Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging numerieke advectieschemas

Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging numerieke advectieschema's 1 12 maart 2013

Inhoud 2 Wislunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013

numerieke advectieschema’s massa en transport in gridcellen i-1 i i+1 i-1/2 i+1/2 midden : xi rand xi+1/2 : tijdstappen t 1, t 2, … , tn concentratie notatie: c(x, t) x

volume massa V= Δx Δy Δz, oppervlak S = Δy Δz M concentratie flux f (g) c = M/V = M/(Δx Δy Δz) afspraak: outflow S f>0 Δz Flux f Δy Δx (m 3, m 2) massabehoud (g/m 3) g/(m 2 s)

numerieke advectieschema’s c i-1 i i+1 x 5 Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013

numerieke advectieschema’s massabehoud: deel door volume V = Δ x Δy Δz : Euler forward: <> : gemiddeld over interval [tn, tn+1] Leonhard Euler, Institutionum calculi integralis, 1768– 70

Flux is evenredig met de windsnelheid u evenredig met concentratie c f=uc Veronderstel centred m/s g/m 3 g/(m 2 s) u constant en u > 0

centred scheme (u > 0) substitueer en

Courant number Courant – Friedrich – Lewy number (CFL) Courant, R. ; Friedrichs, K. ; Lewy, H. : "Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik", Mathematische Annalen 100 (1): 32– 74, 1928.

numerieke advectieschema’s ● MATLAB centred differences. .

Flux is evenredig met de windsnelheid u evenredig met concentratie c f=uc Veronderstel centred upwind m/s g/m 3 g/(m 2 s) u constant en u > 0

upwind scheme (u > 0) substitueer en R. Courant, E. Isaacson, M. Rees: Comm. Pure Appl. Math. 5 (1952), 243

numerieke advectieschema’s ● MATLAB upwind differences. .

numerieke advectieschema’s c i-1 i x 14 i+1 volgende tijstap: stof staat al klaar voor cel i+2 numerieke diffusie Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013

van Leer c i-1 i i+1 Bram van Leer: Towards the Ultimatex Conservative Difference Scheme, J. of Computational Physics 23, 276 -299 (1977) 15 Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013

MUSCL scheme (van Leer, 1977): c lineaire functie van x , helling want: c(x, t+flux Δt) = c(x-u t, t)] Gemiddelde over [tnΔ , tn+1

MUSCL scheme, slope centred slope: Fromm upwind slope: Beam-Warming downwind slope: Lax-Wendroff

numerieke advectieschema’s ● MATLAB van Leer. .

numerieke advectieschema’s ● monotoniciteit extra checks op c ≥ 0 en c ≤ max – let op massabehoud! ● minder numerieke diffusie pieken helling steiler maken rond lokale Chris J. Walcek: Minor flux adjustment near mixing ratio extremes for simplified yet highly accurate monotonic calculation of tracer advection, J. of Geophysical Research, vol. 105, pp. 9335 -9348, 2000

numerieke advectieschema’s, Walcek ● 1 D Test met 14 verschillende vormen en verschillende Courant nummers. ● verschillende "steepening factors" 1 < downwind helling. ● optimale α < 2 voor upwind en α bepaald (minimale RMS error)

numerieke advectieschema’s, Walcek ieder punt: gemiddelde α voor 14 vormen witte lijn: αdown als functie van CFL zwarte lijn: αup als functie van CFL

numerieke advectieschema’s ● MATLAB Walcek. .