Wiskunde A B C en D VWO Programma

Wiskunde A, B, C en D. VWO

Programma presentatie. • • • Uitleg wiskunde A Uitleg wiskunde B Uitleg wiskunde C Uitleg wiskunde D Samengevat Profielen

Wiskunde A • Kenmerken. • Voorbeeldopgaven. • Typische wiskunde A hoofdstukken in leerjaar 3. • Studiebelasting.

Kenmerken wiskunde A • Concrete vraagstukken uit de dagelijkse praktijk oplossen met behulp van een wiskundige berekening. • Zo wordt van wiskunde A leerlingen bij een gegeven probleem gevraagd het juiste wiskundige gereedschap te kiezen en dat op een correcte wijze toe te passen. • Nadruk ligt op toepassen in plaats van inzicht (zoals bij wiskunde B). • Naast de wiskunde zelf krijg je bij wiskunde A dus ook te maken met tekstverklaren en informatieverwerking.

Kenmerken wiskunde A • Het inlevingsvermogen in het concrete wiskundig probleem is belangrijk! • Er wordt minder aandacht besteed aan abstracte wiskundige problemen (in tegenstelling tot wiskunde B). • Bestemd voor maatschappijgerichte studies. • Enkele belangrijke specifieke wiskunde A onderwerpen zijn bijvoorbeeld Kansrekening en Statistiek. • Kansrekening • Statistiek : berekenen van kansen. : verzamelen en verwerken van gegevens en weergeven in diagrammen.

Voorbeeldopgaven wiskunde A • Het aantal uren dat de jongeren per week van internet gebruik maken daalt vanaf het begin van 2005. In mei 2005 zaten de jongeren nog gemiddeld 13, 2 uur per week op het internet, in januari 2007 was dat al gedaald tot gemiddeld 10, 4 uur per week. • a Stel de formule op het aantal uren A per week dat de jongeren van internet gebruik maken. Neem de tijd t in maanden met t = 0 in januari 2005. • b Hoeveel uur per week zaten de jongeren op internet in augustus 2006? • c In welke maand van welk jaar zal het internetgebruik van jongeren teruggelopen zijn tot gemiddeld 8 uur per week, aangenomen dat de huidige trend zich voortzet?

Voorbeeldopgaven wiskunde A • In de klas van Esmée en Judith zitten 28 leerlingen: 12 jongens en 16 meisjes. Deze 28 leerlingen worden door de docent wiskunde willekeurig verdeeld over 7 groepen van elk 4 leerlingen. • Bereken de kans dat • a Esmée en Judith bij elkaar in de groep komen • b Esmée en Judith samen met twee jongens in een groep komen • c Esmée in een groep komt samen met drie jongens • d Judith in een groep komt met drie meisjes en dat Esmée in een andere groep komt.

Voorbeeldopgaven wiskunde A • Merel laat de schijven hieronder één keer draaien. I • • • II III Hoeveel uitkomsten zijn er a met drie keer een 2 b met drie keer hetzelfde getal c met twee keer een 2 en één keer een 3 d met de som is minder dan 8 e met de som is 12

Voorbeeldopgaven wiskunde A • • • Een parkeerwachter heeft een tijdlang bijgehouden hoeveel boetes hij per dag bij het winkelcentrum Superplaza heeft gegeven. Hij heeft de waarnemingen verwerkt in het histogram hiernaast. a Hoeveel dagen heeft hij het aantal boetes bijgehouden? b Bereken van het aantal boetes de modus en de mediaan. c Bereken in één decimaal nauwkeurig het gemiddelde en de standaardafwijking. d Bij nader inzien blijkt de parkeerwachter een fout gemaakt te hebben bij het tekenen van het histogram. De frequentie bij de staaf ‘ 9 boetes’ klopt niet. Door wel de juiste frequentie te nemen wordt het gemiddelde aantal boetes precies 8, 9. Bereken welke frequentie de staaf ‘ 9 boetes’ had moeten hebben.

Typische wiskunde A hoofdstukken in leerjaar 3. • De volgende hoofdstukken in leerjaar 3 zijn typisch voor wiskunde A: • Hoofdstuk 1: Lineaire verbanden • Hoofdstuk 5: Statistiek en procenten • Hoofdstuk 8: Allerlei verbanden • Hoofdstuk 9: Informatieverwerking

Studiebelasting wiskunde A • Leerjaar 4: – 3 lesuren per week (150 minuten) – 1, 5 klokuren huiswerk per week (90 minuten) • Leerjaar 5: – 3 lesuren per week (150 minuten) – 2 klokuren per week (120 minuten) • Leerjaar 6: – 3 lesuren per week (150 minuten) – 2 klokuren per week (120 minuten)

Wiskunde B • Kenmerken. • Voorbeeldopgaven. • Typische wiskunde B hoofdstukken in leerjaar 3. • Studiebelasting. • Wel/geen wiskunde B. • Tussentijds overstappen naar wiskunde A.

Kenmerken wiskunde B • Bij wiskunde B houden we ons bezig met abstracte wiskundige problemen die vaak niet meteen in relatie staan tot de praktijk. • De leerling zal zich bezig houden met verschillende variabelen en formules en zal vele technieken bij standaard problemen uit het hoofd moeten kennen! • Het precies omgaan met de vele nieuwe wiskundige notaties en symbolen zal ook een belangrijk punt zijn bij het oplossen van de wiskunde B vraagstukken. • Indien je niet van wiskunde houdt en het alleen doet vanwege je beroepsinteresse kan dat een probleem geven!

Kenmerken wiskunde B • Nadruk ligt op inzicht in plaats van toepassen (zoals bij wiskunde A), en doet dus een groot beroep op het abstractievermogen van leerlingen. • De hoeveelheid algebra is bij wiskunde B ook veel groter dan bij wiskunde A. • Wiskunde B heeft geen kansrekening en statistiek, wel meetkunde met veel goniometrie. – Meetkunde – Goniometrie : bepalen van de afmetingen en andere eigenschappen van vlakke en ruimtelijke figuren. : sinus, cosinus en tangens. • Bij wiskunde B is het werken met formules en algebra belangrijker dan bij wiskunde A. Er wordt meer 'zuivere' wiskunde gedaan, dus zonder toepassingen buiten de wiskunde. • Wiskunde B is bestemd voor de natuurgerichte studies.

Voorbeeldopgaven wiskunde B • Om een paars geschilderd vierkant wordt een witte rand gemaakt. x x x 2 x • Wat is de waarde van x als de totale oppervlakte van het witte gedeelte 60 cm 2 is?

Voorbeeldopgaven wiskunde B • Een parabool met top T(6, 27) snijdt de xas in de punten A(3, 0) en B(9, 0). Stel de formule op van deze parabool van de vorm y = ax 2 + bx + c. • Los algebraïsch op.

Voorbeeldopgaven wiskunde B • Gegeven is een balk met ribben a, 2 a en 3 a. 2 a a 3 a • Bereken exact voor welke waarde van a de inhoud van de balk gelijk is aan 60. • Bereken exact voor welke waarden van a de totale oppervlakte van de zijvlakken groter is dan 110.

Voorbeeldopgaven wiskunde B y B • In de figuur hiernaast is de parabool met de rechthoekige driehoek OAB getekend. Hierbij is A het punt (p, 0) met 0 < p < 4½ en ligt B op de parabool. A O • a • b p Bereken exact voor welke waarde van p de oppervlakte van de driehoek maximaal is. Druk de lengte van lijnstuk OB uit in p en bereken voor welke waarde van p de lengte van OB maximaal is. Rond je antwoord af op twee decimalen. x

Voorbeeldopgaven wiskunde B • Schrijf als macht van x.

Voorbeeldopgaven wiskunde B • Gegeven zijn de functies f(x) = 3 + 2 sin(x) en g(x) = 4 cos(x − 1⅓ π). • De somfunctie is s(x) = f(x) + g(x) en verschilfunctie is v(x) = f(x) – g(x). De grafieken van de somfunctie en de verschilfunctie zijn beide sinusoïden. • Stel een formule op met een sinus bij de somfunctie. Rond in het antwoord af op twee decimalen. • Stel een formule op met een cosinus bij de verschilfunctie. Rond in het antwoord af op twee decimalen.

Typische wiskunde B hoofdstukken in leerjaar 3. • • De volgende hoofdstukken in leerjaar 3 zijn typisch voor wiskunde B: Hoofdstuk 1: Lineaire verbanden Hoofdstuk 2: Gelijkvormige driehoeken Hoofdstuk 3: Kwadratische verbanden Hoofdstuk 4: Goniometrische verhoudingen Hoofdstuk 6: Ongelijkheden en herleiden Hoofdstuk 7: Goniometrie Hoofdstuk 8: Allerlei verbanden

Studiebelasting wiskunde B • 4 e leerjaar: – 3 lesuren per week (150 minuten) – 2, 5 klokuren huiswerk per week (150 minuten) • 5 e leerjaar: – 4 lesuren per week (200 minuten) – 3 klokuren huiswerk per week (180 minuten) • 6 e leerjaar: – 3 lesuren per week (150 minuten) – 2, 5 klokuren huiswerk per week (150 minuten)

Wel/geen wiskunde B • Kies wel wiskunde B als: – – • je goniometrie goed kent en kunt; je de abc-formule leuk vindt; functies en grafieken leuk vindt; je gemiddelde eindcijfer tenminste een 8, 0 is. Een verkeerd argument om voor wiskunde B te kiezen: – ‘verhaalsommen’ vind ik niet leuk; – ik heb het alleen maar nodig voor mijn beroepskeuze.

Tussentijds overstappen naar wiskunde A • In principe niet: – Roostertechnisch; – Geen plek in andere klas; – Inhalen leerstof en toetsen. • • • DUS het beste is om meteen goed te kiezen. Bij twijfel wiskunde A of B: kies dan een profiel waarbij je zonder probleem kan overstappen. Bij N&T-profiel is wiskunde B verplicht en kan je dus niet overstappen.

Wiskunde C • Op het VWO is wiskunde verplicht. Tenminste wiskunde C bij C&M-profiel. • De leerstof is hetzelfde als wiskunde A, maar alles komt op een iets eenvoudigere en beperktere manier aan bod

Studiebelasting wiskunde C • Leerjaar 4: – 3 lesuren per week (150 minuten) – 1, 5 klokuren huiswerk per week (90 minuten) • Leerjaar 5: – 3 lesuren per week (150 minuten) – 1, 5 klokuren huiswerk per week (90 minuten) • Leerjaar 6: – 2 lesuren per week (100 minuten) – 2 klokuren huiswerk per week (120 minuten)

Wiskunde D • • Wat is wiskunde D. Waarom wiskunde D. Voorbeeldopgaven wiskunde D. Studiebelasting.

Wat is wiskunde D • • • Wiskunde D is een nieuw en uitdagend vak in de bovenbouw van HAVO. Je kunt het kiezen als profielkeuzevak in het N&T-profiel. Je kunt wiskunde D alleen kiezen als je daarnaast ook wiskunde B volgt. Wiskunde D is voor een deel een verdieping van wiskunde B: het centrale onderwerp van wiskunde B is functies en hun grafieken, en bij wiskunde D ga je daar nog dieper op in. Bij wiskunde D maak je ook kennis met: – – – • kansrekening en statistiek; meetkunde; exponentiële groei en goniometrische functies; ruimtemeetkunde (snijpunten bepalen en vectoren); keuzeonderwerp zoals besliskunde en complexe getallen. Een deel van wiskunde D is speciaal bedoeld om je kennis te laten maken met het gebruik van wiskunde op de hogeschool. Dit kan bijvoorbeeld door lesmateriaal te gebruiken dat door mensen uit het hoger onderwijs is gemaakt.

Waarom wiskunde D • De beste reden om voor wiskunde D te kiezen, is dat je wiskunde een leuk vak vindt waar je meer over wilt weten. • Dat betekent niet dat je wat betreft wiskunde de beste van de klas moet zijn — het niveau van wiskunde D is gelijk aan dat van wiskunde B — maar je moet het wel leuk vinden om veel van je schooltijd met wiskunde bezig te zijn. • Een tweede reden om voor wiskunde D te kiezen, is dat het je succeskansen in een vervolgopleiding vergroot, want: – – – je gaat dieper op de wiskunde in; je leert beter abstract te denken; je wordt handiger in algebra; je wordt uitgedaagd en leert om door te zetten; je leert op eigen houtje wiskundige ontdekkingen te doen. • Kortom: Wiskunde D: De beste voorbereiding op een bètastudie!

Voorbeeldopgaven wiskunde D • Onderzoek in het figuur hiernaast of de volgende paren lijnen evenwijdig, snijdend of kruisend zijn. • HK en MR • IF en OR • AC en IG • KN en FR • AG en BP Q K L J I G H E C B P O F D A R N M

Voorbeeldopgaven wiskunde D • Op 1 januari 2005 heeft Roos € 20 000, - op een spaarrekening gezet waarop ze elk jaar 4, 1% rente krijgt. Ze wil vanaf 1 januari 2009 ieder jaar op 1 januari 300 euro opnemen. • Welk bedrag staat er op 2 januari van het jaar 2012 op haar spaarrekening? • Op welke dag staat er, vlak na het opnemen van de 300 euro, voor het eerst meer van 27 500 euro op haar rekening? • Op welke dag krijgt Roos voor het eerst meer dan 1000 euro rente? • Stel een recursieve en een directe formule op voor het bedrag op de spaarrekening van Roos. Noem het bedrag op haar spaarrekening Gt. Neem t in jaren en t = 0 is 1 januari 2008.

Voorbeeldopgaven wiskunde D • Een korte uitleg: een recursieve formule is een formule die zichzelf aanroept. • Bv: f(n) = n · f(n -1) met f(1) = 1 • Dus f(5) = 5 · f(4) functie n f(n) • = 5 · 4 · f(3) • = 5 · 4 · 3 · f(2) f(n – 1) • = 5 · 4 · 3 · 2 · f(1) • = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 • = 120

Voorbeeldopgaven wiskunde D • Gegeven is de recursieve formule met u 0 = 150. • Bereken de zesde en de zevende term van de rij. Rond af op één decimaal. • Vanaf de hoeveelste term is • Hoeveel termen zijn kleiner dan 399?

Voorbeeldopgaven wiskunde D • • • In de figuur hiernaast is het ontstaan van de sneeuwvlokkromme uitgebeeld. In deze opgave toon je aan dat deze kromme oneindig lang is en dat de oppervlakte van het gebied dat door de kromme wordt omsloten een grenswaarde heeft. We gaan uit van een gelijkzijdige driehoek met zijde 12, de initiator. Elk van de zijden wordt in drie gelijke stukken verdeeld, op het middelste stuk wordt een gelijkzijdige driehoek geplaatst en vervolgens wordt dit middelste stuk weggelaten. Zo ontstaat de tweede figuur. Dit proces wordt herhaald en zo ontstaat de derde figuur, enzovoort. Ga je oneindig lang door, dan ontstaat de sneeuwvlokkromme van Koch. Bereken de omtrekken van de eerste, tweede, derde, vierde en vijfde figuur. De omtrekken van de figuren die zo ontstaan vormen een rij. Stel de recursieve en de directe formule op van deze rij en licht toe dat de rij divergent is. De oppervlakte van het gebied dat wordt omsloten door de ne figuur, is te berekenen met de somformule voor een meetkundige rij. Laat zien dat de oppervlakte die bij n = 1 hoort gelijk is aan en bereken de grenswaarde van de oppervlakte als n nadert naar oneindig.

Voorbeeldopgaven wiskunde D • Gegeven is de functie f(x) = 3 x. De grafiek van g ontstaat uit die van f bij de vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met ½. • Geef de formule van g. • De grafiek van h ontstaat uit die van f bij de translatie (2, 3). Geef de formule van h in de vorm. • Welke vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as levert bij de grafiek van f dezelfde beeldfiguur op als de translatie (-½, 0)? • De grafiek van k ontstaat uit die van f bij de vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met ¼. Geef de formule van k in de vorm k(x) = gx.

Studiebelasting wiskunde D • Leerjaar 4: – 2 lesuren per week (100 minuten) – 2 klokuren huiswerk per week (120 minuten) • Leerjaar 5: – 3 lesuren per week (150 minuten) – 1 klokuur per week (60 minuten) • Leerjaar 6: – 2 lesuren per week (120 minuten) – 2 klokuur per week (120 minuten) • Géén centraal schriftelijk examen.

Samengevat • • • Je kunt zeggen dat er een opbouw is in moeilijkheidsgraad in de volgorde C - A – B – D. Dus wiskunde C is het makkelijkst en wiskunde D het moeilijkst. Natuurlijk vindt niet iedereen bepaald wiskundeonderwerp even makkelijk of moeilijk, dus het is beter naar de inhoud van de verschillende soorten wiskunde te kijken. Wiskunde A: Statistiek en Kansrekening Vervolg op formules en grafieken Wiskunde B: Vervolg op formules en grafieken op een hoger niveau Goniometrie Meetkunde Wiskunde C: Zie wiskunde A, maar alles komt op een iets eenvoudigere en beperktere manier aan bod Wiskunde D: Verbreding en verdieping van de onderwerpen bij wiskunde B Voortgezette statistiek & kansrekening Wiskunde in technologie Keuzeonderwerpen Tot slot is het handig om te weten welke wiskunde vereist wordt bij een vervolgstudie na het HAVO. Je kan daarvoor de volgende grove verdeling maken: economische en medische wetenschappen : wiskunde A natuur en techniek : wiskunde B Wiskunde D is een goede voorbereiding op een exacte vervolgopleiding.

Profielen • C&M: profielvak wiskunde C keuzevak wiskunde A (C vervalt dan) • E&M: profielvak wiskunde A of B (niet nodig en niet wenselijk) • N&G: profielvak wiskunde A of B in combinatie met natuurkunde • N&T : profielvak wiskunde B keuzevak wiskunde D • VRAGEN?