Wstp Cel analizy 1 Problemy projektowe 2 Problemy

Wstęp. Cel analizy: 1. Problemy projektowe 2. Problemy eksploatacyjne Obiekt rzeczywisty idealizacja Model: - mechaniczny - filtracyjny - termiczny ośrodek ciągły ośrodek porowaty ośrodek przewodzący ciepło

U(x, t), e (x, t), s(x, t) Y Z p(x, t), q(x, t) X T(x, t)

Modele matematyczne Równania + warunki brzegowe 1. Statyka warunki brzegowe

2. Filtracja p(x) – ciśnienie wody w ośrodku porowatym q (x) – prędkość filtracji równanie ciągłości prawo Darcy Warunki brzegowe dla ciśnień (I rodzaju) dla prędkości filtracji (II rodzaju)

3. Pole temperatury T(x, t) q Warunek brzegowy I rodzaju Warunek brzegowy II rodzaju

Problemy brzegowe -równania różniczkowe + warunki brzegowe Problemy opisane równaniami różniczkowymi o pochodnych cząstkowych. Obiekt rzeczywisty Model fizyczny Model matematyczny Model numeryczny (dyskretny) Wielkości fizyczne, cechy materiałowe Równania Charakterystyczny dla wybranej metody (MES, MEB, MRS)

Model płaskiego stanu odkształceń k. N/m 2 k. N/m Lz>>Lx, Ly Ly Y Z Lx X 1 Lz G=G(x, y) M=M(x, y) Brak zmienności geometrii, danych materiałowych i obciążenia w kierunku Z

Model płaskiego stanu odkształceń

Lx, Ly>>Lz=t Płaski stan naprężeń Obciążenia – układ płaski P(x, y) Ly Lz Lx

Budowa modelu dyskretnego węzeł Element Q 4

Globalny wektor przemieszczeń

Aproksymacja skończenie elementowa 1 D f(x) fi+1 fi xi xi+1 1 N 2 1 Funkcja interpolacyjna

Aproksymacja skończenie elementowa 2 D f 3 f 4 4 3 f 1 2 1 h x 4 x 3 (-1, 1) 4 f 2 3 (1, 1) x 1 (-1, -1) x 1 h 2 (1, -1) x 2 x

Problem brzegowy Zasada prac wirtualnych

Ke – macierz sztywności (elementowa) KG – macierz sztywności (globalna) fe – siły węzłowe równoważne obciążeniom

Ostateczna postać układu równań Macierz kwadratowa, symetryczna, o charakterze pasmowym

Algorytm rozwiązania 1. Wyznaczenie macierzy i sił elementowych Ke, fe 2. Agregacja macierzy globalnych i wektora globalnego sił KG, f. G 3. Rozwiązanie 4. Przejście na wartości elementowe w węzłach w punktach Gaussa

Punkty Gaussa Całkowanie Gaussa f(x) x a b 4 3 1 2

Rola człowieka Pre procesor graficzny Pliki danych Obliczenia Post procesor

Struktura danych Współrzędne węzłów Macierz topologii (przylegania) Warunki brzegowe 0 – swobodny 1 - zablokowany

Struktura danych Strefy materiałowe Obciążenia Sterowanie obliczeniami Dane materiałowe

Modelowanie numeryczne filtracji w ośrodku gruntowym Uogólnione prawo Darcy k – współczynnik filtracji [m/d], [m/s] p – ciśnienie cieczy w porach (ciśnienie porowe) z – potencjał sił ciężkości S – stopień wilgotności (saturacja) g – ciężar objętościowy wody Dla p<0 (parcie)

Współczynnik filtracji – orientacyjne wartości Piasek gruby 10 – 20 m/d Piasek średni 1 – 5 m/d Piasek drobny 0. 1 - 1 m/d Glina piaszczysta 0. 01 m/d Glina 0. 001 m/d Ił < 0. 001 m/d

p>0 strefa niepełnego nasycenia 0<S<1 p=0 krzywa filtracji p<0 strefa pełnego nasycenia S=1

Model strefy niepełnego nasycenia wg. van Genuchtena (1980)

Równanie ciągłości (r. Richardsa) n - porowatość Bw - moduł ściśliwości cieczy - objętościowe odkształcenie szkieletu W strefie pełnego nasycenia

Seepage surface elements: p. EXT p h=h(t) partial saturation zone Seepage surface p. EXT= 0 free surface (unknown) leakage zone saturated zone Typical model for flow analysis Seepage surface p. EXT=-(h(t)-y). g q=0

Ewolucja krzywej filtracji w czasie przejścia fali powodziowej

Oddziaływanie pola ciśnień porowych dekompozycja naprężeń: równanie równowagi: Wypór + ciśnienie spływowe y x zmiana ciężaru objętościowego

Modelowanie konstytutywne ośrodka gruntowego / skalnego Modele normowe: -liniowo sprężysty (ocena przemieszczeń) - sztywno plastyczny (nośność graniczna) Modele w analizie MES: -sprężysto plastyczne - hipo sprężyste -kontynualnej mechaniki zniszczenia -hipo plastyczne

Model sprężysto – plastyczny - prawo sprężystości - warunek plastyczności - ewolucja odkształceń plastycznych (prawo plastycznego płynięcia) - prawo wzmocnienia / osłabienia

Prawo płynięcia Potencjał płynięcia: interpretacja fizyczna kąta dylatancji : stowarzyszone pr. pł. deformacja nieściśliwa

test bezpośredniego ścinania Warunek graniczny Coulomba

Numeryczna analiza stateczności obiektów ziemnych metodą proporcjonalnej redukcji parametrów wytrzymałościowych gruntu (redukcji c-f) Wyznaczenie stanu naprężeń na danym etapie budowy lub użytkowania obiektu, SF=1 Redukcja parametrów gruntu według zależności Uzyskano równowagę statyczną Wyznaczenie stanu naprężeń przy zredukowanych parametrach Koniec Nie uzyskano równowagi statycznej

Numeryczna analiza stateczności obiektów ziemnych metodą proporcjonalnej redukcji parametrów wytrzymałościowych gruntu (redukcji c-f) Równanie spełnione w stanie granicznym, więc SF jest normowym współczynnikiem stateczności