www muratguner net HER GEN MATEMATK RENEBLR MURAT
www. muratguner. net HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER 2010
www. muratguner. net TANIM Ardışık her iki terimi arasındaki farkları eşit olan diziye aritmetik dizi denir. +3 +3 +3 Örneğin; (an ) = ( 5, 8, 11, 14, …, 3 n+2, …) – 4 (bn ) = ( 5, 1, – 3, – 7 , …, 9 – 4 n, …) 0 (cn ) = ( 5, 5, …, 5, …) TANIM n N+ ve d R olmak üzere an+1 – an= d eşitliğini sağlayan ( an) dizisi, bir aritmetik dizidir. Bu d sayısına ortak fark denir.
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdakilerden hangisi bir aritmetik dizidir? A) ( n 2) Ardışık terimleri arasındaki fark sabit değil. B) ( n!) Ardışık terimleri arasındaki fark sabit değil. C) ( (– 1)n ) Ardışık terimleri arasındaki fark sabit değil. D) ( Sinnº ) Ardışık terimleri arasındaki fark sabit değil. E) ( 2 n+1 ) ÇÖZÜM (2 n+1)=(3, 5, 7, 9, 11, …, 2 n+1) dizisi aritmetik dizi gibi görünüyor; fakat sadece ilk birkaç terime bakarak aritmetik olup olmadığına karar veremeyiz. d = an+1 – an = 2 olduğundan (2 n+1) dizisi aritmetik dizidir.
www. muratguner. net ÖRNEK Genel terimi an= 5 n – 6 olan bir dizinin kaçıncı terimi 49 dur? ÇÖZÜM (an) dizisinin k. terimi 49 olsun. 5 k – 6 = 49 k = 11
www. muratguner. net ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ 1 İlk terimi a 1 ve ortak farkı d olan aritmetik dizinin genel terimi an = a 1+ ( n – 1 ). d dir. İSPAT a 1 = a 1 a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d = a 1+ 2 d a 4 = a 3 + d = a 1 + 2 d + d = a 1+ 3 d … a 5 = a 4 + d = a 1 + 3 d + d = a 1+ 4 d an = a 1+ (n – 1)d ( Aritmetik Dizinin Genel Terimi)
www. muratguner. net ÖRNEK İkinci terimi 8 ve beşinci terimi (– 10 ) olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır? ÇÖZÜM – 1 a 2 = 8 a 5 = – 10 a 1 + d = 8 – a 1 + 4 d = – 10 – 3 d = 18 ÇÖZÜM – 2 (5 – 2) tane d var. d a 2 d a 3 8 + 3 d = – 10 d a 4 a 5 d =– 6
www. muratguner. net ÖRNEK 5. terimi 13, 12. terimi 34 olan aritmetik dizinin genel terimini bulunuz. ÇÖZÜM (12 – 5) tane d var. a 5 …. . a 12 a 5 = 13 a 5 + 7 d = a 12 13 + 7 d = 34 d=3 Bu sorunun çözümünde isteyenler bir önceki soruda da olduğu gibi birinci yolu kullanabilir. a 1 + 4 d = 13 a 1 = 1 an = a 1+ (n – 1)d an = 1+ (n – 1)3 an = 3 n – 2
www. muratguner. net ÖRNEK Bir öğrenci okulun ilk günü 5 matematik sorusu ve bundan sonraki her gün bir önceki gün çözdüğü matematik sorusundan 2 soru daha fazla çözmektedir. Okul 200 gün açık olduğuna göre, öğrenci okulun son günü kaç matematik sorusu çözmüştür? ÇÖZÜM a 1 = 5 d= 2 a 200 = a 1+ 199 d a 200 = 5+ 199. 2 = 403
www. muratguner. net ÖRNEK Bir aritmetik dizinin ardışık üç teriminin toplamı 24 ve bu terimlerin çarpımı 440 olduğuna göre, bu terimlerden küçük olanı kaçtır? ÇÖZÜM a 1 + ( a 1 + d ) + (a 1 + 2 d ) = 24 ( 8 – d ). 8. ( 8 + d ) = 440 3( a 1 + d ) = 24 64 – d 2 = 55 d=± 3 a 1 + d = 8 d = 3 ise a 1= 5 , a 2 = 8 , a 3= 11 d = – 3 ise a 1= 11 , a 2 = 8 , a 3= 5 Küçük olan terim a 3= 5
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) bir aritmetik dizidir. a 1+ a 2 + a 3 + …+ a 50= 50, a 51+ a 52 + a 53 + …+ a 100= 100 olduğuna göre a 11 – a 1 farkı kaçtır? ÇÖZÜM a 51+ a 52 + a 53 + …+ a 100= 100 – a 1+ a 2 + a 3 + …+ a 50= 50 (a 51– a 1) + ( a 52 – a 1) + …+ ( a 100 – a 50 )= 100 50 d 50 d 50. 50 d =50 a 11 – a 1 =10 d
www. muratguner. net 2 İlk terimi a 1, ortak farkı d olan aritmetik dizinin herhangi bir terimi ak = ap+ ( k – p ). d dir. ( k > p) İSPAT ak = a 1+ ( k – 1 ). d ap = a 1+ ( p – 1 ). d – ak – ap = d( k – 1 – p + 1 ). d ak – ap = d( k – p ) ak = ap + ( k – p )d
www. muratguner. net ÖRNEK Ortak farkı 4 ve yirmi beşinci terimi 128 olan aritmetik dizinin sekizinci terimi kaçtır? ÇÖZÜM ak = ap+ ( k – p ). d a 25 = a 8+ ( 25 – 8 ). 4 128 = a 8+ 17. 4 a 8 = 60
www. muratguner. net 3 Herhangi iki terimi ak ve ap olan aritmetik dizinin ortak ak – ap farkı, d = dir. k–p İSPAT ak = a 1+ ( k – 1 ). d ap = a 1+ ( p – 1 ). d – ak – ap = d( k – 1 – p + 1 ). d ak – ap = d( k – p ) ak = ap + ( k – p )d ak – ap d= k–p
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) bir aritmetik dizidir. a 7 = 22 ve a 18 = 77 olduğuna göre a 30 kaçtır? ÇÖZÜM ak = ap+ ( k – p ). d a 30 = a 18+ ( 30 – 18 ). 5 a 30 = 77 + ( 12 ). 5 a 30 = 137
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) bir aritmetik dizidir. a 2 = 7 ve a 12 – a 9 = 18 olduğuna göre a 10 kaçtır? ÇÖZÜM ak = ap+ ( k – p ). d a 10 = a 2+ ( 10 – 2 ). 6 a 10 = 7 +8. 6 a 10 = 55
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) bir aritmetik dizidir. a 5 = – 7 ve a 12 = 6 olduğuna göre, (an ) dizisinin genel terimini bulunuz. ÇÖZÜM an = a 12+ ( n – 12 ). d
www. muratguner. net ÖRNEK – 6 ile 29 sayıları arasına 6 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır? ÇÖZÜM – 6 a 1 a b c d 6 tane e f 29 a 8 a ve b reel sayılarının arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan bir aritmetik dizinin ortak farkı; a–b d= n+1
www. muratguner. net 4 Bir aritmetik dizinin her terimi, kendinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortasıdır. İSPAT an = a 1+ (n – 1)d eşitliğini kullanalım. an–k = a 1+ ( (n – k) – 1 )d an+k = a 1+ ( (n + k) – 1 )d + an–k + an+k = 2 a 1+ ( 2 n – 2 )d an–k + an+k = 2[ a 1+ (n – 1 )d] an–k + an+k = 2 an
www. muratguner. net ÖRNEK özelliğini daha iyi anlamak için aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. a b c
www. muratguner. net ÖRNEK a 5 + an+21 ( an ) aritmetik dizisinde an – 2 = 2 olduğuna göre, n kaçtır? ÇÖZÜM an – 2 değeri, a 5 ile an +21 in aritmetik ortalaması ise (n – 2) sayısı 5 ile (n + 2 ) nin aritmetik ortalamasıdır. n = 30
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) bir aritmetik dizidir. a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 48 olduğuna göre, a 6 kaçtır? ÇÖZÜM a 3 + a 5 + a 7 + a 9 = 48 2 a 6 4 a 6 = 48 a 6 = 12
www. muratguner. net ÖRNEK ( x – 3 ), (2 x – 6 ), (4 x – 14 ) terimlerinin bir aritmetik dizinin ardışık terimleri olması için x kaç olmalıdır? ÇÖZÜM – 1 a 1= x – 3, a 2= x – 6, a 3 = 4 x – 14 x=5 ÇÖZÜM – 2 d = a 2 – a 1= a 3 – a 2 = 2 x – 6 – (x – 3) = 4 x – 14 – ( 2 x – 6 ) x=5
www. muratguner. net ÖRNEK x 3 – 6 x 2 +3 mx – 2 m = 0 denkleminin kökleri bir aritmetik dizinin ardışık üç terimi ise m kaçtır? ÇÖZÜM Denklemin kökleri x 1, x 2 ve x 3 olsun. Kökler bir aritmetik dizi oluşturduğuna göre, Buradan, x 1 + x 3 = 2 x 2 elde edilir. x 1 + x 2 + x 3 = 6 3 x 2 = 6 x 2 = 2 (x = 2 kök olduğundan denklemi sağlayacaktır. ) 23 – 6. 22 +3 m. 2 – 2 m = 0 m=4
www. muratguner. net 5 Sonlu bir aritmetik dizide, baştan ve sondan eşit uzaklıkta bulunan terimlerin toplamı birbirine eşittir. İSPAT ( an ) = ( a 1, a 2, a 3, …, an – 2, an – 1, an ) sonlu aritmetik dizi olsun. a 1 + an = a 1+(n– 1)d = 2 a 1 + (n– 1)d a 3 = a 1+ 2 d a 3 + an-2 = 2 a 1 + (n– 1)d an– 2 = a 1+ ( n – 3 )d … a 2 + an-1 = 2 a 1 + (n– 1)d … a 1 = a 1 a 2 = a 1 + d Buradan da an – 1 = a 1+ ( n – 2 )d an = a 1+ (n – 1)d olduğu bulunur.
www. muratguner. net ÖRNEK ( an) aritmetik dizisinde, a 4 + a 7 = 0 ise dizinin baştan itibaren kaç teriminin toplamı sıfırdır? ÇÖZÜM eşitliğini kullanalım. Bu durumda a 1+ a 10 = a 2 + a 9 = a 3+ a 8 = a 4 + a 7 = a 5+ a 6 = 0 Buna göre, S 10= a 1 + a 2 + a 3+ a 4 + a 5 + a 6 + a 7+ a 8 + a 9 + a 10 = 0 O halde dizinini ilk 10 terimi sıfırdır.
www. muratguner. net Bir aritmetik dizide x, y, z, t indisler olmak üzere x + y = z + t ise ax + ay = az + at Örneğin; a 3 + a 5 = a 2 + a 6 = a 1+ a 7 = a 4+ a 4 3+5=8 2+6=8 1+7=8 a 1 + a 5 + a 22 = a 4+ a 7 + a 17 1+5+22=28 4+7+17=28 a 1 + a 5 + a 22 a 21+ a 7 1+5+22=28 21+7=28 Bir aritmetik dizide indislerin toplamı aynı olmasına rağmen, indisleri toplanan terimlerin sayısı eşit değilse yukarıdaki özellik kullanılamaz.
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) bir aritmetik dizidir. a 1 + a 8 + a 9 = a 4 + a 9 +14 olduğuna göre, a 5 kaçtır? ÇÖZÜM a 1 + a 8 + a 9 = a 4 + a 9 + a 5 = a 4 + a 9 + 14 1+7+9=17 4+8+5=17 a 5 = 14
www. muratguner. net ÖRNEK Aritmetik bir dizide, a 10+ a 11 + a 12 +…+ a 25 = 48 olduğuna göre a 1+ a 34 kaçtır? ÇÖZÜM Bir aritmetik dizide x, y, z, t indisler olmak üzere x + y = z + t ise ax + ay = az + at a 10+ a 25 = a 11 + a 24 = a 12+ a 23 =… = a 17+ a 18 = a 1 + a 34 a 10+ a 11 + …+ a 24 + a 25 = 48 8(a 1+ a 34 ) = 48 a 1+ a 34 = 6
www. muratguner. net 6 Bir aritmetik dizinin ilk n terimi toplamı Sn ile gösterilirse, Sn= n ( a 1+ an ) veya Sn= n [ 2 a 1+ ( n – 1 ). d] 2 2 İSPAT a 1 + a 2 + a 3 + … + a n – 2 + a n – 1 + a n = S n an + a n – 1 + a n – 2 + … + a 3 + a 2 + a 1 = S n + a 1 + an + a 2 + an – 1 +…+ an + a 1 = 2 Sn a 1 + an = a 2 + an – 1 =…= an + a 1 n. (a 1 + an ) = 2 Sn S n= n ( a 1+ a n ) 2
www. muratguner. net ÖRNEK Aritmetik bir dizinin ilk 30 terim toplamı 255 olduğuna göre, onbirinci terim ile yirminci terim toplamı kaçtır? ÇÖZÜM Sn= n ( a 1+ an ) eşitliğini kullanalım. Bu durumda 2 30 S 30 = (a 1 + a 30 ) = 255 2 15(a 1 + a 30 ) = 255 a 1 + a 30 = 17 a 11 + a 20 = 17 Bir aritmetik dizide x, y, z, t indisler olmak üzere x + y = z + t ise ax + ay = az + at
www. muratguner. net ÖRNEK İlk n terimin toplamı Sn = n 2 +3 n olan bir aritmetik dizinin 6. terimi kaçtır? ÇÖZÜM S 6=a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 62 + 3. 6 = 54 S 5=a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 52 + 3. 5 = 40 – S 6 – S 5 = a 6 = 14 Sn – S n – 1 = an
www. muratguner. net ÖRNEK İlk n terimi toplamı Sn olan bir aritmetik dizide, S 25 – S 24 = 82 S 10 – S 9 = 37 olduğuna göre, dizinin ortak farkı kaçtır? ÇÖZÜM S 25 – =n-1 82= a a 25 = 82 Sn. S– 24 S n S 10 – S 9 = 37 a 10 = 37
www. muratguner. net ÖRNEK Aritmetik bir dizinin ilk terimi 1, ilk 15 terimin toplamı ile ilk 10 terimimin toplamı arasındaki fark 185 olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır? ÇÖZÜM-1 2 a 13 S 15 – S 10 = a 15 + a 14 + a 13 + a 12 + a 11 = 185 2 a 13 5 a 13 = 185 a 13 = 37 a 13 = a 1 + 12 d 37 = 1 + 12 d d= 3
www. muratguner. net ÖRNEK Aritmetik bir dizinin ilk terimi 1, ilk 15 terimin toplamı ile ilk 10 terimimin toplamı arasındaki fark 185 olduğuna göre, bu dizinin ortak farkı kaçtır? ÇÖZÜM-2 S 15 – S 10 = a 15 + a 14 + a 13 + a 12 + a 11 = 185 a 1+14 d + (a 1+13 d )+( a 1+12 d )+ (a 1+11 d)+(a 1+10 d ) = 185 5 a 1 +60 d = 185 60 d = 180 d =3
www. muratguner. net ÖRNEK 250 den küçük birler basamağı 5 olan üç basamaklı doğal sayıların toplamı kaçtır? ÇÖZÜM ( an ) = ( 105, 115, 125, … 245) ( an ) dizisinin terim sayısı: Sn= n ( a 1+ an ) = 15 ( 105 + 245 ) = 2625 2 2
www. muratguner. net ÖRNEK İlk n terimi toplamı Sn olan bir aritmetik dizide, S 13 – S 10 = 81 S 18 – S 15 = 111 olduğuna göre, dizinin 20. terimi kaçtır? 2 a 12 ÇÖZÜM S 13 – S 10 = a 11 + a 12 + a 13 = 3 a 12 = 81 S 18 – S 15 = a 16 + a 17 + a 18 = 3 a 17 = 111 a 12 = 27 a 17 = 37 2 a 17 a 20 = a 12+ ( 20 – 12 ). 2 a 20 = 27 +8. 2 a 20 = 43
www. muratguner. net KAYNAKÇA : 1 - MATEMATİK VADİSİ YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 2 - ALTIN KİTAPLAR YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 3 - MEB 11. SINIF MATEMATİK KİTABI DERS KİTABI 4 - BİREY YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 5 - KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK – 4 6 - İNKILAP YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 7 - KÜRE YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 8 - FEM YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 9 - AÇI YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 10 - UĞUR YAYINLARI MATEMATİK 11 - FEM ÖĞRETMEN DERGİSİ 12 - SINAV DERGİSİ
- Slides: 37