Wiederholung Formale Potenzreihen n Erzeugende Funktion Ax n

Wiederholung Formale Potenzreihen n Erzeugende Funktion A(x) : = n ¸ 0 an xn n Arithmetik auf Potenzreihen q q n n Addition/Subtraktion Multiplikation/Inverse Shifts, Ableiten, etc. Geschlossene Form für geometrische Reihe Polyas Geldwechsel-Problem Strategie zum Lösen von Rekursionsgleichungen 29. 01. 2008 1

Lösen von Rekursionen Rekursion: an = an-1 + 1 für n¸ 1 und a 0=1. Koeffizientenvergleich: an = n+1 für alle n ¸ 0. 29. 01. 2008 2

Allgemeine Strategie 1. 2. 3. 4. 5. n 6. Aufstellen der erzeugenden Fkt. A(x)= n ¸ 0 anxn Einsetzen von Anfangswerten und Rekursionsgleichung. Stelle an durch A(x) dar. Auflösen nach A(x) liefert geschlossene Form A(x)=f(x). Formulierung von f(x) als formale Potenzreihe Hilfsmittel: Partialbruchzerlegung Koeffizientenvergleich: Ablesen von geschlossener Form für an 29. 01. 2008 3

Ableiten von G(x) n Geometrische Reihe G(x) = n ¸ 0 xn = n Ableiten liefert n Erneutes Ableiten: n k-maliges Ableiten: n D. h. 29. 01. 2008 4

Partialbruchzerlegung Satz: Seien f, g 2 R[x] mit q grad(g) < grad(f) q f(x) = (1 -a 1 x)k 1 ¢ … ¢ (1 -arx)kr. Dann gibt es gi(x) mit grad(gi)<ki und n Multiplikation mit f(x): n grad(gi) < ki, d. h. jeder Summand hat Grad kleiner als grad(f). Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich: q ki unbekannte Koeffizienten von gi: i ki = grad(f) Unbekannte q grad(f) Koeffizienten: grad(f) viele Gleichungen n 29. 01. 2008 5

Bsp. Partialbruchzerlegung n g(x)=x, f(x) = (x^2 -1). Liefert Ansatz 29. 01. 2008 6

Darstellung von f(x) n n n Sei f(x) = f 0 + f 1 x + fn xn Ziel: Schreibe f(x) = (1 -a 1 x)k 1*…*(1 -arx)kr Definieren reflektiertes Polynom q f. R(x) = fn + fn-1 x + … + f 0 xn Man beachte: q f. R(x) = xn * f. R(1/x) Wichtiger Spezialfall: f. R zerfalle in Linearfaktoren: q f. R(x) = (x-a 1)*…*(x-an) ) f(x) = xn*f. R(1/x) = x(1/x-a 1)*…*x(1/x-an) = (1 -a 1 x)*…*(1 -anx) 29. 01. 2008 7

Partialbruchzerlegung n n g(x) = x, f(x) = 1 -x-x 2 f. R(x) = x 2 -x-1 hat die beiden Nullstellen D. h. f(x) = (1 - Áx)(1 - Á‘x). Kettenbruchansatz: 29. 01. 2008 8

Zurück zu den Rekursionsgleichungen Fibonacci-Zahlen: Fn = Fn-1 + Fn-2, n¸ 2, F 1=1, F 0=0 1. Erzeugende Funktion: 2. Rekursionsgleichung: 3. 29. 01. 2008 Darstellung der Summen durch F(x): 9

Geschlossene Form für Fn 4. Auflösen nach F(x): 5. Ersetzen durch formale Potenzreihe 4. Koeffizientenvergleich Fn=[xn] F(x): 29. 01. 2008 10

Anzahl Klammerungen n n Klammerung k der Länge m: k=k 1…km 2 { (, ) }m Klammerung legal: q #öffnende Klammern in k 1…ki ¸ #schließende Klammern in k 1…ki q Für k gilt: #öffnende Klammern = #schließende Klammern n Cn = # legale Klammerungen mit n öffnenden Klammern q C 0 = 1: leeres Wort ² q C 1 = 1: () q C 2 = 2: ()(), (()) q C 3 = 5 n Anwendung (Vorlesung 22): q #vollständig geklammerte Matrixprodukte mit n Matrizen = Cn-1 29. 01. 2008 11

Rekursive Definition von Cn Lemma: Für alle n ¸ 1 gilt Cn = k=1 n Ck-1 Cn-k Ak: = Menge der legalen Klammerungen mit Erste Klammer wird an Position 2 k geschlossen ( ) A B q q q 29. 01. 2008 A ist legale Klammerung mit k-1 öffnenden Klammern B ist legale Klammerung mit n-k öffnenden Klammern 12

Auflösen der Rekursionsgleichung 29. 01. 2008 13

Geschlossene Form für Cn 29. 01. 2008 14