Wiskunde leren vanuit abstracte voorbeelden hoe overtuigend zijn
Wiskunde leren vanuit abstracte voorbeelden: hoe overtuigend zijn de resultaten van Kaminski? Dirk De Bock, Johan Deprez, Wim Van Dooren, Michel Roelens, Lieven Verschaffel
Inleiding
Inleiding
Inleiding Les exemples sont mauvais pour l’apprentissage des mathématiques (25 april 2008) Voorbeelden zijn slecht voor het leren van wiskunde
Inleiding krantenartikels gebaseerd op: • doctoraal proefschrift Kaminski, J. A. (2006). The effects of concreteness on learning, transfer, and representation of mathematical concepts. • reeks papers … Kaminski, J. A. , Sloutsky, V. M. , & Heckler, A. F. (2008). The advantage of abstract examples in learning math. Science, 320, 454– 455. …
Kaminski et al. • stellen ter discussie dat wiskundeleren ‘van concreet naar abstract’ verloopt “Instantiating an abstract concept in concrete contexts places the additional demand on the learner of ignoring irrelevant, salient superficial information, making the process of abstracting common structure more difficult than if a generic instantiation were considered” (Kaminski, 2006, p. 114) • voerde reeks van gecontroleerde experimenten uit met bachelorsstudenten in de psychologie
Kaminski et al. • enkele besluiten (Kaminski et al. , 2008, p. 455) § “If the goal of teaching mathematics is to produce knowledge that students can apply to multiple situations, then representing mathematical concepts through generic instantiations, such as traditional symbolic notation, may be more effective than a series of “good examples”. ” § “Moreover, because the concept used in this research involved basic mathematical principles and test questions both novel and complex, these findings could likely be generalized to other areas of mathematics. For example, solution strategies may be less likely to transfer from problems involving moving trains or changing water levels than from problems involving only variables and numbers. ”
Kritische reacties van collega’s onderzoekers • in Educational Forum en e-letters in Science: § § Cutrona, 2008 Mourrat, 2008 Podolefsky & Finkelstein, 2008 … • research commentary door Jones in JRME (2009) • informele reacties § Mc. Callum, 2008 § Deprez, 2008
In deze presentatie 1. 2. 3. 4. Inleiding Een vleugje wiskunde: commutatieve groepen van orde 3 De studie van Kaminski et al. Twee belangrijke elementen van kritiek 1. onfaire vergelijking 2. wat hebben leerlingen precies geleerd? 5. Nieuw empirisch onderzoek door De Bock et al. 6. Algemene discussie
Een vleugje wiskunde: commutatieve groepen van orde 3
Commutatieve groep met 3 elementen • een verzameling G met 3 elements … bijvoorbeeld § {0, 1, 2} § {r 120°, r 240°, r 0°} , waarbij r 120° staat voor een rotatie over 120° § {a, b, c} waarbij a, b en c niet verder gespecifieerd • met een bewerking * gedefinieerd op die elementen … § {0, 1, 2}: optelling modulo 3, bijvoorbeeld: 2+2=1 § {r 120°, r 240°, r 0°}: pas achtereenvolgens rotaties toe, bijvoorbeeld: eerst r 120°, daarna r 240° geeft r 0° § {a, b, c} : de bewerking kan gegeven worden met een 3 bij 3 tabel • die voldoet aan de volgende eigenschappen:
Commutatieve groep met 3 elementen • een verzameling G met 3 elementen … • met een bewerking * gedefinieerd op die elementen … • die voldoen aan de volgende eigenschappen: § commutativiteit: x*y=y*x voor elke x en y in G § associativiteit: (x*y)*z=x*(y*z) voor elke x, y en z in G § bestaan van een neutraal element: G bevat een element n waarvoor x*n=x=n*x voor elke x in G § bestaan van inversen: voor elk element x in G is er een element x’ waarvoor x*x’=n=x’*x 0 de twee voorbeelden zijn isomorfe groepen alle groepen van orde 3 zijn isomorf 2 1
De studie van Kaminski et al.
Het basisexperiment van Kaminski et al. (80 bachelorsstudenten) Fase 1: Instructiedomein studie + toets Fase 2: Transferdomein presentatie + toets A: Kleitabletten van archeologische site C: Maatbekers T: Kinderspel
Fase 1 • studie: § inleiding § Expliciete presentatie van de regels d. m. v. voorbeelden § opgaven met feedback § complexe voorbeelden § samenvatting van de regels • leertoets: 24 meerkeuzevragen
Fase 2 • presentatie § Inleiding tot het spel § “De regels van het systeem dat je leerde zijn zoals de regels van het spel. ” § 12 voorbeelden van combinaties • transfertoets 24 meerkeuzevragen
Resultaten • leertoets: A = C • transfertoets: A > C
Twee belangrijke elementen van kritiek
1. Onfaire vergelijking • Kaminski controleerde voor “superficial similarity” bachelorsstudenten lazen beschrijvingen van T-A or T-C, maar werden niet getraind in de regels “similarity ratings” laag geen significante verschillen tussen T-A vs. T-C • kritieken: onfaire vergelijking t. g. v. “deep level similarity” tussen T en A 1. betekenisloze bewerking op betekenisloze symbolen 2. commutatieve groep vs. modulorekenen (impliciet) 3. aan- vs. afwezigheid numerieke/fysische referent (Mc. Callum, 2008; Cutrona, 2009; Deprez, 2008; Jones, 2009 a, 2009 b; Mourrat, 2008, Podolefsky & Finkelstein, 2009) A C T
2. Wat leerden de studenten precies? • Meerkeuzetoetsen tonen enkel het finale antwoord, maar niet hoe dat antwoord werd gevonden. • Wat leerden de studenten? § § een set van specifieke regels? modulaire optelling? groepseigenschappen (commutativiteit, …)? … • Is er enige evidentie van een bewuste toepassing van wat geleerd werd? met commutativiteit, … is men ook vertrouwd vanuit het rekenen met (gewone) getallen!
Een empirische studie door De Bock et al.
Methode • Subjecten: 130 bachelorsstudenten in de pedagogische wetenschapen • Twee fasen (1) instructiedomein: studie en toets (2) transferdomein: presentatie en toets • Vier experimentele condities (A = abstract, C = concreet) § § § AA, CA, AC, and CC AA and CA: “Kaminski condities” AC and CC: belangrijke toevoegingen door ons
Methode Operationalizering van de domeinen • A-learning: kleitabletten van archeologische site • A-transfer: kinderspel • C-learning: maatbekers • C-transfer: pizza’s (stukken pizza die zich op dezelfde manier gedragen als de maatbekers)
Methode
Methode
Methode
Methode In alle condities: Juist voordat de test werd afgenomen, werd een samenvatting van de regels gepresenteerd.
Methode
Methode Toets op het einde van de instructiefase bestond uit 24 ‘isomorfe’ meerkeuzevragen
Methode
Methode
Methode Tweede belangrijk verschilpunt met Kaminski’s procedure: Open vraag op het einde van de instructiefase Bijv. , na de “concrete” instructiefase: ? Wat komt er op de plaats van het vraagteken? Leg zo precies als mogelijk uit hoe je dit gevonden hebt.
Methode Of na de abstracte instructiefase: ? Wat komt er op de plaats van het vraagteken? Leg zo precies als mogelijk uit hoe je dit gevonden hebt. Instructie + toetsing § § individueel twee fasen onmiddellijk na elkaar eigen tempo computer
Methode - Analyse • Scores op instructie- en transfertest: statistische analyse (ANOVA + Tukey HSD) na verwijdering van een aantal ‘outliers’ (volgens eenzelfde procedure als Kaminski) • Verklaringen ‘open vraag’: scoringssystem ontwikkeld en toegepast op de data door twee onafhankelijke beoordelaars.
Methode - Analyse Scoringssysteem • Analyse-eenheid = verklaring van een deelnemer • Vier hoofdcategorieën: § § G (Groep) M (Modulo) R (Regels) N (Niet) • Subcategorieën: § G 1 , G 2 , G 3 , G 4 § M 1 , M 2 • Scores: 2, 1 of 0
Methode - Analyse Scoringssystem • 2 = formuleering op algemeen niveau Voorbeelden § “volgorde doet er niet toe” § “als je een vlag combineert met een ander symbool dan krijg je altijd dat andere symbool” § “ 2 + 2 = 4 – 3 = 1” • 1 = ondubbelzinnige toepassing • 0 = anders
Resultaten – Kwantitatieve resultaten Gemiddelde en standaarddeviatie van de toetsscores (Max = 24) Conditie Instructietest Transfertest AA (N = 23) 17. 1 (3. 9) 18. 1 (3. 8) AC (N = 30) 15. 3 (3. 5) 17. 4 (4. 2) CA (N = 28) 18. 5 (2. 9) 12. 0 (4. 3) CC (N = 24) 18. 3 (3. 5) 20. 2 (2. 4) • Instructietoets: AC < CA, CC • Transfertoets: CA < AA, AC, CC and AC < CC
Resultaten – Kwantitatieve resultaten • Kaminski bevestigd (transfertoets: AA > CA) • Omgekeerde geldt ook (transfertoets: CC > AC) • Ondanks AC < CX (instructietoets), AC = AA (transfertoets): students lijken “modulo 3 rekenen” te “leren” met weinig of geen hulp van de instructieconditie
Resultaten – Kwalitatieve resultaten G Instructie domein A (N = 66) M R N Score G 1 G 2 G 3 G 4 M 1 M 2 2 0 6 0 0 – – 1 16 43 0 0 62 11 0 50 17 66 63 66 66 4 55 • Letterlijk herhalen van combinatieregels • Formuleringen van groepseigenschappen op algemeen niveau komen nauwelijks voor (ondanks het feit dat expliciet werd gevraagd om “zo precies als mogelijk” te verklaren)
Resultaten – Kwalitatieve resultaten G Instructie domein C (N = 52) M R N Score G 1 G 2 G 3 G 4 M 1 M 2 2 0 0 7 0 – – 1 13 7 0 2 22 5 5 14 0 39 45 52 50 23 47 47 38 • Toepassing van “modulo 3” rekenen door ongeveer de helft van de deelnemers (geen expliciet doel van instructieomgeving!) • In sommige gevallen: zonder referentie naar de context • …
Resultaten – Kwalitatieve resultaten G Instructie domein C (N = 52) M R N Score G 1 G 2 G 3 G 4 M 1 M 2 2 0 0 7 0 – – 1 13 7 0 2 22 5 5 14 0 39 45 52 50 23 47 47 38 • … • Pure herhalingen van combinatieregels komen zelden voor • Enkele spontane toepassingen van groepseigenschappen (hoewel minder dan in de A-instructiegroepen)
Belangrijkste besluiten Onze resultaten bevestigen die van Kaminski: transfer naar een nieuw “abstract” domein wordt bevorderd door een abstract, eerder dan een concreet instructiedomein Maar… • Transfer naar een nieuw “concreet” domein wordt ook bevorderd door een concreet, eerder dan door een abstract instructiedomein • Ernstige twijfels over wat de studenten werkelijk leerden uit de abstracte instructieomgeving (groepseigenschappen vs. formeel leren toepassen van combinatieregels) • Sommige studenten bereikten een hoger abstractieniveau vanuit de concrete instructieomgeving.
Algemene discussie
Algemene discussie • Onwijs om de resultaten van Kaminski te extrapoleren naar het gehele wiskundeonderwijs. • Zelfs een extrapolatie naar commutatieve groepen van orde 4 zou al problematisch zijn… • Een wiskundig begrip vatten heeft ook een epimistologische betekenis (waar komt het vandaan en waaraan ontleent het zijn ‘kracht’? ). Noch de abstracte, noch de concrete representaties van Kaminski’s (en onze) studie werpen enig licht op deze fundamentele kwestie…
- Slides: 45