www muratguner net HER GEN MATEMATK RENEBLR MURAT
www. muratguner. net HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER ATAŞEHİR - 2012
www. muratguner. net TANIM N+ kümesinden R kümesine tanımlanan her fonksiyona gerçek sayı dizisi veya kısaca dizi denir. … f( 3 ) = a 3 sayısına dizinin 3. terimi 1 a 1 2 a 2 3 a 3 … f( 2 ) = a 2 sayısına dizinin 2. terimi R n an … f( 1 ) = a 1 sayısına dizinin 1. terimi f(n) = an … n f( n ) = an N+ … f : N + R … f( n ) = an sayısına dizinin n. terimi( genel terimi) Terimlerin belli bir kurala göre sıralanan dizilerde, söz konusu kurala dizinin genel terimi denir.
www. muratguner. net Madem dizi, tanım kümesi N+ olan özel bir fonksiyon, o halde bu fonksiyon her bir n pozitif doğal sayısını bir gerçek sayıya eşler. Bütün dizilerin tanım kümesi N+ olduğundan, bizi ilgilendiren dizinin görüntü kümesidir. Görüntü kümesindeki elemanların sıralı olarak liste halinde yazılmasıyla dizi gösterilmiş olur. Yani yukarıdaki diziyi f = { (1, a 1), (2, a 2), (3, a 3), …, (n, an), … } veya (an)=( a 1, a 2, a 3, …, an, … ) şeklinde gösterebiliriz. ( an ) = ( a 1, a 2, a 3, … an, … ) dizisinin her terimi sıralıdır. Terimlerin yerleri değiştirilemez. Diziler değer kümesine göre adlandırılır. (Reel sayılar dizisi, tam sayılar dizisi, doğal sayılar dizisi gibi…) Dizi, an genel terimi parantez içine yazılarak ( an ) biçiminde gösterilir.
www. muratguner. net Örneğin; f : N + R n f( n ) = 2 n – 1 fonksiyonu, ( an ) = ( 2 n – 1 ) biçimde yazılır. Dizinin genel terimi an = 2 n – 1 olduğundan, f( 1 ) = a 1 = 1 f( 2 ) = a 2 = 3 … f( 3 ) = a 3 = 5 … f( n ) = an = 2 n – 1 olup diziyi ( an ) = ( 1, 3, 5, …, 2 n – 1, …) şeklinde yazabiliriz.
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 Dizinin her bir teriminin uyduğu kural( genel terim ) an a ( an ) = ( 1, 4, 9, 16, 25, …, n 2, … ) = ( n 2) ( genel terim ) a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 an b ( an ) = (– 1, 1, – 1, …, (– 1)n, … ) = ( ( – 1)n ) a 1 a 2 a 3 an c ( an ) = ( 1, 1 + 2 + 3, … , 1+ 2 +3+…+ n, …) = (1+ 2 +3+…+ n ) = æ ç ç è ö k÷ ÷ k=1 ø n ( genel terim )
www. muratguner. net ÖRNEK ( 1, 2, 3, … ) ifadesi bir dizi belirtmez. Genel terimi belli olmadığı için dördüncü elemanın kaç olacağı belli değildir. Daha anlaşılır olması için aşağıdaki dizilere bakalım. ( an ) = ( 1, 2, 3, 4, …, ( n ), …) … ( bn ) = ( (n – 2)3 + 2 ) = ( 1, 2, 3, 10, …, (n – 2)3 + 2), …) UYARI Genel terimi verilmeyen bir dizinin bazı terimlerini bilsek bile bu terimleri kullanarak dizinin diğer terimlerini bulamayız.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin genel terimi aşağıdakilerden hangisi olabilir? x x x ÇÖZÜM n = 1 için a 1 = 1 olmalı n = 2 için a 2 = 3/2 olmalı n = 3 için a 3 = 7/3 olmalı x
www. muratguner. net ÖRNEK ( an) = ( 23 + 43 + 63 + …+ (2 n)3… ) dizisinin genel terimini bulunuz. ÇÖZÜM ( an) dizisinin genel terimi (2 n)3 olduğu düşünülse de bu ifade genel terim değildir. Genel terimi bulmak için bu ifadeyi sembolü ile ifade edelim. Buna göre ( an) dizisinin genel terimi,
www. muratguner. net ÖRNEK dizisini inceleyelim. Şimdi, (ilk anterimi ) dizisini şemayla, sonra da grafikle gösterelim: Dizinin n =1 için N+ R 2 1/2 3 1 … … 1 -1 n = 2 için Dizinin ikinci terimi 1 1/2 Dizinin üçüncü terimi n = 3 için n -1 2 3 … … Buna göre, 1 Dizinin genel terimi ( an) dizisinin şeması ( an) dizisinin grafiği n
www. muratguner. net ÖRNEK bağıntısının dizi olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM Her sayma sayısı ( N+ ) için tanımlı olan fonksiyona dizi denir. bağıntısında 8 – 2 n = 0 ise n = 4 için 14 dizinin 4. terimi a 4 = olduğundan f(n) = an tanımlı değildir. 0 O halde bu bağıntı bir dizi değildir. ( Paydayı sıfır yapan sayma sayısı olmamalıydı)
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdakilerden hangisi bir dizinin genel terimi olamaz? a ( Paydasını sıfır yapan sayma sayısı olmadığından bu bağıntı bir dizinin genel terimi olur. ) b ( Paydasını sıfır yapan sayma sayısı ( 1 N+ için tanımsız ) olduğundan bu bağıntı bir dizinin genel terimi olamaz. ) c ( Her sayma sayısı için tanımlı olduğundan bu bağıntı bir dizinin genel terimi olur. ) d (Her sayma sayısı için tanımlı olduğundan bu bağıntı bir dizinin genel terimi olur. Adı da sabit dizi olur. (a 1= 0, a 2=2, … ))
www. muratguner. net e (Paydasını sıfır yapan sayma sayısı olmadığından bu bağıntı bir dizinin genel terimi olur. ) f (Paydasını sıfır yapan sayma sayısı olmadığından bu bağıntı bir dizinin genel terimi olur. ) g ( Paydasını sıfır yapan sayma sayısı ( 1 N+ için tanımsız ) olduğundan bu bağıntı bir dizinin genel terimi olamaz. ) ı ( n =1 için log( n - 2 ) ifadesi tanımsız olduğunda log(n – 2) bağıntısı bir dizinin genel terimi olamaz. )
www. muratguner. net j ( Her sayma sayısı için tanımlı olduğundan bu bağıntı bir dizinin genel terimi olur. ) (n = 4 İçin k h 3 - n = + 2 n 3 -1 11 ifadesi tanımsız olduğundan 3 - n bağıntısı bir dizinin genel terimi olamaz. ) 2 n + 3 (Paydasını sıfır yapan sayma sayısı olmadığından bu bağıntı bir dizinin genel terimi olur. ) UYARI n N+ için ( an ) dizisinin terimleri tanımlı olmalıdır. Bir n değeri için bile an tanımlı olmuyorsa (an) dizi değildir. (Bir n değeri için an nin tanımlı olmaması tanım kümesinde açıkta eleman kalması anlamına gelir. )
www. muratguner. net DOĞADA YARATILAN GÜZELLİK ÖLÇÜSÜ: ALTIN ORAN ". . . Eğer uygulama veya işlev unsurları açısından hoşa giden ya da son derece dengeli olan bir forma ulaşılmışsa, orada Altın Sayı'nın bir fonksiyonunu arayabiliriz. . . Altın Sayı, matematiksel hayal gücünün değil de, denge yasalarına ilişkin doğal prensibin bir ürünüdür. " Mısır'daki piramitler, Leonardo da Vinci'nin Mona Lisa adlı tablosu, ay çiçeği, salyangoz, çam kozalağı ve parmaklarınız arasındaki ortak özellik nedir? Bu sorunun cevab, Fibonacci isimli İtalyan matematikçinin bulduğu bir dizi sayıda gizlidir. Fibonacci sayıları olarak da adlandırılan bu sayıların özelliği, dizideki sayılardan her birinin, kendisinden önce gelen iki sayının toplamından oluşmasıdır.
www. muratguner. net Fibonacci sayılarının ilginç bir özelliği vardır. Dizideki bir sayıyı kendinden önceki sayıya böldüğünüzde birbirine çok yakın sayılar elde edersiniz. Hatta serideki 13. sırada yer alan sayıdan sonra bu sayı sabitlenir. İşte bu sayı "altın oran" olarak adlandırılır. Fibonacci Sayıları: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, . . . 233 / 144 = 1, 618 377 / 233 = 1, 618 610 / 377 = 1, 618 987 / 610 = 1, 618 1597 / 987 = 1, 618 2584 / 1597 = 1, 618
www. muratguner. net Leonardo da Vinci insan vücudundaki ölçüleri belirlerken altın oranı kullanmıştır. Daha çok bilgi için fibonacci dizisi ve altın oran hakkında google hazretlerine başvurunuz.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin 7. terimini bulunuz ÇÖZÜM 7. terim 7 sayma sayısına karşılık gelen sayı olacağından n yerine 7 yazmak yeterlidir. Buna göre,
www. muratguner. net ÖRNEK 2 n + 1 , n 0 (mod 3) olan (an) dizisi için a 5 + a 6 Genel terimi, an = n 2 – 5 , n 1 (mod 3) kaçtır? a 7 3 – n , n 2 (mod 3) ÇÖZÜM a 5 için an = 3 – n a 5 = 3 – 5 = – 2 a 6 için an = 2 n +1 a 6 = 2. 6 + 1 = 13 a 7 için an = n 2 – 5 a 7 = 72 – 5 = 44
www. muratguner. net LYS 2010 ÖRNEK 0 , n 0 (mod 3) Genel terimi, an = n , n 1 (mod 3) –n , n 2 (mod 3) dizileri veriliyor. Buna göre b 4 kaçtır? ÇÖZÜM
www. muratguner. net ÖRNEK 2010 LYS
www. muratguner. net ÖRNEK Genel terimi olan dizinin hangi terimi dir? ÇÖZÜM fonksiyonunda, görüntüsü sayıyı bulacağız. Bu nedenle, n = 6 olur. Yani, dizinin 6. terimi dir. olan
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin kaç terimi aralığının içindedir? ÇÖZÜM Bu arlıktaki sayma sayıları 23, 24, 25, 26, 27 olup 5 tanedir.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin kaç terimi 5 ten küçüktür? ÇÖZÜM n an – 4 – – 1 + 12 – + n N+ olduğundan bu kısmı almıyoruz! Tabloda taralı bölgedeki n pozitif tamsayıları 1, 2, 3, …, 11 dir. Demek ki (an) dizisinin 11 terimi 5 ten büyüktür.
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) = ( n 2 – 8 n + 8 ) dizisinin terimleri kaçıncı terimden itibaren 1 den büyüktür? ÇÖZÜM n 2 – 8 n + 8 > 1 n 2 – 8 n + 7 > 0 (n – 1)(n – 7) > 0 n an 1 + 7 – + n N+ olduğundan bu kısmı almıyoruz! n > 7 olduğuna göre, 8. terimden itibaren terimler 1 den büyüktür.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin kaç terimi tamsayıdır? ÇÖZÜM tamsayı Tamsayı olmalı Bunun için de, n sayısı 5 in pozitif tamsayı böleni olmalıdır. n = 1 ve n = 5 değerleri için ( an ) dizisi tamsayı belirtir. Yani, dizinin 2 terimi (1. ve 5. terimi ) tamsayıdır.
www. muratguner. net n N+ değerler için tamsayı olmalı ÖRNEK dizisinin kaç terimi tamsayıdır? ÇÖZÜM ( an) dizisinin terimlerinin tamsayı olması için ( 2 n – 1 ) sayısı 10’u tam bölmelidir. Bunun için de, (2 n – 1) sayısı 10 un pozitif tamsayı böleni olmalıdır. 2 n – 1 = 1 n =1 2 n – 1 = 5 2 n – 1 = 2 n = 3/2 2 n – 1 = 10 n=3 n = 11/2 n = 3 ve n = 1 değerleri için ( an ) dizisi tamsayı belirtir. Yani, dizinin 2 terimi (1. ve 3. terimi ) tamsayıdır.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin kaç terimi tamsayıdır? n N+ değerler için tamsayı olmalı ÇÖZÜM Bu aşamaya gelmek için polinom bölmesi de yapabilirdiniz. Bunun tamsayı olması için tamsayı olması gerekir. Bunun için de, n+4 sayısı 12 n nın tamsayı böleni olmalıdır. + 4 pozitif =4 n = 0 n = 2 ve n = 8 n + 4 = 1 n = -3 n+4=2 n+4=3 n = -2 n = -1 n=2 n + 4 = 12 n = 8 n+4=6 değerleri için ( an ) dizisi tamsayı belirtir. Yani, dizinin 2 terimi (2. ve 8. terimi ) tamsayıdır.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin kaç terimi tamsayıdır? n N+ değerler için tamsayı olmalı ÇÖZÜM Bu aşamaya gelmek için polinom bölmesi de yapılabilirdi. Bunun tamsayı olması için tamsayı olması gerekir. Bunun de, n+1 n = 0 sayısı 6 nın pozitif tamsayı böleni olmalıdır. n + 1 =için 1 n+1=2 n+1=3 n+1=6 n=1 n=2 n=5 O halde 3 terim tamsayıdır.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin kaç terimi tamsayıdır? ÇÖZÜM 2 n 2 + 5 n – 4 n +1 2 n 2 + 2 n 2 n +3 3 n – 4 3 n + 3 7 n+1=1 n+1=7 n=0 n=6 n = 6 değeri için ( an ) dizisi tamsayı belirtir. Yani, dizinin 1 terimi (6. terimi ) tamsayıdır.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin kaç terimi negatif sayıdır? ÇÖZÜM eşitsizliğini sağlayan sayma sayısı kadar negatif terim vardır. n an 7/2 + 23/3 – + an< 0 ın çözüm aralığı dir. Bu aralıktaki sayma sayıları 4, 5, 6, 7 olup 4 tanedir.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin kaç terimi negatiftir? ÇÖZÜM n an – 5 + 0 – 15/2 5 + – + n N+ olduğundan bu kısmı almıyoruz! Tabloda taralı bölgedeki sayma sayıları 6 ve 7 dir. Demek ki (an) dizisinin 2 terimi negatiftir. ( a 6 ve a 7)
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin kaç terimi pozitiftir? ÇÖZÜM n an -1 + 2 – 5 + – n N+ olduğundan bu kısmı almıyoruz! Tabloda taralı bölgedeki sayma sayıları 3 ve 4 dür. Demek ki (an) dizisinin 2 terimi pozitiftir. ( a 3 ve a 4)
www. muratguner. net ÖRNEK Genel terimi an olan bir dizide a 1 = 2 olmak üzere, an+1= 3 n + an olduğuna göre, dizinin 7. terimini bulunuz. ÇÖZÜM an+1= 3 n + an an+1– an = 3 n 2 n = 1 için a 2 – a 1 = 3. 1 n = 2 için a 3 – a 2 = 3. 2 … n = 3 için a 4 – a 3 = 3. 3 n = 6 için a 7 – a 6 = 3. 6 + a 7 – 2 = 3. (1+2+3+4+5+6) = 65
www. muratguner. net ÖRNEK Bir ( an ) dizisinde, a 1= 1 ve her n N+ için an+1= n. an olduğuna göre, dizinini 15. terimi kaçtır? ÇÖZÜM … an+1= n. an x
www. muratguner. net ÖRNEK Bir ( an ) dizisinde, a 1= 1, an+1 – an = n + 1 olduğuna göre, dizinini genel terimini yazınız. ÇÖZÜM a 2 – a 1 = 1 + 1 = 2 a 3 – a 2 = 2 + 1 = 3 … a 4 – a 3 = 3 + 1 = 4 an – 1 = ( n – 1) + 1 = n + an – a 1 = 2 + 3 + 4 + … + n 1 an = 1+ 2 + 3 + 4 + … + n
www. muratguner. net LYS 2011 ÖRNEK Bir ( ak ) dizisinde, a 1= 40, ak+1 = ak – k biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, a 8 terimi nedir? ÇÖZÜM ak+1 – ak = – k a 2 – a 1 = – 1 a 3 – a 2 = – 2 … ak+1 = ak – k + a 8 – a 7 = – 7 a 8 – a 1 = – 28 a 8 – 40 = – 28 a 8 = 12
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) = ( – 2 n 2 +16 n +1 ) dizisinin en büyük terimi kaçtır? ÇÖZÜM a b Dizinin terimleri an = – 2 n 2 +16 n + 1 parabolü üzerindedir. Dizininnoktasının en büyük apsisi terimi parabolünolduğundan tepe noktasının ordinatıdır. ( Tepe T(r, k) da k değeri) Yani 4. terim dizinin en büyük terimidir. ? f( r ) = k = – 2. 42 + 16. 4 + 1 = 33 1 Dizinin en büyük terimi a 4 = 33 bulunur. 4 a < 0 olduğundan parabolün kolları aşağıya doğru olacaktır.
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) = (2 n 2 – 18 n – 1 ) dizisinin en küçük terimi kaçtır? ÇÖZÜM a b Dizinin terimleri an = 2 n 2 – 18 n – 1 parabolü üzerindedir. Dizinin en küçük terimi parabolün tepe noktasının ordinatıdır. Tepe olduğundan ( T(r, k) noktasının da k değeri) apsisi Tepe noktasının apsisi sayma sayısı olmadığından dizinin en küçük terimini bulmak için sağındaki veya solundaki en yakın tamsayı olan n = 4 veya n = 5 için alacağı değerlere bakarız. n = 4 için a 4 = 2. 42 – 18. 4 – 1 = – 41 n = 5 için a 5 = 2. 52 – 18. 5 – 1 = – 41 Buna göre dizinin en küçük terimi – 41 dir.
www. muratguner. net ÖRNEK Bir ( an ) dizisinin ilk n terimin toplamı Sn= n 2 + 6 n olduğuna göre, bu dizinin 10. terimi kaçtır? ÇÖZÜM Bir ( an ) dizisinin ilk n terimin toplamı Sn= n 2 + 6 n ise S 10 = a 1 + a 2 + a 3+ …+ a 9 + a 10 = 102 + 6. 10 = 160 – S 9 = a 1 + a 2 + a 3+ …+ a 9 = 92 + 6. 9 = 135 S 10 – S 9 = a 10 = 25 ( an ) dizisinin ilk 10 teriminin toplamı ( an ) dizisinin ilk 9 teriminin toplamı
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin ilk 5 teriminin toplamı kaçtır? ÇÖZÜM
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin ilk 8 teriminin çarpımı kaçtır? ÇÖZÜM
www. muratguner. net ÖRNEK dizisi veriliyor. ( a 2 n+5 ) dizisinin 4. terimi kaçtır? ÇÖZÜM ( a 2 n+5 ) dizisinin 4. terimi : a 13
www. muratguner. net ÖRNEK olduğuna göre, ( an ) dizisinin genel terimini bulunuz. ÇÖZÜM Tersini al n yerine yaz
www. muratguner. net SONLU DİZİ n N+ olmak üzere, tanım kümesi sonlu { 1, 2, 3, … , n } kümesi olan her fonksiyona sonlu dizi denir. Örneğin; Tanım kümesi { 1, 2, 3, 4 } olan ( an ) = (– 1)n. (2 n – 1 ) dizisi sonlu dizidir. n yerine {1, 2, 3, 4 } kümesinin elemanları yazılırsa, a 1 = (– 1)1. (2. 1 – 1 ) = – 1 a 3 = (– 1)3. (2. 3 – 1 ) = – 5 a 2 = (– 1)2. (2. 2 – 1 ) = 3 a 4 = (– 1)4. (2. 4 – 1 ) = 7 ( an ) = ( – 1, 3, – 5, 7 ) sonlu dizisi bulunur. Sonlu sözcüğü kullanılmadıkça, dizi sonsuz terimli olarak alınacaktır.
www. muratguner. net SABİT DİZİ c R, n N+ için an= c ise ( an ) = ( c, c, …, c, … ) dizisine sabit dizi denir. Yani bütün elemanları birbirine eşit olan diziye sabit dizi denir. Örneğin: ( an ) = ( 3, 3, 3, … ) ( bn ) = ( Cos(2 n ) ) = ( 1, 1, 1, … ) ( cn ) = ( ( – 1 )2 n+1 ) = ( – 1, …, – 1, … ) dizileri sabit dizidir.
www. muratguner. net ÖRNEK Aşağıdaki dizilerden hangisi sabit dizi değildir? A ( 1) B ( Sin( 2 n )) D ( Sin 2 n + Cos 2 n) C ( (– 1 )2 n ) E ( Cos(n ) ) ÇÖZÜM A ( 1 ) = ( 1, 1, 1, …, 1 , …) B ( Sin( 2 n )) = ( 0, 0, 0, …, 0 , …) C ( ( – 1 )2 n ) = ( 1, 1, 1, …, 1 , …) D ( Sin 2 n + Cos 2 n )) = ( 1, 1, 1, …, 1 , …) E ( Cos(n ) ) = ( – 1, 1, …, – 1, 1, …)
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) = ( ( k – p )n 2 + ( k + p – 2 )n + 7 ) dizisi sabit dizi olduğuna göre, k. p kaçtır? ÇÖZÜM ( an ) = ( ( k – p )n 2 + ( k + p – 2 )n + 7 ) dizisi sabit dizi ise dizinin genel teriminde n değişkeni olmamalıdır. Yani, ( k – p )n 2 + ( k + p – 2 )n + 7 0 0 k–p=0 k+p– 2=0 k = 1 ve p = 1 k. p = 1
www. muratguner. net ÖRNEK dizisi sabit dizi olduğuna göre, k kaçtır? ÇÖZÜM – 1 ( an ) sabit dizi olduğuna göre, n yerine hangi pozitif doğal sayıyı verirsek verelim elde edeceğiniz sonuç aynı olur. Kolaylık olsun diye n yerine 1 ve 2 verelim, yani a 1= a 2 eşitliğini kullanalım. ( Dileyenler n yerine 1 ve 2 den başka 2815 doğal sayısını BİLE alabilir. )
www. muratguner. net ÖRNEK dizisi sabit dizi olduğuna göre, k kaçtır? ÇÖZÜM – 2 ( an ) sabit dizi ise aynı dereceli terimlerin katsayılarının oranı eşittir. Yani, sabit dizi ise, k=2
www. muratguner. net ÖRNEK dizisi sabit dizi olduğuna göre, k + p kaçtır? ÇÖZÜM Aynı dereceli terimlerin katsayıları oranı eşit olacağından, k = 2 ve p = 3 k +p = 5
www. muratguner. net DİZİLERİN EŞİTLİĞİ ( an ) ve ( bn ) iki dizi olsun. n N+ için an = bn ise ( an ) ve ( bn ) dizilerine eşit diziler denir ve ( an ) = ( bn ) şeklinde gösterilir. Örneğin, ( an ) = ( ( – 1 )n ) , ( bn ) = ( Cos(n ) ) dizileri eşit dizilerdir. Çünkü; her n N+ için an = bn olduğundan (an) = ( bn) dir. ( an ) = ( – 1, 1, – 1, 1 , …, ( – 1 )n, …) ( bn ) = ( – 1, 1, – 1, 1 , …, Cos( n ), …)
www. muratguner. net ÖRNEK dizilerini eşit yapan c değerini bulunuz. ÇÖZÜM Diziler birbirine eşit ise birinci terimleri de eşit olmalıdır.
www. muratguner. net DİZİLERDE İŞLEMLER ( an ) ve ( bn ) iki dizi ve a, b, c R olsun. Dizilerin toplamı, farkı, çarpımı, bölümü ve bir dizinin bir reel sayı ile çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanır: ( a n ) ± ( bn ) = ( a n ± bn ) ( a n ). ( bn ) = ( a n. bn ) c( a ) = ( c. a ) n n Sonuçların da dizi olduğuna dikkat ediniz.
www. muratguner. net ÖRNEK dizileri için aşağıdaki işlemleri hesaplayınız. 1. ( an ) + ( bn ) = ( an + bn )
www. muratguner. net ÖRNEK dizileri için aşağıdaki işlemleri hesaplayınız. 2. 4( an ) = ( 4. an )
www. muratguner. net ÖRNEK dizileri için aşağıdaki işlemleri hesaplayınız. 3. ( an ). ( bn ) = ( an. bn )
www. muratguner. net ÖRNEK dizileri için aşağıdaki işlemleri hesaplayınız. 4. (an) ve (bn) birer dizi olmalarına rağmen, bölümleri bir dizi değildir. Çünkü b 1 = 0 dır. (Bölümünde dizi olması için olmalı. )
www. muratguner. net ÖRNEK dizileri veriliyor. Buna göre, (an). (bn) dizisinin 15. terimi kaçtır? ÇÖZÜM ( a 15 ). ( b 15 ) isteniyor. 15 0 (mod 3) olduğundan
www. muratguner. net DİZİLERİN MONOTONLUĞU Herhangi bir ( an ) dizisinde n N+ için, an+1 > an oluyorsa ( an ) dizisine monoton artan bir dizi; an+1< an oluyorsa ( an ) dizisine monoton azalan bir dizi denir. Örneğin; ( an ) = ( 2 n – 1 ) = ( 1, 3, 5, 7, …, 2 n – 1, …) monoton artan bir dizi, ( bn ) = ( – 1, – 2 , – 3, …, – n, … ) monoton azalan bir dizidir. Monoton artan ya da monoton azalan dizilere, kısaca monoton diziler denir.
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) = ( (– 1)n. n ) = (– 1, 2 , – 3, 4, …) dizisi monoton bir dizi değildir. ÖRNEK Genel terimi, olan diziyi inceleyelim: (Daima artış veya daima azalma mevcut değil. ) 4, 5 3, 37 olduğuna göre, (an) dizisi monoton değildir.
www. muratguner. net Bir ( a ) dizisinde n N+ için; n an+1 – an > 0 ( an) monoton artan, an+1 – an < 0 ( an) monoton azalandır. ( a ) dizisinin terimleri pozitif reel sayılar ise n monoton artan, monoton azalandır.
www. muratguner. net ÖRNEK Genel terimi, olan dizinin monoton olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM – 1 Burada, olduğundan ( an ) dizisi monoton azalandır.
www. muratguner. net ÖRNEK Genel terimi, olan dizinin monoton olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM – 2 ise olduğundan ( an ) dizisi monoton azalandır.
www. muratguner. net ÖRNEK Genel terimi, olan dizinin monoton olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM – 3 n Z+ için; olduğundan ( an ) dizisi pozitif terimlidir. olduğundan ( an ) dizisi monoton azalandır.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin monoton olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM n Z+ için; olduğundan ( an ) dizisi pozitif terimlidir. olduğundan ( an ) dizisi monoton artandır.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin monoton olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM – olduğundan ( an ) dizisi monoton artandır.
www. muratguner. net ÖRNEK ( an ) dizisi pozitif terimli azalan bir dizi olsun. dizisinin monoton olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM ( an ) dizisi pozitif terimli olduğundan an + 2 n 1 ( an ) dizisi monoton azalan olduğundan an+1 – an < 0 dır olduğundan ( bn ) dizisi monoton artandır. >0
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin monoton azalan olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM olup dizi azalandır. olduğundan
www. muratguner. net ( a, b, c, d R) dizisinin monotonluk durumu aşağıdaki şekilde incelenir: 1. Paydanın kökü ( cn + d = 0 denkleminin kökü ) 1 den büyük ise monoton değildir. 2. Paydanın kökü ( cn + d = 0 denkleminin kökü ) 1 den küçük ise monotondur. Bu durumda, a) ad – bc > 0 ise dizi monoton artandır. b) ad – bc < 0 ise dizi monoton azalandır. c) ad – bc = 0 ise dizi sabittir. 3. Paydanın kökü 1 ise dizi değildir.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin monoton olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM dizisinde, a = 2, b = 1, c = 3 ve d = – 8 dir. olduğundan ( an ) dizisi monoton değildir. ( paydayı sıfır yapan değer)
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin monoton olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM olduğundan ( an ) dizisi monotondur. ad – bc =2( – 2 ) – 3. 5 = – 19 < 0 olduğundan ( an ) dizisi monoton azalandır.
www. muratguner. net ÖRNEK dizisinin monoton artan olduğuna göre, k nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? ÇÖZÜM olduğundan ( an ) dizisi monotondur. Verilen dizi monoton artan olduğuna göre, ad – bc =6. 3 – 2. k > 0 9 >k Buna göre, k nın alabileceği en büyük tamsayı değeri 8 dir.
www. muratguner. net Bir ( a ) dizisinde n N+ için; n an+1 an (an+1– an 0 ) ( an ) monoton azalmayan, an+1 an ( an+1– an 0 ) ( an ) monoton artmayan, ( a ) dizisinin terimleri pozitif reel sayılar ise n monoton azalmayan, monoton artmayan.
www. muratguner. net ÖRNEK an+1 an (an+1 – an 0 ) ( an ) monoton azalmayandır.
KAYNAKÇA : 1 - MATEMATİK VADİSİ YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 2 - ALTIN KİTAPLAR YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 3 - MEB 11. SINIF MATEMATİK KİTABI DERS KİTABI 4 - BİREY YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 5 - KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK – 4 6 - İNKILAP YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 7 - KÜRE YAYINLARI LİSE-3 MATEMATİK 8 - FEM YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 9 - AÇI YAYINLARI 11. SINIF MATEMATİK 10 - UĞUR YAYINLARI MATEMATİK 11 - FEM ÖĞRETMEN DERGİSİ 12 - SINAV DERGİSİ Ana Sayfaya Geri Dön
- Slides: 76