www muratguner net HER GEN MATEMATK RENEBLR MURAT
www. muratguner. net HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER 2010
www. muratguner. net TASHİHDE YARDIMLARINI ESİRGEMEYEN HALİT ÇELİK HASAN YAŞAYACAK ALİ OSMAN KAYA ve YAŞAR ŞENCAN’A TEŞEKKÜR EDERİM. Murat GÜNER
www. muratguner. net İÇİNDEKİLER DETERMİNANT TANIMI 4 1 x 1 ve 2 x 2 TÜRÜNDEN MATRİSLERİN DETERMİNANT HESABI 5 3 x 3 TÜRÜNDEN MATRİSLERİN DETERMİNANTININ HESABI(SARRUS KURALI) 11 MİNÖR ( ALT DETERMİNANT ) 18 KOFAKTÖR( EŞ ÇARPAN – İŞARETLİ MİNÖR ) 19 nxn TÜRÜNDEN MATRİSİN DETERMİNANTI ( LAPLACE YÖNTEMİ ) 22 DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ 27 EK MATRİS 66 EK MATRİS YARDIMIYLA TERS MATRİSİN BULUNMASI 68 KAYNAKÇA 79
www. muratguner. net TANIM n Z+ olmak üzere, nxn türünden bütün kare matrislerin oluşturduğu kümeden, reel sayılar kümesine tanımlanan fonksiyonuna determinant fonksiyonu denir. Determinant fonksiyonunun, bir A kare matrisini eşlediği reel sayıya A matrisinin determinantı denir. A matrisinin determinantı det. A veya I A I ile gösterilir. Determinant mutlak değer anlamına gelmez. Determinant değeri negatif de olabilir. Determinantları doğrusal denklem sistemlerini çözmek, bir matrisin tersini bulmak için kullanacağız. Matris ile determinant gösterimini karıştırmayınız. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net 1 x 1 TÜRÜNDEKİ MATRİSİN DETERMİNANTI A = [ a 11]1 x 1 biçiminde bir matris ise det. A = I A I = a 11 dir. Örneğin, A = [ 2 ]1 x 1 ise det. A = I 2 I = 2 dir. B = [ – 5 ]1 x 1 ise det. B = I – 5 I = – 5 dir. 2 x 2 TÜRÜNDEKİ MATRİSİN DETERMİNANTI éa bù A=ê ú matrisinin determinantı, ëc dû a b det. A = I A I = = a. d – b. c c d Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 5 4 é 5 4ù A=ê ú ise det. A = I A I = 3 6 = 6. 5 – 4. 3 = 18 ë 3 6û ÖRNEK 4 + 3 i 2 é 4 + 3 i 2 ù ise det. B = I B I = B= ê ú -1 4 - 3 i ë -1 4 - 3 iû = (4 +3 i )(4 – 3 i) – 2( – 1) (a – bi )( a + bi ) = a 2 + abi – bi 2 = a 2 + b 2 = 25 + 2 = 27 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 2009 2007 2008 2009 Daha kolayı yok mu? determinantının değeri kaçtır? Var. Hatta daha kolayı olacak… Biraz sabır. ÇÖZÜM 2009 2007 = 2009 – 2008. 2007 = 6025 2008 2009 = p olsun. p p-2 p -1 p = p 2 – ( p – 1 )( p – 2 ) = p 2 – ( p 2 – 3 p + 2 ) = 3 p – 2 = 3. 2009 – 2 = 6025 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 2007 + x 2009 + x 2006 + x determinantının değeri kaçtır? 2008 + x ÇÖZÜM 2006 + x = k olsun k+1 k k+3 k+2 = ( k + 1 ). ( k + 2 ) – ( k + 3 ). k = ( k 2 + 3 k + 2 ) – ( k 2 + 3 k ) = k 2 + 3 k + 2 – k 2 – 3 k =2 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK é 2 a ù ê ú b x ë û matrisinin elemanları c kadar ( c 0 ) artırıldığında determinantı değişmediğine göre x’in alacağı değeri bulunuz. ÇÖZÜM 2+c a+c = b x b+c x+c 2 a 2 x – ab = ( c + 2 )( c + x ) – ( a + c )( b + c ) 2 x – ab = c 2 + cx +2 c + 2 x – ab – ac – bc – c 2 0 = cx +2 c – ac – bc 0 = c. ( x +2 – a – b ) Ana Sayfaya Geri Dön x+2–a–b=0 x =a+b– 2
www. muratguner. net ÖRNEK log 2 8 log 5 4 2006 MAT – 2 log 4 5 1 log 27 3 determinantının değeri kaçtır? ÇÖZÜM log 2 8 log 5 4 log 4 5 1 = log 2 8. 1 - log 5 4. log 4 5 log 27 3 = log 2 8. log 3 27 - 1 = 3. 3 - 1 =8 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net 3 x 3 TÜRÜNDEKİ MATRİSİN DETERMİNANTI ( SARRUS YÖNTEMİ ) 3 x 3 türünden bir matrisin determinantı Sarrus yöntemi ile kolaylıkla bulunabilir. Sarrus yöntemine göre açılım, determinantın ilk iki satırı determinantın altına ya da ilk iki sütünü determinantın sağına yazılarak aşağıdaki şekilde yapılır. a 11 a 12 I A I = a 21 a 22 a 31 a 22 a 13 a 31 a 32 a 13 a 23 a 33 a 11 a 12 a 21 a 22 a 13 a 23 a 11 a 32 a 23 a 21 a 12 a 33 + K a 11 a 22 a 33 a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 det. A = I A I = Y – K Ana Sayfaya Geri Dön Y Sarrus kuralı yalnız 3 x 3 türünden matrislerin hesaplanmasında kullanılır.
www. muratguner. net a 31 a 22 a 13 + a 32 a 23 a 11+ a 33 a 21 a 12 = K a 11 a 12 I A I = a 21 a 22 a 31 a 32 a 13 a 11 a 12 a 23 a 21 a 22 a 33 a 31 a 32 a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31+ a 13 a 21 a 32 = Y det. A = I A I = Y – K Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK é 2 - 2 0ù ê ú A = ê 3 1 - 1ú matrisinin determinantını hesaplayalım. êë 3 4 2úû ÇÖZÜM – 1 2 -2 0 A = 3 1 -1 4 2 4 0 3 2 – 2 0 0 – 8 3 1 -1 6 – 12 + + 10 – 20 Ana Sayfaya Geri Dön det. A = I A I = 10 – (– 20 ) = 30
www. muratguner. net ÖRNEK é 2 - 2 0ù ê ú A = ê 3 1 - 1ú matrisinin determinantını hesaplayalım. êë 3 4 2úû ÇÖZÜM – 2 - 2 yolumuz Şimdiki farklı gözükse de aslında sütunları 2 çözüm 0 determinantın sağına yazmakla aynı mantıktır. Bunun A = 3 1 1 faydası, sağa sola bir şey yazmamaktır. Hocam ben yazmak 3 4 2 istiyorum diyene de lafımız yok. mavileri çarp ve topla kırmızıları çarp ve topla = 2. 1. 2 + 0 + (– 1). (– 2 ). 3 – 0 + 3. (– 2). 2 + (– 1). 4. 2 = ( 4 + 0 + 6 ) – ( – 12 – 8 ) = 30 Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK 2010 - LYS determinantının değeri kaçtır? ÇÖZÜM
ÖRNEK i 2 = – 1 olduğuna göre, determinantının değeri kaçtır? ÇÖZÜM ÖYS – 1994
www. muratguner. net ÖRNEK 2 IKI= 1 y ÇÖZÜM 0 2 x -1 eşitliğini sağlayan x ile y arasındaki x = 0 bağıntı y = f( x ) olduğuna göre, f( x )’i minimum yapan x değeri 1 kaçtır? I K I = 2. 2. 1+1. x. ( – 1 ) + x. 0. y – y. 2. ( – 1 ) + 1. 0. 1 + x. x. 2 = 4 – x + 2 y – 2 x 2 = 0 2 x 2 + x - 4 1 2 y= = x + x-2 2 2 Parabolün en küçük değerini aldığı nokta tepe noktasının apsisidir. 1 -b 1 2 ==r= 2 a 2. 1 4 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net MİNÖR( ALT DETERMİNANT ) n≥ 2 olmak üzere A = [ aij ]nxn kare matrisinin aij elemanının bulunduğu satır ve sütununun dışında kalan elemanların oluşturduğu matrisin determinantına aij teriminin minörü (küçüğü) denir ve Mij ile gösterilir. Örneğin, é 0 ê A = ê 3 êë 2 2 1 5 4ù ú 0 ú matrisinin 3. satır 2. sütununun minörü 6 úû 3. Satırı ve 2. sütunu sil 0 4 = 0. 0 - 4. 3 = -12 M 32 = 3 0 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net KOFAKTÖR( EŞ ÇARPAN- İŞARETLİ MİNÖR) n ≥ 2 olmak üzere A = [ aij ]nxn kare matrisinin aij elemanının minörünün (– 1)i+j ile çarpımına aij teriminin kofaktörü( işaretli küçük determinantı) veya eş çarpanı denir. Aij ile gösterilir. Aij = (– 1)i+j. Mij Örneğin, é 0 ê A = ê 3 êë 2 2 1 5 3+2 A 32 = (-1) 4ù ú 0 ú matrisinin 3. satır 2. sütununun kofaktörü 6 úû 0 4 = -1. (-12) = 12 3 0 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK é 1 9ù A=ê ú matrisinde a 11 ve a 22 elemanlarına ait minör ve ë 5 8û kofaktörleri hesaplayınız. ÇÖZÜM a 11= 1 elemanının minörü M 11 = 8 + a 11= 1 elemanının kofaktörü A 11 = (-1)1 1 8 = 8 a 22= 8 elemanının minörü M 22 = 1 a 22 = 8 elemanının kofaktörü A 22 = (-1)2+2 1 = 1 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK é 5 7 1ù ê ú A = ê 6 1 0ú matrisinde a 23 ve a 33 elemanlarına ait minör êë 1 3 2úû ve kofaktörleri hesaplayınız. ÇÖZÜM 5 77 5 a 23 = 2 elemanının minörü -37 M 2333== 5 -– 42 ==15 33 0 M 7 == 8 16 31 3+3 5 7 a 33= 2 elemanının kofaktörü A 33 = ( -1) +. 5 7 = -37 a 23= 0 elemanının kofaktörü A 23 = ( -1)2 3. 6 1 = -8 1 3 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net nxn. TÜRÜNDEN MATRİSİN DETERMİNANTI( LAPLACE KURALI ) n ≥ 2 olmak üzere A = [ aij ]nxn kare matrisinin determinantı, herhangi bir satır veya sütundaki elmanlar ile kofaktörlerinin çarpımlarından elde edilen sayıların toplamıdır. Bu durumu 3 x 3 boyutlu determinant için örnekleyelim. a 11 a 12 I A I = a 21 a 22 a 31 a 32 a 13 a 23 = a 11. A 11 + a 12. A 12 + a 13. A 13 ( 1. satıra göre açılım) a 33 nxn türündeki bir kare matrisin determinantı herhangi bir satır ya da herhangi bir sütuna göre açılım yapılarak hesaplanabilir. Determinantı bu yöntemle hesaplarken sıfır elemanının fazla olduğu satıra veya sütuna göre açılım yapmak kolaylık sağlar. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK é 3 ê = A ê 1 êë 4 1ù ú 2 ú matrisinin determinantını hesaplayınız. 5 úû 2 3 1 ÇÖZÜM Laplace A yönteminde determinantı satır Sarrus veya sütün yöntemiyle seçmede de serbestsiniz. hesaplanabilir ; göre açarak işlem I 1. Satıra AMatrisinin I = 3. A 11 +2. A 12 +1. A 13 yapalım. ama biz laplace yöntemi kullanacağız. 3 2 1+3 1 3 + 2. ( -1). + 1. ( -1). . 1 5 4 1 1+1 I A I = 3. ( -1) I A I = 3. ( 3. 5 – 2. 1 ) + 2. ( – 1 )(5. 1 – 4. 2 ) + 1. (1. 1 – 4. 3 ) = 3. ( 15 – 2 ) – 2(5 – 8 ) + 1. (1 – 12 ) = 34 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK é 1 - 2 3ù ê ú = A ê 4 0 4ú matrisinin determinantını hesaplayınız. êë 3 0 -1úû ÇÖZÜM Determinant hesaplarken. Sarrus sıfır elemanı fazla satıra veya yöntemiyle deolan hesaplanabilir; IA AMatrisinin I = – 2. Adeterminantı 12 + 0. A 22 + 0. A 32, sütuna açılım yapmak kolaylık sağlar. A matrisinin ama bizgöre laplace yöntemi kullanacağız. determinantını 1+2. sütuna göre açarak hesaplayalım. 2 4 -4 + 0. A 22 + 0. A 32 I A I = - 2. ( -1). 3 -1 I A I = 2. [ 4. ( – 1) – (– 4). 3 ] I A I = 16 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK é 1 2 ê 1 1 ê A= ê 1 2 ê ë- 2 -1 0ù ú 3 4ú matrisinin determinantını hesaplayınız. 3 4ú ú 2 3û 0 ÇÖZÜM A determinantını Sarrus hesaplamak hesaplarken fazla olan satıra veya IDeterminant A Matrisinin I = 1. A 11 + 2. A 12 + 0. Asıfır 0. A 14, yöntemiyle 13 + elemanı mümkün olmadığından laplace yöntemiyle çözmek elzemdir. sütuna göre açılım yapmak kolaylık sağlar. A matrisinin - 4 açarak hesaplayalım. -1 3 - 4 1 3 göre determinantını 1. satıra + I A I = 1. ( -1)1+1. 2 3 4 + 2. ( -1)1 2. 1 3 4 -1 2 -2 2 3 3 I A I = – 57 – 2. ( – 66 ) = 75 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK é 2 -2 0 ê- 1 4 0 ê A= ê-3 0 2 ê 3 -2 ë 0 0ù ú 0ú matrisinin determinantını hesaplayınız. 4ú ú 1û ÇÖZÜM Determinant sıfır elemanı fazla olan satıra veya I A I = 2. A 11 +hesaplarken (– 2). A 12 + 0. A 13 + 0. A 14, sütuna göre açılım yapmak kolaylık sağlar. A matrisinin determinantını 1. satıra - 4 0 göre 0 açarak hesaplayalım. -1 0 0 I A I = 2. ( -1)1+1. 0 2 4 + ( -2). ( -1)1+ 2. - 3 2 4 3 -2 1 0 -2 1 I A I = – 100 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net DETERMİNANTIN ÖZELLİKLERİ Bir matrisin determinantı ile transpozunun determinantı eşittir. Yani, det. A = det( AT ) ( I A I = I AT I ) Örneğin, éa 11 a 12 ê A = êa 21 a 22 êëa 31 a 32 é a 11 a 21 a 31 ù a 13 ù ú ê ú a 23 ú ise A T = êa 12 a 22 a 32 ú êëa 13 a 23 a 33 úû A determinantını 1. sütuna göre, AT determinantını ise 1. satıra göre açalım. det. A = a 11. A 11 + a 21. A 21 + a 31. A 31 det. AT = a 11. A 11 + a 21. A 21 + a 31. A 31 olduğundan det. A = det( AT ) Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Bir A matrisinin herhangi iki satırı ( veya sütunu ) kendi aralarında yer değiştirirse determinantının da işareti değişir. Örneğin, 2 x 2 türünden bir matris için ispat yapalım. éa bù a b = ad - bc A=ê ú ise I A I = c d ëc dû éb aù b a = bc - ad D=ê ú ise I D I = d c ëd c û I A I = –I D I ( Diğer türdeki matrisler için de ifadenin doğruluğu benzer şekilde gösterilebilir…) Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. a b c c b a d e f = k ise f e d = -k g h k k h g a b c d e f = k ise a b c = -k g h k k h g Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 2 -3 -1 3 0 1 1 -3 4 = a olduğuna göre 1 2 3 2 1 0 2 -1 4 determinantının değeri kaç a dır? ÇÖZÜM 2 -3 1 -1 3 4 = a 0 1 2 1. sütun ile 2. sütun yerlerin değiştirelim Ana Sayfaya Geri Dön -3 2 1 3 -1 4 = – a 1 0 2 2. satır ile 3. satırın yerlerini değiştirelim -3 2 1 1 0 2 =a 3 -1 4
www. muratguner. net ÖRNEK a b c A= d e x f a d x olduğuna göre, c y z f z b e y determinantının A cinsinden değeri kaçtır? ÇÖZÜM éa ê = B = A ê cd êë b x d a d x b xc ù a d x ú traspozununun 2. satır T = A matrisinin fe zf ú =matrisi = A b e y A ise c f z = -A ile 3. satırının yer değiştirmiş halidir. ey yz úû b e y c f z det. A = det( Ana Sayfaya Geri Dön AT ) AT de 2. Satır ile 3. satır yer değiştirdiğine dikkat ediniz.
www. muratguner. net Bir determinantın herhangi bir satırındaki veya sütunundaki bütün elemanlar sıfır ise determinantın değeri sıfırdır. . 0 . . . 0 yapılırsa, elemanlar ile kofaktörlerin çarpımından determinant sıfır olur. . . . 0. . . a 11 a 12. . . a 1 n elemanları sıfır olan satıra göre açılım an 1 an 2. . . ann Örneğin, 4 8 0 0 =0 1 2 0 2 3 0 =0 4 5 0 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Bir determinantın bir satırındaki elemanların veya sütunundaki elemanların k katı başka bir satırdaki veya sütundaki elemanlara eklenirse, determinantın değeri değişmez. En çok kullanacağımız özellik bu olacaktır. Örneğin, éa bù a A=ê ú ise I A I = c ëc dû éa 5 a + bù D=ê ise IDI = ú ëc 5 c + dû b d = ad - bc a 5 a + b c 5 c + d = a(5 c + d) - c(5 a + b) = 5 ac + ad - 5 ca - bc = ad - bc Ana Sayfaya Geri Dön IAI=IDI
www. muratguner. net ÖRNEK 2009 2011 determinantını hesaplayınız. 2008 2010 ÇÖZÜM – 1 3 2009 2011 2009 1 1 =2 = = 2010. 2009 –=2008. 2011 =2 2010 - 2008 2010 2008 2. Satırın (– 1 ) katını 1. satıra ekleyelim. ÇÖZÜM – 2 2009 = p olsun. p p+ 2 = p( p + 1) – ( p – 1 )( p + 2 ) = 2 p 1 p +1 Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK ÖYS – 1992 determinantının değeri kaçtır? ÇÖZÜM 1375 = k olsun.
ÖRNEK ÖYS – 1998 determinantının değeri kaçtır? ÇÖZÜM 2. Sütunun (– 1 ) katını 1. sütuna ekleyelim. 1. Satırın (– 1 ) katını 2. satıra ekleyelim.
www. muratguner. net ÖRNEK é 2009 + x 2008 + x ù A=ê matrisinin determinantı kaçtır? ú ë 1071 + x 1070 + x û ÇÖZÜM 1 2008 + x 2009 + x 2008 + x = A = 1 1070 + x 1071 + x 1070 + x 2. Sütunun (– 1 ) katı 1. sütuna ekleyelim. = 1070 + x – ( 2008 + x ) = – 938 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 2 -3 1 -4 5 - 2 determinantını hesaplayınız. 8 7 4 ÇÖZÜM 2 -3 1 0 -3 1 -4 5 -2 = 0 8 7 4 0 7 4 Bir determinantın herhangi bir satırındaki veya sütunundaki bütün elemanlar sıfır ise determinantın değeri sıfırdır. 3. Sütunun (– 2 ) katı 1. sütuna ekleyelim. İsterseniz, Sarrus yöntemi veya Laplace yöntemiyle de yapabilirsiniz. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK -2 x 1 1 2 x - 4 x = 0 denklemini çözelim. -1 0 x ÇÖZÜM x 12 ile-çarpıp 2 x 1 ekleyelim 0 2. Sütunu 3. sütuna ki sıfırların sayısı artsın. Ne 1 kadar sıfır=elde 1 edersek iyi! - 4 x 2 xçok 2 x 0 o =kadar 0 Sonra, ister Laplace -1 -1 0 Sarrus x yöntemini 0 kullanırsın; x yöntemini. Bu sana kalmış. x 1 = x(2 x 2 - 1) = 0 x 1 2 x Ana Sayfaya Geri Dön x = 0 veya x = ± 1 2
www. muratguner. net Bir A matrisinin herhangi iki satırındaki ( ya da sütunundaki ) elemanlar orantılı ise det. A = 0 Örneğin, éa ka ù a ka A=ê olsun. = akb - akb = 0 A = ú b kb ëb kb û Bir A matrisinin iki satır veya sütunu eşitse det. A = 0 Örneğin, éa aù A=ê ú olsun. ëb b û Ana Sayfaya Geri Dön A = a a b b = ab - ab = 0
ÖRNEK 1981 - ÖYS Yandaki şekilde [ DE // [ BC] dir. ABC üçgeninde kenarları a, b, c ve ADE üçgeninin kenarları m, n, p olduğuna göre, determinantının değeri kaçtır? A n p c B D m a ÇÖZÜM ADE ile ABC üçgenleri benzer olup oranı yazılabileceğinden determinantın değeri sıfırdır. E b C
www. muratguner. net ÖRNEK 2009 2010 2011 2012 determinantı kaçtır? 2011 2012 2013 ÇÖZÜM 2009 2010 2011 2012 = 1 1 1 2012 2013 2011 2012 2013 2009 2010 = Ana Sayfaya Geri Dön 1 2 2011 1 2 =0 2. satır ve 3. satır elemanları orantılı olduğundan determinant değeri sıfırdır.
www. muratguner. net ÖRNEK ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b ve c olmak üzere a 5 Sin. A b 7 Sin. B c 1 Sin. C determinantının değeri kaçtır? ÇÖZÜM ABC üçgeninde sinüs teoremine göre, a b c = = Sin. A Sin. B Sin. C olduğundan determinantın 1. sütunu ile 3. sütunu orantılıdır. Bu yüzden determinantın değeri sıfırdır. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Bir A matrisinin bir satırındaki elamanlar ( veya sütunundaki elamanlar) k gibi bir reel sayı ile çarpılırsa, det. A değeri de k ile çarpılmış olur. Örneğin, éa 11 a 12 ê A = êa 21 a 22 êëa 31 a 32 a 13 ù ú a 23 ú a 33 úû ve é ka 11 ka 12 ka 13ù ê ú B = ê a 21 a 22 a 23ú olsun. êë a 13 a 23 a 33úû A ve B matrislerinin determinantlarını 1. satıra göre açalım. det. A = a 11. A 11 + a 12. A 12 + a 13. A 13 det. B = ka 11. A 11 + ka 12. A 12 + ka 13. A 13 = k. ( a 11. A 11 + a 21. A 21 + a 31. A 31 ) = k. det. A Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. 1 2 3 k 2 k 3 k 1 2 3 k. a b c = ak bk ck = a b c x y z xk yk zk k = ak xk Ana Sayfaya Geri Dön 2 b y 3 1 c = a z x 2 k bk yk 3 1 c = a z x 2 b y 3 k ck zk
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. a b c d e f = 8 ise g h k x y = 7 ise z t Ana Sayfaya Geri Dön a b c d e f = 5. 8 = 40 5 g 5 h 5 k - 3 x y = -3. 7 = -21 - 3 z t
ÖRNEK ve olduğuna göre, x kaçtır? ÇÖZÜM 24 2 – 3 = – 16
www. muratguner. net A, nxn türünden matris ve k tamsayı olsun. det(k. A)=kn. det. A ( I k. A I = kn. I A I ) Örneğin, . . . k. a n 3 a 11 . . . a 1 n a n 1 a n 2 . . . a 21 a 22. . . a 23. . . =k n. a 12. . . k. a n 1 k. a n 2 . . k. a 1 n k. a 21 k. a 22. . . k. a 23. . . k. A = k. a 12 ék. a 11 k. a 12. . . k. a 1 n ù ê ú k. a. . . k. a 22 23 ú ê 21 = k. A ê ú ëk. a n 1 k. a n 2. . . k. a n 3 û . . . k. a 11 . . éa 11 a 12. . . a 1 n ù ê ú a a. . . a 22 23 ú ê 21 ise = A ê ú ëa n 1 a n 2. . . a n 3 û = kn. A . . . a n 3 ( nxn türünden bir A matrisi k ile çarpıldığında n tane satır ( veya n tane sütun) k ile çarpıldığından A nın determinantı kn ile çarpılmış olur. ) Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. a b c d e f = x ise g h k x y = x ise z t Ana Sayfaya Geri Dön 7 a 7 b 7 c 7 d 7 e 7 f = 73. x 7 g 7 h 7 k - 5 x - 5 y = ( - 5 )2. x - 5 z - 5 t
www. muratguner. net ÖRNEK 2 1 0 4 2 0 3 1 - 2 = A ise 6 2 - 4 5 4 -1 10 8 - 2 determinantın değeri nedir? ÇÖZÜM Bir determinantın bir satırı 2 ile çarpılırsa determinant 2 ile çarpılmış olur. Bu determinantın her satırı 2 ile çarpıldığına göre determinant 2. 2. 2 = 8 ile çarpılmış olur. 4 2 0 6 2 - 4 = 8 A 10 8 - 2 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. Matrisin türü IAI 2 x 2 3 I 2 A I = 22. I A I = 4. 3 =12 3 x 3 4 I 3 A I = 33. I A I = 27. 4 =108 3 x 3 5 I 4 A I = 43. I A I = 64. 5 = 320 Ana Sayfaya Geri Dön I k. A I
www. muratguner. net ÖRNEK A matrisi 2 x 2 , B matrisi 3 x 3 türünde iki matristir. IAI+IBI=5 I 2 A I + I 2 B I = 20 olduğuna göre, I A I kaçtır? ÇÖZÜM I 2 A I + I 2 B I = 20 I k. A I = kn. I A I 22. I A I + 23. I B I = 20 4 I A I + 8 I B I = 20 – 8/IAI+IBI=5 4 I A I + 8 I B I = 20 + – 8 I A I – 8 I B I = – 40 – 4 I A I = – 20 Ana Sayfaya Geri Dön IAI=5
www. muratguner. net A ve B, nxn türünde iki matrisin çarpımının determinantı, determinantların çarpımına eşittir. det( A. B ) = det. A. det. B ( IA. BI = IAI. IBI ) A, nxn türünden matris ve k tamsayı olsun. det( Ak)= (det. A)k ( I A k I = I A Ik ) A -1 A -k = 1 , A = 1 Ana Sayfaya Geri Dön A k A 0
www. muratguner. net ÖRNEK é 7 9ù é x 6ù A=ê ú ve B = ê ú matrisleri veriliyor ë 1 2û ë 2 4 û I A. B I = 40 olduğuna göre x kaçtır? ÇÖZÜM I A. B I = 40 I A I. I B I = 40 ( 7. 2 – 9. 1 ). (4 x – 2. 6 ) = 40 5(4 x – 12 ) = 40 4 x – 12 = 8 x=5 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK é 7 4ù é 5 8ù A=ê ú ve B = ê ú matrisleri veriliyor ë 9 5 û ë 2 3 û I 3. AT. B 111 I determinant değerini hesaplayınız. ÇÖZÜM I 3. AT. B 111 I = 32. I AT I. I B 111 I = 9. I A I. I B I 111 = 9. ( 7. 5 – 9. 4 ). (5. 3 – 2. 8 )111 = 9. (– 1). ( – 1 )111 = 9 Ana Sayfaya Geri Dön I A. B I = IAI. IBI I A k I = I A Ik I k. A I = kn. I A I
www. muratguner. net ÖRNEK é 2 1 - 3ù ê ú = A ê 0 2 4 ú ise êë - 2 0 3 úû A -1 =? ÇÖZÜM A -1 = 1 A 2 1 -3 A = 0 2 -2 0 Ana Sayfaya Geri Dön 4 = -8 3 A -1 =- 1 8
www. muratguner. net Alt üçgen ya da üst üçgen matrisin determinantı asal köşegen üzerindeki elemanların çarpımıdır. Örneğin, 3 5 8 9 0 2 7 8 0 0 1 6 0 0 = 3. 2. 1. 4 = 24 0 4 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK x 2 x 3 x 0 x y = 27 olduğuna göre, x kaçtır? 0 0 x ÇÖZÜM x. x. x = 27 x 3 = 27 x=3 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK x -1 0 0 0 x 2 + x + 1 0 = 9 olduğuna göre x 6 kaçtır? 0 0 1 ÇÖZÜM ( x – 1)( x 2 + x + 1 ). 1 = 9 x 3 – 1 = 9 x 3 = 10 ( x 3 )2 = 102 x 6 = 100 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Bir kare matrisin yedek köşegeninin altındaki ya da üstündeki bütün elemanlar sıfır ise determinant, yedek köşegen elemanlarının çarpının ters işaretlisidir. Örneğin, 5 7 1 6 1 0 = – ( 3. 1. 1 ) = – 3 3 0 0 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Bir determinantın bir satırındaki ya da sütunundaki elmanlar iki terimin toplamı şeklindeyse, determinant aşağıdaki gibi iki determinantın toplamı şeklinde yazılabilir. a+ x d g b+ y e h Ana Sayfaya Geri Dön c + z f i = a d g b e h c x f + d i g y e h z f i
www. muratguner. net ÖRNEK a+2 b+3 c -2 a b c d e f = K olduğuna göre 4 6 - 4 -4 4 6 d e f ifadesinin değeri K cinsinden bulunuz. ÇÖZÜM a + 2 b +3 c -2 a b c 2 3 – 2 d e f = d e f + d e f -4 4 6 -4 a K= d 4 b c e f +0 6 -4 0 a b c d e f = -K 4 6 -4 Soruda istenen determinantı elde etmek için 2. ve 3. satır yer değiştirelim ve bunu yaparken determinantın değişeceğini unutmayalım. Ana Sayfaya Geri Dön 1. satır ve 3. satır elemanları orantılı olduğundan determinant değeri sıfırdır.
ÖRNEK Aşağıdaki determinant işlemlerinden hangisinin sonucu yanlış verilmiştir? Bir matrisinin herhangi iki sütunundaki elemanlar orantılı ise det. A = 0 Bir matrisinin herhangi bir satırındaki elemanlar sıfır ise det. A = 0 Asal köşegenin altındaki elemanlar sıfır olduğu için det. A = 2. 3. 4 =24 Yedek köşegenin üstündeki elemanlar sıfır olduğu için det. A = – ( 3. 1. ( – 3) ) = 9
Analitik düzlemde köşeleri koordinatları A( x , y ), 1 1 B(x 2, y 2), C(x 3, y 3) olan üçgenin sınırladığı bölgenin alanı; ( Bu teoremin ispatını Analitik Geometri dersinde göreceksiniz. . . Biraz sabır…)
ÖRNEK Köşelerinin koordinatları A( 4, 2 ), B(1, 3), C(2, 4 ) olan üçgenin alanı kaç birim karedir? ÇÖZÜM Alan değeri negatif olamayacağı için mutlak değer almak gerektiğine dikkat ediniz.
www. muratguner. net EK MATRİSİ A bir kare matris olsun. A’nın her bir aij elemanının yerine onun kofaktörü olan Aij nin yazılmasıyla elde edilen matrisin devriğine (transpozuna) A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir. éa 11 a 12 ê = A êa 21 a 22 êëa 31 a 32 é A 11 ê Ek(A) = ê A 21 êë A 31 Ana Sayfaya Geri Dön a 13 ù ú a 23 ú matrisi için a 33 úû A 12 A 22 A 32 T é A 11 A 13 ù ú ê A 23 ú = ê A 12 êë A 13 A 33 úû A 21 A 22 A 23 A 31 ù ú A 32 ú A 33 úû
www. muratguner. net ÖRNEK é 1 4 2ù ê ú A = ê - 5 7 0 ú matrisi veriliyor. Ek(A) matrisinin 3. satır êë 0 8 3 úû elemanlarının toplamı kaçtır? ÇÖZÜM é A 11 1+ 3 ê = A ( 1) 13 = ê A 21 Ek(A) êë A 31 T é A 11 A 21 A 31 ù -A 512 7 A 13 ù 1 4 +3 3 ê = ( -A 1) ú = 27 = ú-40 A 33 = A 022 8 A 23 A A 22 32 ú -5 7 ú ê 12 êë A 13 A 23 A 33 úû A 32 A 33 úû 1 4 2+3 olduğundan A A 23 = ( -1) 13 + A 23=+-A 833 sorulmaktadır. 0 8 olduğundan, ( – 40 ) + ( – 8 ) + 27 = – 21 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net EK MATRİS YARDIMIYLA TERS MATRİSİN BULUNMASI A, nxn türünden bir matris olsun. A. Ek( A ) = Ek(A ). A = IAI. In ( A-1 varsa ) Örneğin, é 2 3 ù A=ê ú ise A. Ek(A) = Ek(A). A = IAI. In olduğunu gösterelim. 5 7 ë û é 2 3 ù A=ê ú matrisinin 5 7 ë û é 2 ê ë 5 é 1 3ù é 7 - 3ù é- 1 0 ù úê ú=ê ú = ( - 1) ê 7 û ë- 5 2 û ë 0 - 1 û ë 0 A Ek( A ) Ana Sayfaya Geri Dön ve I A I = – 1 0 ù é 7 - 3 ù é 2 ú=ê úê 1û ë - 5 2 û ë 5 Ek( A ) 3ù ú 7û A
www. muratguner. net A. Ek( A ) = Ek(A ). A = IAI. I olduğunu görmüştük. n A. Ek( A ) = IAI. In eşitliğinin her iki tarafını A-1 çarpalım. A-1 [ A. Ek( A ) ] = A-1 [ IAI. In ] Ek( A ) = A-1. I A-1 1. Ek( A ) ; IAI 0 = IAI Determinantı sıfır olan matrisin tersi yoktur. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK éa bù A=ê ú matrisinin tersini bulunuz. ëc dû ÇÖZÜM I A I = ad – bc A 11 = (– 1)1+1. I d I = d A 12 = (– 1)1+2. I c I = – c T é d - cù é d - bù =ê Ek(A) = ê ú ú aû aû ë b ë c A 21 = (– 1)2+1. I b I = – b A 22 = (– 1)2+2. I a I = a A Ana Sayfaya Geri Dön -1 é d - bù 1 1 =. Ek(A) =. ê ú aû IAI ad - bc ë c
ÖRNEK matrisinin ek matrisi olduğuna göre a + b + c toplamı kaçtır? ÇÖZÜM éa bù A=ê ú matrisinin Ek(A) = ëc dû é d - bù êú aû ë c a= 6 , b = 4 , c = 3 olup a + b + c = 13
www. muratguner. net ÖRNEK 1987 - ÖYS é 1 3ù -1 éa bù A=ê ú ve A = ê ú olduğuna göre c kaçtır? ë 2 5û ëc dû ÇÖZÜM I A I = 5. 1 – 3. 2 = – 1 A -1 1 1 é 5 - 3ù é- 5 =. Ek( A ) = êú=ê -1 ë 2 1û ë 2 IAI Ana Sayfaya Geri Dön 3ù olup c = 2 dir ú - 1û
www. muratguner. net ÖRNEK é 1 0 2ù ê ú = A ê 2 1 3ú ise A-1 matrisini bulunuz. êë 4 1 8úû ÇÖZÜM T é 2 4 326 ù 11 é-211 2 2ù é-2ù 11 0 1é 1311 -1 0 1 + + + 1 1 2 1 = ( -11) A. Ek(A) 1 -ê ú== 2 -=11 ê ê - A 21ú = (ê-1)ú. -31 A A. . 1= 11 = = = -ú 4 10 Ek(A) IAI 2 -101 83ê 1ú 4 ê 0 4 1 0ú = ê 1 A ê. Ek(A) IAIê 1 - ú êë 1û 6 êë-61 - -11úû -êë 1 úû 6 - 1 2 1 ë 2 32 ++22 1 +2 1 3 1 2 = = 1 -4 AA 12. . A 22 = ( -1). 32 ( 1) 1 042 2 83 4 I A I = 2 + - 12 3 - 1= 1 1 +3 1 2+3 1 0 = -6 3 3. A 13 = ((1) A 23 = (-1). = = 4 1 8 A 1). 1 33 42 -11 4 Ana Sayfaya Geri Dön 22ù =ú 2 8 1ú - 1 úû 2 =0 8 0 1 = -1
www. muratguner. net ÖRNEK é 1 2 -2 ù ê ú A = ê x 0 m + 3 ú x R için A nın tersi varsa m’nin êë - m 0 x + 4 úû alacağı değerler ne olmalıdır? ÇÖZÜM m + 3 için 2. sütuna 2 göre açalım. (2 Laplace yöntemi ) A-1 varsa I A I 0 1 dır. I +1 Ax. I yı bulmak A = 2. ( -1) -m x+4 x 2 + 4 x + m 2 + 3 m 0 = 4 – m 2 – 3 m < 0 m f( m ) – 4 – 1 + Ana Sayfaya Geri Dön – = -2(x + 4 x + m + 3 m) < 0 olmalı ki kök olmasın m 1 = – 4 ve m 2 = 1 m nin alacağı değerler; m < – 4 ve m > 1
www. muratguner. net ÖRNEK éx - 2 5 ù matrisi veriliyor. A=ê ú x + 2û ë 1 x in hangi değeri ya da değerleri için A-1 matrisi bulunamaz? ÇÖZÜM A-1 matrisinin bulunmaması için I A I = 0 olmalıdır. I A I = (x – 2)( x + 2 ) – 1. 5 = 0 x 2 – 4 – 5 = 0 x 2 = 9 x = ± 3 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK é x-2 ê 0 ê A= ê 0 ê ë 1 3 0 7 1 6 0 -1 0 0ù ú 2ú matrisi veriliyor. x in hangi değeri ú 0 ú için A. B = I eşitliğini sağlayan B 5 û matrisi bulunamaz? ÇÖZÜM -1 bulunamaması için I A 33 I+=0. A 0 olmalıdır. IAA A. B I == nın I 0. A ise 3. satıra + =6. A A-1 göre + 0. A açılımı yaparsak; 31 B 32 dir. 34 = 0 A 32 = 0 x-2 0 0 + ( -1)3 2. 0 1 2 =0 1 0 5 Ana Sayfaya Geri Dön x=2
www. muratguner. net ÖRNEK é logx 0 0 ù ê ú A=ê 5 x-2 0 ú matrisi veriliyor. x in hangi değeri -1 matrisi tanımlıdır? için A êë 3 7 x - 10 úû A) – 2 B) 1 C) 2 D) 5 E) 10 ÇÖZÜM A-1 matrisi tanımlı ise I A I 0 olmalıdır. I A I = logx. ( x – 10 ). ( x – 2 ) 0 (Alt üçgen ya da üst üçgen matrisin determinantı asal köşegen üzerindeki elemanların çarpımıdır. ) x = – 2 için logaritma tanımlı değil, x =1, x = 2, x = 10 da IAI = 0, ancak x = 5 için IAI 0 olduğundan doğru cevap D dir. Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK 1996 - ÖYS matrisinin tersinin olmaması için a kaç olmalıdır? ÇÖZÜM Matrisin tersinin olmaması için I A I = 0 olmalıdır. 1 3 5 7 =0 1 3 a -9 3 0 a– 9 =5 Bir A matrisinin iki satır veya sütunu eşitse det. A = 0 a = 14
www. muratguner. net KAYNAKÇA : 1 - MATEMATİK VADİSİ YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 2 - ALTIN KİTAPLAR YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 3 - MEB 11. SINIF MATEMATİK KİTABI DERS KİTABI 4 - BİREY YAYINLARI 11. SINIF MAEMATİK 5 - KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK – 4 6 - İNKILAP YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 7 - KÜRE YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 8 - FEM YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 9 - AÇI YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 10 - UĞUR YAYINLARI MATEMATİK 11 - FEM ÖĞRETMEN DERGİSİ 12 - SINAV DERGİSİ Ana Sayfaya Geri Dön
- Slides: 79