www muratguner net BSMLLAH HER HAYRIN BAIDIR HER
www. muratguner. net BİSMİLLAH HER HAYRIN BAŞIDIR. HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR MURAT GÜNER KELKİT- 2012
www. muratguner. net İÇİNDEKİLER FAKTÖRİYEL KAVRAMI 3 SAYMA TEMEL KURALLARI 29 PERMÜTASYON 88 TEKRARLI PERMÜTASYON 119 DAİRESEL PERMÜTASYON 150 KAYNAKÇA 172
www. muratguner. net FAKTÖRİYEL KAVRAMI Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK x ve y doğal sayı olmak üzere, x > y dir. Buna göre in alacağı en küçük değeri kaçtır? a) y+1 b) y c) 2 y – 1 d) 1 e) 1/y ÇÖZÜM x > y iken olmalıdır. Ana Sayfaya Geri Dön in küçük değeri alabilmesi için x = y + 1
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK
www. muratguner. net ÖRNEK 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! + 8! + 9! + 10! Sayısının 30 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK FAKTÖRİYEL İÇİNDE ASAL ÇARPAN ADEDİ ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 5 pantolon ve 3 gömlek arasından 1 pantolon veya 1 gömleği kaç farklı biçimde seçebileceğimizi bulununuz. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK
ÖRNEK
ÖRNEK B Futbol Sahası A
www. muratguner. net Buna saymanın temel prensibi veya genel çarpma kuralı denir. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK A kentinden B kentine 3 değişik, B kentinden C kentine 4 değişik yol vardır. A kentinden C kentine gitmek isteyen bir kimse, B ye uğramak koşuluyla; a) Kaç değişik yol ile A şehrinden C şehrine gidebilir? b) A şehrinden C şehrine kaç değişik yol ile gidip dönebilir? c) Kullandığı yolu bir kez daha kullanmamak koşulu ile C şehrine kaç değişik yoldan gidip gelebilir? ÇÖZÜM c) Gittiği yolu dönüşte kullanmayacağına göre, C den B ye 4 – 1 = 3, B den A ya 3 – 1 = 2 olmak üzere C den A ya dönüş işlemi 3 x 2=6 değişik biçimde sonuçlanır. Saymanın temel ilkesine göre A dan B ye uğrayarak C ye gidiş dönüş işlemi 12 x 6 = 72 farklı şekilde sonuçlanır. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön 1984 ÖYS
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Önce iki basamaklı bir doğal sayı ardından üç veya iki harf ve sonra üç rakamdan oluşan bir şifre kaç farklı biçimde hazırlanabilir? ÇÖZÜM 9 10 29 29 10 10 10 90. 292. 103 9 10 29 29 29 10 10 10 + 90. 293. 103 902. 292. 103( 1+29) = 902. 292. 103. 30 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Her sorunun 4 yanlış 1 doğru seçeneği olan 5 seçenekli 20 soruluk bir test sınavının cevap anahtarı hazırlanacaktır. a)Kaç farklı cevap anahtarı hazırlanabilir? b)Doğru cevap art arda iki soruda aynı şıkta olmayacak şekilde kaç farklı cevap anahtarı hazırlanabilir? ÇÖZÜM-b ÇÖZÜM-a a b c d e 5 durum söz konusu 5 4 durum söz konusu 5 durum söz konusu olduğundan Bütün sorular için durumlar düşünüldüğünde çarpmanın 19 dur =520 dir çarpmanın ilkesicevap: gereğince cevap: 5. 5. 5. . . 5 temel ilkesi temel gereğince 5. 4. 4. . . 4 = 5. 4 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinin elemanlarını kullanarak üç basamaklı tekrarsız ve rakamlarından biri 4 veya 6 olan kaç farklı tek doğal sayı yazılabilir? ÇÖZÜM Önce tekrarsız bütün üç basamaklı tek sayıların kaç tane olduğunu bulalım. 4 ve 6 rakamlarının kullanılmağı tekrarsız üç basamaklı tek sayıları bulalım. 7 6 4 =7. 6. 4=168 1 3 5 7 Ana Sayfaya Geri Dön 5 4 4 – 168 – 80 =88 1 3 5 7 =5. 4. 4=80
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 4 mektup 6 posta kutusuna aynı kutuya birden çok mektup atılmaması şartıyla kaç değişik biçimde atılabilir? ÇÖZÜM 6 5 1. mektup için 6 posta kutusu var. 2. mektup için 5 posta kutusu var. 4 3. mektup için 4 posta kutusu var. Ana Sayfaya Geri Dön 3 4. mektup için 3 posta kutusu var. = 6. 5. 4. 3 = 360
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön ÇÖZÜM
ÖRNEK
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön ÇÖZÜM
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön 1999 ÖSS
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
PERMÜTASYONLA ÇÖZÜLEBİLEN PROBLEMLER ●Sıralamalar ( bir sıraya oturan insanlar, bir yuvarlak masaya oturan insanlar) ●Dizilişler ( bir rafa dizilen kitaplar, harflerin yerleri değiştirilerek yazılan anlamlı anlamsız kelimeler) ● Ancak yukarıda verilen bütün soru tipleri Permütasyon kavramını belirtmeden de sadece faktöriyel ile kolayca çözmek mümkündür.
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM a ) 3 elemanın 2 li permütasyonları P( 3, 2 ) = 3. 2= 6 Ana Sayfaya Geri Dön b ) 3 elemanın 3 lü permütasyonları P( 3, 3 ) = 3! = 6
www. muratguner. net ÖRNEK P(5, 3)=5. 4. 3=60 Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
Nesnelerin Dizilişi 1 nesnemiz varken 1 diziliş 2 nesnemiz varken 2=1. 2 farklı diziliş 3 nesnemiz varken 3. 2=1. 2. 3 farklı diziliş 4 nesnemiz varken 4. 6=1. 2. 3. 4 farklı diziliş 5 nesnemiz varken 5. 24=1. 2. 3. 4. 5 farklı diziliş. . n nesnemiz varken 1. 2. 3. 4. . n=n! farklı diziliş söz konusudur.
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Çarpım durumundaki ifadeden, fazlalıkların atılması bölme ile yapılır. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK ÇÖZÜM
ÖRNEK " YAĞCI " kelimesinin harfleriyle yazılabilecek, alfabetik sıraya göre 120 farklı kelimeden, 99 uncu kelime nedir? ÇÖZÜM Y, A, Ğ, C, I harfleriyle alfabetik sıraya göre; A ile başlayan 4!=24 kelime yazılabilir. C ile başlayan 4!=24 kelime yazılabilir. Ğ ile başlayan 4!=24 kelime yazılabilir. I ile başlayan 4!=24 kelime yazılabilir. Toplam : 96 kelime 97. KELİME KESİNLİKLE Y İLE BAŞLAMALI 97. YACĞI 98. YACIĞ 99. YAĞCI
www. muratguner. net TEKRARLI PERMÜTASYON Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK A H M E T Yanda verilen tabloda kaç farklı AHMET kelimesi okunabilir? ÇÖZÜM Alt köşedeki T’ ye ulaşmak için Sağ köşedeki T’ ye ulaşmak için + 10
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 5522330 sayısının rakamları kullanılarak yedi basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 5522343 sayısının rakamları kullanılarak yedi basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK
www. muratguner. net ÖRNEK 6555000 sayısının rakamları kullanılarak yedi basamaklı 5 ile bölünebilen kaç farklı sayı yazılabilir? Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ÇÖZÜM Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK G Ü M Ü Ş H A N Ş H A N E Şekilde kaç farklı GÜMÜŞHANE kelimesi okunabilir? Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön 2001 -ÖSS
www. muratguner. net TEKRARLI PERMÜTASYON ve AYRAÇ YÖNTEMİ ÖRNEK 6 özdeş oyuncak 3 çocuğa kaç farklı dağıtılabilir ? ÇÖZÜM 1. Çocuk O : Oyuncak I I: OOO AyraçIolmak 1. Durum 1 Oyuncak O OO üzere 2. Çocuk 3 Oyuncak 2 Oyuncak ( Üç çocuğu ayırmak için 2 ayraç kullanmak I OOOOOO I gerektiğine dikkat ediniz. ) 2. Durum 0 Oyuncak 6 Oyuncak 0 Oyuncak OOOI 3. Durum 3 Oyuncak 0 Oyuncak 3 Oyuncak I OOO Bu durumlardan kaç tane olduğunu bulalım. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net 6 tane O ( Oyuncak ) ve 2 tane A ( Ayraç ) kaç farlı şekilde yana dizilebilir? ( OOOOOOAA ) Sorusunun cevabı aranan cevap olacaktır. Ya da n : Oyuncak sayısı ve r : Çocuk sayısı( Grup sayısı) olmak üzere formülüyle de hesaplanabilir. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Özdeş 9 oyuncak, 3 çocuğun her birine en az bir oyuncak vermek şartı ile kaç farklı dağıtılabilir? ÇÖZÜM Her çocuğa birer oyuncak baştan verilirse, birer oyuncak almaları garanti olacağından geriye 9 – 3 = 6 oyuncak kalır. O halde sorumuz " 6 özdeş oyuncak 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir? " sorusuyla aynı olacaktır. 6 oyuncak ve 3 çocuğu ayırmak için 2 ayraç OOOOOOAA şeklinde düşünürsek , tekrarlı permütasyondan; Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK a, b, c birer doğal sayı olmak üzere a+ b + c = 7 eşitliğini sağlayan kaç farklı ( a, b , c) üçlüsü vardır? ÇÖZÜM Bu soruyu da oyuncak sorusuna benzetebiliriz. 7 oyuncak, a, b ve c isimli 3 çocuğa kaç farklı dağıtılabilir? ( Toplamda 7 oyuncak dağıtılacak. ) 7 oyuncak ve 3 çocuğu ayırmak için 2 ayraç OOOOOOOAA şeklinde düşünürsek, tekrarlı permütasyondan; Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK a, b, c birer pozitif doğal sayı olmak üzere a+ b + c = 7 eşitliğini sağlayan kaç farklı ( a, b, c) üçlüsü vardır? ÇÖZÜM Bu soruyu da oyuncak sorusuna benzetebiliriz. Toplam 7 oyuncak, a, b ve c isimli 3 çocuğa kaç farklı dağıtılabilir? Yalnız, burada a, b, c pozitif doğal sayı dediği için (0) değerini alamazlar. O halde a, b, c isimli çocuklar en az birer oyuncak garanti almalıdır. Yani a, b, c en az 1 olmalıdır. 3 çocuğa birer oyuncağı baştan verirsek, geriye 7 -3=4 oyuncak kalır. Bu 4 oyuncak 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir? 4 oyuncak ve 3 çocuğu ayırmak için 2 ayraç OOOOAA şeklinde düşünürsek, tekrarlı permütasyondan; Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Rakamları toplamı 8 olan kaç tane 3 basamaklı doğal sayı yazılabilir? ÇÖZÜM a + bbasamağa + c = 8 olmak şartı ile kaçrakamlarını, yine tane üç basamaklı abc sayıları Her yazılacak a, b, c isimli 3 çocuk yazılabilir? olarak düşünelim. Toplamda 8 oyuncağı bu 3 çocuğa kaç farklı dağıtabiliriz? Yalnız, yüzler basamağına (0) yazamayacağımızdan ( 0 olursa 2 basamaklı olur) a en az 1 olmalıdır. Yani a isimli çocuğa 1 oyuncağı garanti etmeliyiz. b ve c için geriye 8 -1=7 oyuncak kalır. 3 basamak için 2 ayraç gerekir. O halde 7 oyuncak 3 çocuğa kaç farklı şekilde dağıtılabilir? 7 oyuncak ve 3 çocuğu ayırmak için 2 ayraç OOOOOOOAA şeklinde düşünürsek, tekrarlı permütasyondan; Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net DAİRESEL ( DÖNEL ) PERMÜTASYON Sonlu bir kümenin elemanlarının bir çember üzerinde ( kapalı bir eğri etrafına) birbirine göre farklı biçimde sıralanışlarının her birine bu elemanların bir dairesel permütasyonu ve dönel sıralaması denir. Dikkat edilirse, üç kişinin dairesel olarak sıralanışları sayılırken içlerinde birisine göre karşılaştırma yapılmıştır. O halde bir eleman sabit tutulup diğerleri sıralanmaktadır. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 5 kişilik bir aile dairesel bir yemek masasının etrafına kaç farklı şekilde oturup yemek yiyebilir? Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK ★ d) Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK 7 kişi yuvarlak bir masa etrafında hiçbir koşul olmadan 6! farklı şekilde oturabilir. 2 voleybolcu yana olmak üzere bu 7 kişi yuvarlak masa etrafında 5!. 2! Farklı şekilde oturabilir. Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
ÖRNEK Daha fazla top ve daha fazla renk olması durumlarında problem zorlaşacaktır. Bunun için 'Polya'nın Sayma Yöntemi' olarak bilinen bir metod kullanılır. Bunun için de öncelikle Burnside Lemma'sı olarak adlandırılan teorem ve uygulamalarına göz atmak faydalı olacaktır
www. muratguner. net ÖRNEK a) a) Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK I Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net UYARI Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net ÖRNEK Ana Sayfaya Geri Dön
www. muratguner. net KAYNAKÇA : 1 - MATEMATİK OLİMPİYATLARI KOMBİNATORİK PROBLEMLERİ- EKY 2 - KAREKÖK YAYINLARI MATEMATİK – 3 3 -KAVRAM YAYINLARI MATEMATİK 4 - MUSTAFA YAĞCI SIRA PROBLEMLERİ 5 – TÜMAY SET – 3 6 – FİNAL YAYINLARI Ana Sayfaya Geri Dön
- Slides: 173