ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının değeri kaçtır? ÇÖZÜM Paya 1 ekleyip 1 çıkaralım. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının değeri kaçtır? ÇÖZÜM Pay ve paydayı k ile çarpalım. Ana Sayfaya Geri Dön 0
www. muratguner. net TOPLAM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ 1. n c = c + c +…. + c = n. c Σ k=1 ; c R n tane ( terim sayısı kadar ) n c = c + c +…. + c = ( n + 1). c Σ k=0 ( n +1 ) tane ( terim sayısı kadar ) n c = c + c +…. + c = ( n – p + 1). c Σ k=p (n – p + 1) tane ( terim sayısı kadar ) Ana Sayfaya Geri Dön ak = c (sabit fonksiyon) veya c = c. 1 k gibi düşünülürse ispat âşikârdır.
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. 4 6 = 4. 6 = 24 Σ k=1 7 2 = ( 7 + 1 ). 2 = 16 Σ k=0 10 5 = (10 – 4+1). 5 = 35 Σ k=4 Ana Sayfaya Geri Dön 1 3 = ( 1– ( – 4 ) + 1 ). 3 = 18 Σ k=– 4 4 2 n = 4. (2 n) = 8 n Σ k=1 4 p = 4. p Σ k=1
www. muratguner. net ÖRNEK olduğuna göre, n kaçtır? ÇÖZÜM (2 n – 1) ifadesi k ya (alt indise) bağlı olmadığından (2 n – 1) sabit sayısıdır. Yani, (2 n – 1) R dir. [ 4 – ( – 4 ) + 1 ]. (2 n – 1 ) = 81 9(2 n – 1 ) = 81 Ana Sayfaya Geri Dön 2 n – 1 = 9 n = 5
www. muratguner. net 2. n n c. ak= c. Σ ak Σ k=1 ; c R ( c yi sigma dışına çıkarabiliriz. ) İSPAT n c. ak= c. a 1 + c. a 2 + c. a 3 +…. + c. an Σ k=1 = c. (a 1 + a 2 + a 3 +…. + an ) n = c. Σ ak k=1 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. n n k=m 29 29 Σ 6 k = 6. Σ k g. s = s. Σ g=1 g=1 34 ( Alt indis k ya bağlı olduğu için ( 6 k ) ifadesinde ki 6 çarpanı sabittir. ( Alt indis g ye bağlı olduğu için ( gs ) ifadesinde ki s çarpanı sabittir. 34 a. b. k = a. b. Σ k=2 k=2 Ana Sayfaya Geri Dön ( Alt indis k ya bağlı olduğu için ( a. b. k ) ifadesinde ki a. b çarpanı sabittir.
www. muratguner. net 3. n n n ( ak ± bk ) = Σ ak ± Σ bk ( sembolünün toplama ve çıkarma Σ k=1 k = 1 işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. ) k=1 İSPAT n ( ak ± bk ) = ( a 1± b 1) + ( a 2± b 2 ) +…+ ( an ± bn ) Σ k=1 = ( a 1 + a 2 +…+ an ) ± ( b 1 + b 2 +…+ bn ) n ak Σ k=1 n n n ( a k ± b k ) = Σ ak ± Σ bk Σ k=1 k=1 Ana Sayfaya Geri Dön n bk Σ k=1
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. 9 9 9 ( 5 k + 4 ) = Σ 5 k + Σ 4 Σ k=1 k=1 12 12 9 = 5. Σ k + k=1 12 ( 2 k 2 – 5 k + 3 ) = Σ 2 k 2 – Σ 5 k Σ k=3 k=3 12 12 k=3 k=1 4 Σ k=1 12 + = 2. Σ k 2 – 5. Σ k + Ana Sayfaya Geri Dön 9 3 Σ k=1 12 3 Σ k=1
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 1. 3 + 2. 6 + 3. 11 + 4. 18 + …+ 8. 66 toplamını hesaplayınız. ÇÖZÜM 1. 3 + 2. 6 + …+ 8. 66 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 1 den 100 e kadar olan doğal sayılardan 3 ile kalansız bölünemeyenlerin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM İstenen toplamı bulmak için 1 + 2 + 3 + …+ 100 toplamından 3 ile kalansız bölünenlerin toplamını çıkarmak kâfi olacaktır. İstenen sayıların toplamına T diyelim. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki örneği inceleyiniz. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net UYARI sembolünün çarpma ve bölme işlemi üzerine dağılma özelliği yoktur. Yani; n n n ( a k. b k ) Σ ak. Σ bk Σ k=1 k=1 n n Σ k=1 ak bk Ana Sayfaya Geri Dön ak Σ k=1 n Σk =b 1 k
www. muratguner. net sembolünün çarpma ve bölme işlemi üzerine dağılma özelliğinin olmadığını bir örnekle görelim. 1. 2 + 2. 3 (1 + 2 ). ( 2 + 3 ) 8 15 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK n ( ak+2 ) = 2 n + 3 Σ k= 1 n ( ak. bk ) Σ k= 1 ve n ( bk – 4 ). ak = 0 olduğuna göre, Σ k= 1 ifadesinin değeri kaçtır? ÇÖZÜM nn nn n n (a = k)= +0 3 ak(a+k. bΣ 2 4=Σ 2 n (a ak= (b ak +2 – 4) ). a = 2 n 0 3 Σ k+2 Σ Σ k) – Σ k. b k – )4 a k =+ Σ k =k 1= 1 k=1 k= 1 kk= = 11 n ( ak. bk – 4 ak ) = 0 Σ k=1 nn 2 n =+ 03 ( aakk. +bk 2 n ) –=4. 3 Σ Σ kk==11 nn =b 3 (aa Σ k k. k) kk == 11 Ana Sayfaya Geri Dön = 12
www. muratguner. net ÖRNEK olduğuna göre, a+b+c ifadesinin eşiti kaçtır? ÇÖZÜM n =1 için olur. k, 6 ve 7 değerlerini alacağı için formül kullanmaya gerek yok. (isterseniz kullanabilirsiniz)Sigmanın tanımını kullanmak yeterli olacaktır. ( 13. 6 + 3 ) + ( 13. 7 + 3 ) = a + b + c Ana Sayfaya Geri Dön a + b + c = 175
ÖRNEK ise kaçtır? ÇÖZÜM n =1 için n =0 için
www. muratguner. net ÖRNEK olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM Daha önce ispatlamış olduğumuz formülün toplam sembolü özellikleri yardımıyla ispatı aşağıda yapılmıştır. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK f, g : N N, olduğuna göre, fog(4) ifadesinin değeri kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön Bunun için formül kullanmaya gerek yok…
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının değeri nedir? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön 1979 ÜSS
www. muratguner. net 4. 1 < p < n ve p Z olmak üzere, p n a k = Σ ak + Σ ak Σ k=1 k = p+1 k=1 İSPAT n Σ ak = a 1 + a 2 + … + ap – 1 + ap + 1 +…+ an – 1 + an k=1 p ak Σ k=1 n p n a k = Σ ak + Σ ak Σ k=1 k = p+1 k=1 Ana Sayfaya Geri Dön n n ak Σ k = p+1
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. ( 4 ün 1 fazlası ) ( 3 ün 1 fazlası ) ( 10 un 1 fazlası ) ( 12 nin 1 fazlası ) Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 35 8 35 ak = m, Σ ak = n, Σ ak = p olduğuna göre, Σ k=1 k = 15 14 ak toplamının m, n ve p cinsinden değerini bulunuz. Σ k=9 ÇÖZÜM 35 8 14 35 ak = Σ ak + Σ ak Σ k=1 k=9 k = 15 k=1 14 m=n+ 14 ak + p Σ ak = m – n – p Σ k=9 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK olduğuna göre, a kaçtır? ÇÖZÜM 110 a +22 = 352 Ana Sayfaya Geri Dön 110 a = 330 a=3
www. muratguner. net ÖRNEK 5 e bölündüğünde 3 kalanını veren bütün iki basamaklı doğal sayıların toplamı kaçtır? ÇÖZÜM 5 e bölündüğünde 3 kalanını veren bütün iki basamaklı doğal sayıları ( 5 k + 3 ) şeklinde gösterebiliriz. 5 k + 3 = 13 k = 2 ( alt sınır) 5 k + 3 = 98 k = 19 ( üst sınır) ( terim sayısı ) ( alt sınır 2 den başladığı için 1 çıkarıldı ) Bir sonraki aşamada sınır değiştirme yöntemiyle de çözebileceksiniz… Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net 5. SINIR DEĞİŞTİRME Alt sınırın 1 den başlamak gibi zorunluluğu olmadığını biliyoruz. Bazı durumlarda alt sınırın 1 den başlaması bize kolaylık sağlar. ( Bu kolaylığı ileride göreceğiz. ) Alt sınır 1 değilse, alt sınırı 1 yapacak şekilde sembolünü yeniden düzenleyeceğiz. Daha toplamında den değil de istiyoruz. Bunun Bu sefer kkyıyı 11 den değil de 3(–ten 2) başlatmak den başlatalım. 1 olan alt genel ifadeyle alt 2 sınırı istediğimiz tam sayıya çevirmek bizim için 1 bir olan alt sınırı artırmalıyız. Altsınıriçin nasıl değişiyorsa sınırdan 3 çıkarıyoruz, aynı işlemi üst yapıyoruz, yani üst elimizde. Şimdi bunu değişir, yani nasıl yapacağımızı sınırda üstkarşılık sınıröğreneceğiz. da 2 içindeki artırıyoruz. Bunlara sınırdanaynı da şekilde 3 çıkarıyoruz. Bunlara k ya ters karşılık içindeki k yı 2 azaltıyoruz. işlem uygulayıp 3 ekliyoruz. k= – 1 k=3 k=4 k= – 2 k=10 k=5 Buna göre, sınır değiştirilirken alt ve üst sınırlara hangi işlem uygularsak, sembolü içerisindeki k ya ters işlem uygularız. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ; p Z İSPAT SİZDE olduğunu benzer şekilde gösterilebilirsiniz. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 13 ( k 2 – 8 k + 16 ) Σ k=5 işleminin sonucu kaçtır? 1( Hamallık Yöntemi) ÇÖZÜM – 2 13 Σ k=5 13 13 k =k 5= 5 k=5 (k ( kk– 2 – 4 8)2Σ ( ksınır ( k 22–– 8 k 8 k+16) + 16=) Σ =Σ + değiştirme Σ 16 yapalım. ) 13 –sonuca 4 9 işlemlerini hesaplayıp gidilebilirsiniz. . . Vakti olan uğraşsın… = Σ ( (k + 4) – 4)2 = Σ k 2 = 9. 10. 19 = 285 6 k = 5 – 4 k = 1 TAVSİYE EDİLMEZ. ‘’Daha kolayı yok mu ? ’’ diyenler yok mu? Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net UYARI X X Sıkça yapılan bu hataya dikkat ediniz… Sınır değiştirirken alt ve üst sınırlara hangi işlem uygularsak, sembolü içerisindeki k ya (sadece K ya ) ters işlem uygularız. DOĞRUSU Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM – 2 1 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK olduğuna göre, n kaçtır? ÇÖZÜM – 1 Alt sınır 1 yapalım. n = 10 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK olduğuna göre, n kaçtır? ÇÖZÜM – 2 n = 10 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK olduğuna göre, n kaçtır? ÇÖZÜM – 3 Sigmanın tanımını kullanalım. 10 tane Ana Sayfaya Geri Dön n = 10
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM – 1 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM – 2 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM – 1 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının sonucu kaçtır? ÇÖZÜM – 2 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net 1996 – II ÖRNEK 102 ile 353 arasında bulunan ve 5 ile kalansız bölünebilen sayıların toplamı kaçtır? ÇÖZÜM – 1 102 ile 353 arasında bulunan ve 5 ile kalansız bölünebilen sayılar; 105, 110, 115, 120, …, 350 5 k = 105 ise k = 21 (alt sınır) Ana Sayfaya Geri Dön 5 k = 350 ise k = 70 (üst sınır)
www. muratguner. net 1996 – II ÖRNEK 102 ile 353 arasında bulunan ve 5 ile kalansız bölünebilen sayıların toplamı kaçtır? ÇÖZÜM – 2 105 + 110 +115 + 120+…+ 350 = T olsun. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net 1996 – II ÖRNEK 102 ile 353 arasında bulunan ve 5 ile kalansız bölünebilen sayıların toplamı kaçtır? ÇÖZÜM – 3 105 + 110 +115 + 120+…+ 350 = T olsun. T = 5. ( 21 + 23 + 25 +…+ 70 ) Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net 6. İç içe geçmiş sembollerinde sigmalar kendi aralarında yer değiştirebilir. Yani, Toplama işleminde değişme özelliği vardır. Açılımın önce j ye veya k ya göre yapılması, sonucu değiştirmez. j ye göre hesap yapılıyorsa k sabit bir sayı, k ya göre hesap yapılıyorsa j sabit bir sayı olarak düşünülmelidir. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net 1990 – II ÖRNEK ifadesinin değeri kaçtır? ÇÖZÜM Çözüme en sağdan başlayalım. Burada işlem yaparken değişken s olduğundan k sabit sayı gibi düşünülmeli. Ana Sayfaya Geri Dön Bunun için formül kullanmaya gerek yok…
www. muratguner. net ÖRNEK 61 Σ k=6 3 k +3 - 3 k +2 toplamının değeri kaçtır? ÇÖZÜM 61 Σ k=6 3 k +3 - 3 k +2 = 3 3 9 – 8 3 10 – 3 3 – 11 10 3 3 64 – 63 3 3 – 64 8 =4– 2=2 3 9 … + Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Daha önce öğrendiğim formüller burada bir işe yaramıyor… ÖRNEK k Σ n=1 1 n +1 + n = 4 olduğuna göre, k kaçtır? İlginç! ÇÖZÜM Ne yapmalı? … n +1 – ilen alakalı olmadığından soruyla 1 toplam k k Önemli formülleri 1 = = 1 n +1 – n – 2 = = – + n 1 n biraz oynayalım… Σ Σ +1 noynamak ++1 n+ n gerekiyor. Haydi n – + + n 1 n n 1+ n n=1 3 – 2 n +1 – n 1 4 – 3 + k+1– k k+1 – 1 = 4 k+1 = 5 k = 24 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK toplamının değeri kaçtır? ÇÖZÜM olduğunda paydada, bu köklü ifadelerden biri varsa diğeri ile çarpılarak payda kökten kurtulur. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK n pozitif tam sayı olduğuna göre, 2008 MAT– 2 toplamının değeri kaçtır? ÇÖZÜM ( n + k )!. ( n + k ) = ( n + k )!. ( n + k +1 – 1 ) = ( n + k + 1)( n + k )! – ( n + k )! … = ( n + k + 1)! – ( n + k )! + Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net KAYNAKÇA : 1 - MATEMATİK VADİSİ YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 2 - ALTIN KİTAPLAR YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 3 - MEB 11. SINIF MATEMATİK KİTABI DERS KİTABI 4 - BİREY YAYINLARI 11. SINIF MAEMATİK 5 - KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK – 4 6 - İNKILAP YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 7 - KÜRE YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 8 - FEM YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 9 - AÇI YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 10 - UĞUR YAYINLARI MATEMATİK 11 - FEM ÖĞRETMEN DERGİSİ 12 - SINAV DERGİSİ Ana Sayfaya Geri Dön
- Slides: 126