Wichtige Transformationen Referentin Yvonne Schindler Seminar Multimediadatenformate Wichtige

Wichtige Transformationen Referentin: Yvonne Schindler Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 1

Wichtige Transformationen • FFT – Fast Fourier Transformation • DCT – Diskrete Cosinus Transformation • Wavelets Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 2

Transformationen sollen gegeben Daten so umwandeln, dass 1. eine Bearbeitung weniger aufwendig ist, 2. eine eindeutige Wiederherstellung durch Rücktransformation möglich ist Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 3

Transformationen Transformation und Rücktransformation sind aufwendig Aber: Berechnungen im transformierten Raum sind meist wesentlich einfacher Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 4

Transformationsbeispiel Lösen der Gleichung X=Y / Z ohne Taschenrechner X=Y/Z Transformation log(X) = log (Y) – log (Z) Hoher Aufwand Geringer Aufwand Durch Division Lösung Durch Subtraktion Rücktransformation Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen Lösung 5

Transformation Durch Rechnergenauigkeit kommt es aber doch schon bei der Transformation zu Datenreduktion. Bsp. : Die Zahl Pi 3, 141595265359. . . wird vom Rechner auch nur gerundet genutzt Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 6

Fouriertransformation 1822 Jean-Baptiste-Joseph Fourier: , , Die analytische Theorie der Wärme`` Man kann Funktionen durch die Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen darstellen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 7

1 -dim. Fouriertransformation n Daten Fouriermatrix C Normierungsfaktor Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen R 8

n-te Einheitswurzel xn hat in C n Lösungen Bsp. : x 8 hat 8 Lösungen Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 9

Fouriermatrix Def. : Sei n N und n n-te Einheitswurzel in C. Die nxn-Matrix F mit Fk, l= nk*l für alle k, l {0, . . . , n-1}, heißt Fouriermatrix. Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 10

1 -dim. Fouriertransformation n Daten Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 11

Inverse Fouriermatrix Für eine Rücktransformation braucht man eine inverse Fouriermatrix F ist unitär => F-1 = Ft transponiert konjugiert für alle k, l {0, . . . , n-1} Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 12

Beweis für inverse Fouriermatrix 1 k=l =>1 k l => c=(k-l) Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 13

Beweis für inverse Fouriermatrix 2 geometrische Reihe Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 14

Beweis für inverse Fouriermatrix 3 => Ft = F-1 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 15

2 -dim. Fouriertransformation Inverse: Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 16

Fast Fouriertransformation Idee: Einzelne Berechnungen der Matrix-Vektor. Multiplikation in bestimmter Reihenfolge ausführen und schon berechnete Zwischenwerte benutzen n muss dafür eine 2 er-Potenz sein Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 17

Anwendungsbeispiel Fouriertransformation Bearbeitung Inverse Fouriertransformation Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 18

Diskrete Cosinus Transformation DCT wird bei JPEG und MPEG benutzt Bei JPEG wird die DCT auf 8*8=64 Pixel angewandt Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 19

DCT - Idee Gerade Funktion, d. h. f(x) = f(-x) Fouriertransformation anwenden: Dabei wird der imaginäre Anteil 0 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 20

DCT – Herleitung 1 Gerade Funktion durch Verdoppelung der Werte 2 n f(-n+1), f(-n+2), . . . f(-1), f(0), f(1), . . . , f(n) n+1 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 21

DCT – Herleitung 2 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 22

DCT – Herleitung 3 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 23

DCT – Herleitung 4 Fertig!!! Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 24

Wavelets Funktionen können auch durch die Summe von anderen Funktionen (Basisfunktionen) dargestellt werden. Die Transformation geht schrittweise voran Wavelets werden z. B. bei JPEG 2000 benutzt und beim FBI um Fingerabdrücke zu speichern Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 25

Basisfunktion Als Basisfunktion kann jede orthogonale Funktion genommen werden, für die gilt: Daher auch die Bezeichnung Wavelet engl. Wave = Welle Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 26

Haar-Wavelet Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 27

Weitere Wavelet - Beispiele Daubechies 6 Daubechies 8 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 28

Grundprinzip Berechnung des Mittelwertes und der Differenz -Tiefpass und Hochpassanteile werden gespeichert. - Der Tiefpassanteil wird weiter analysiert. - durch immer kleiner werdender Hochpassanteile und einen einzigen Tiefpassanteil gekennzeichnet Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 29

Beispiel 13 13 5 5 9 13 17 21 13 11 19 0 0 -2 -2 5 9 15 4 -4 0 0 -2 -2 12 -3 4 -4 0 0 -2 -2 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 30

Grundprinzip Grafik 1 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 31

Grundprinzip Grafik 2 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 32

Vergleich DCT - Wavelet Original Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 33

Vergleich Kompression 1: 25 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 34

Vergleich Kompression 1: 50 Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 35

Quellen & weiterführende Literatur • E-Kreide-Vorlesungen - FFT, DCT, Wavelets • Internet – Studien- und Diplomarbeiten • Elbert Oran Brigham (1995) Schnelle Fourier Transformation • Josef Hoffmann (1991) Bildkompression mit DCT und anderen Transformationen • Daubechies I. (1992) Ten Lectures on Wavelets Seminar Multimediadatenformate: Wichtige Transformationen 36