Welche Arten von Mathematik braucht eine Versichern und

Welche Arten von Mathematik braucht eine Versichern und Bausparen Versicherung? Karl - Josef Maiwald Copyright by Debeka VVa. G 22. März 2010: ILF-Fortbildung bei der Debeka 1

Versichern und Bausparen Themen l Womit beschäftigt sich eine Versicherung? l Welche Arten von Mathematik werden dazu benötigt? Copyright by Debeka VVa. G 2

Versichern und Bausparen Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Risiko: Vorzeitiger Tod Gefahr: Der „Ernährer“ der Familie fällt aus Schutz durch Lebensversicherung Risiko: Langlebigkeit Gefahr: Altersarmut Schutz durch Rentenversicherung Copyright by Debeka VVa. G 3

Versichern und Bausparen Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Risiko: Invalidität und Berufsunfähigkeit Gefahr: Einkommensausfall Schutz durch Berufsunfähigkeitsversicherung Risiko: Krankheit Gefahr: Krankheitskosten nicht bezahlen zu können Schutz durch Krankenversicherung Copyright by Debeka VVa. G 4

Versichern und Bausparen Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Risiko: Pflegefall Gefahr: Pflegekosten nicht bezahlen zu können Schutz durch Pflegeversicherung Risiko: Autounfall Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können Schutz durch KFZ-Haftpflichtversicherung Copyright by Debeka VVa. G 5

Versichern und Bausparen Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Risiko: Schadenersatzansprüche gegenüber Dritten Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können Schutz durch Haftpflichtversicherung Risiko: Feuer, Wasser, Sturm, Erdbeben, Hochwasser, Hagel. . . Gefahr: Schäden nicht bezahlen zu können Schutz durch Wohngebäudeversicherung bzw. Elementarversicherung Copyright by Debeka VVa. G 6

Versichern und Bausparen Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Die Absicherung der wirtschaftlichen Folgen von Risiken ist das Betätigungsfeld einer Versicherung Aufgabe einer Versicherung: l Bedarfsgerechte Produkte zur Absicherung der Risiken schaffen. l Preise festlegen. Copyright by Debeka VVa. G 7

Versichern und Bausparen Womit beschäftigt sich eine Versicherung? Um einen Preis für eine Versicherung festsetzen zu können, müssen die Risiken messbar gemacht werden. l Wie kann man Risiken messen? Antwort: mit Mathematik! Copyright by Debeka VVa. G 8

Versichern und Bausparen Wie kann man Risiken messen? l Für biometrische Risiken benötigt man deren Eintrittswahrscheinlichkeit. l Für Kosten-, Schaden- und Haftungsrisiken benötigt man zusätzlich deren Schadenhöhen und Verteilung. ! Es können nur Risiken versichert werden, die noch nicht eingetreten sind. „Brennende Häuser kann man nicht mehr versichern“. l Die Messbarkeit der Eintritte von Risiken und deren Schadenhöhen erfolgt mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik. l Es steckt somit viel Stochastik in einer Versicherung. Copyright by Debeka VVa. G 9

Versichern und Bausparen 1. Beispiel: Risikomessung in der Lebensversicherung Ein 45 -jähriger Mann möchte einjährige Lebensversicherung über 10. 000 Euro abschließen. Risikomessung: Bestimmung der Sterbewahrscheinlichkeit. 1) 2) Das Verfahren liefert für jedes Alter die Sterbetafel. Ergebnis: q 45 = 0, 3 % Copyright by Debeka VVa. G 10

Versichern und Bausparen Prämienbestimmung: E(VS) = Erwartete Versicherungsleistung = Eintrittswahrscheinlichkeit für Todesfall x Schadenhöhe (Versicherungssumme) = q 45 x VS = 0, 003 x 10. 000 = 30 EUR Copyright by Debeka VVa. G 11

Versichern und Bausparen Versicherung kann nur funktionieren, wenn viele Personen eine solche Versicherung abschließen. Es wird eine große Gefahrengemeinschaft benötigt. Beispiel: Einnahmen 1000 45 -jährige Männer: 1. 000 x 30 = 30. 000 EUR Ausgaben 3 Personen sterben: 3 x 10. 000 EUR = 30. 000 EUR Copyright by Debeka VVa. G 12

Versichern und Bausparen 2. Beispiel: Risikomessung in der Krankenversicherung: l Eintrittswahrscheinlichkeit für Krankheit l Höhe der Schäden bzw. Schadenhöhenverteilungen Bei einer Krankenversicherung liegt ein besonderes Schutzbedürfnis der Versicherten vor. Für die Risikomessung und Prämienberechnung sind gesetzliche Rahmenbedingungen zu berücksichtigen. Copyright by Debeka VVa. G 13

Versichern und Bausparen Gesetzliche Rahmenbedingungen für die Beitragskalkulation Für die Beitragskalkulation in der substitutiven Krankenversicherung gilt: § 12 Abs. 1 Nr. 1 VAG Die Prämien sind auf versicherungsmathematischer Grundlage. . . zu berechnen. l Wahrscheinlichkeitstafeln l statistische Daten zur Krankheitsgefahr l Sterblichkeit l Stornowahrscheinlichkeit l. . . Copyright by Debeka VVa. G 14

Versichern und Bausparen Gesetzliche Rahmenbedingungen für die Beitragskalkulation § 12 Abs 1 Nr. 2 VAG: Es ist eine Alterungsrückstellung nach § 341 f HGB zu bilden. § 12 Abs 1 Nr. 3 VAG: Der Versicherer verzichtet auf das ordentliche Kündigungsrecht. § 12 c VAG Kalkulationsverordnung Copyright by Debeka VVa. G 15

Versichern und Bausparen Kalkulationsgrundsätze 1. Dauernde Erfüllbarkeit Der Beitrag muss so kalkuliert sein, dass der Versicherungsvertrag dauernd, d. h. lebenslang, erfüllbar ist. PKV: Dauerhaft deshalb, weil eine Kündigung durch den Versicherer ausgeschlossen ist. Copyright by Debeka VVa. G 16

Versichern und Bausparen Kalkulationsgrundsätze 2. Äquivalenzprinzip Die erwarteten Leistungen müssen genau durch die erwarteten Beitragseinnahmen gedeckt werden. künftige Leistungen künftige Beiträge (Leistungsbarwert) (Prämienbarwert) Das heißt: kein Gewinnzuschlag! Copyright by Debeka VVa. G 17

Versichern und Bausparen Kalkulationsgrundsätze 3. Risikogerechter / Risikoadäquater Beitrag 14. 000 EUR 12. 000 10. 000 8. 000 6. 000 4. 000 2. 000 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 Alter 70 75 80 85 90 95 100 105 Keine Bemessung der Prämie nach dem Einkommen wie in der GKV. Das Krankheitsrisiko ist unabhängig vom Einkommen. Copyright by Debeka VVa. G 18

Versichern und Bausparen Kalkulationsgrundsätze 4. Beitrag vom Eintrittsalter abhängig Der Beitrag darf wegen Älterwerdens der versicherten Person nicht erhöht werden 14. 000 EUR 12. 000 10. 000 8. 000 6. 000 4. 000 2. 000 0 20 25 30 35 40 Copyright by Debeka VVa. G 45 50 55 60 65 Alter 70 75 80 85 90 95 100 105 19

Versichern und Bausparen Risikomessung: Krankheit 1 Person je Alter Copyright by Debeka VVa. G 20

Versichern und Bausparen Risikomessung: Krankheit 10 Personen je Alter Copyright by Debeka VVa. G 21

Versichern und Bausparen Risikomessung: Krankheit 50 Personen je Alter Copyright by Debeka VVa. G 22

Versichern und Bausparen Risikomessung: Krankheit 100 Personen je Alter Copyright by Debeka VVa. G 23

Versichern und Bausparen Risikomessung: Krankheit 250 Personen je Alter Copyright by Debeka VVa. G 24

Versichern und Bausparen Risikomessung: Krankheit 500 Personen je Alter Copyright by Debeka VVa. G 25

Versichern und Bausparen Risikomessung: Krankheit 1000 Personen je Alter Copyright by Debeka VVa. G 26

Versichern und Bausparen Risikomessung: Krankheit Copyright by Debeka VVa. G 27

Versichern und Bausparen Risikomessung: Arzneien und Verbandmittel 2. 000, 00 1. 800, 00 1. 600, 00 1. 400, 00 EUR 1. 200, 00 1. 000, 00 800, 00 Frauen 600, 00 Männer 400, 00 200, 00 0 16 21 Copyright by Debeka VVa. G 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 Alter 28

Versichern und Bausparen Risikomessung: ambulant 6. 000, 00 5. 000, 00 EUR 4. 000, 00 3. 000, 00 Frauen Männer 2. 000, 00 1. 000, 00 0 16 21 26 Copyright by Debeka VVa. G 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 Alter 29

Versichern und Bausparen Risikomessung: Krankenhaus 5. 000, 00 4. 500, 00 4. 000, 00 Männer 3. 500, 00 3. 000, 00 2. 500, 00 Frauen 2. 000, 00 1. 500, 00 1. 000, 00 500, 00 0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 Alter Copyright by Debeka VVa. G 30

Versichern und Bausparen Risikomessung: Zahnbehandlung 300, 00 Frauen 250, 00 200, 00 Männer 150, 00 100, 00 50, 00 0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 Alter Copyright by Debeka VVa. G 31

Versichern und Bausparen und Risikomessung: Kieferorthopädie / Zahnersatz 450, 00 400, 00 350, 00 Frauen 300, 00 250, 00 Männer 200, 00 150, 00 100, 00 50, 00 0 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 Alter Copyright by Debeka VVa. G 32

Versichern und Bausparen Risikomessung: Krankheit l Wie werden die Wahrscheinlichkeiten mpx und die Erwartungswerte Kx+m bestimmt? l Ableitung aus Beobachtungen an eigenen Versichertenbeständen oder - falls nötig - aus branchenweiten Sammelstatistiken mit Hilfe von Methoden der Statistik. l Insbesondere werden Verfahren der Schätztheorie, Testtheorie und (nicht-parametrischen) Regression eingesetzt. Copyright by Debeka VVa. G 33

Versichern und Bausparen Datengewinnung l Anzahl der Rechnungen jährlich: l Für 4 Jahre: 100 Millionen l Versicherte Personen: Copyright by Debeka VVa. G 25 Millionen 4 Millionen 34

Versichern und Bausparen 3. Beispiel: Das Versicherungsunternehmen als Risiko Der Gesetzgeber verlangt von den Versicherungsunternehmen, dass sie zur Sicherstellung der dauernden Erfüllbarkeit der Verträge Eigenmittel bilden, um mögliche Verluste abdecken zu können. Eigenmittel Copyright by Debeka VVa. G Verluste 35

Versichern und Bausparen Die Risiken eines Versicherungsunternehmens Kapitalanlagerisiko Kalkulationsrisiko operationales Risiko Copyright by Debeka VVa. G Kursänderungen von Aktien, Zinsen sinken Ausfall von Krediten Konzentrationsrisiko Versicherungsleistungen Verbleibewahrscheinlichkeiten Kosten Verluste durch Menschen (Fehlverhalten, Betrug) IT-Systeme (Zusammenbruch) externe Ereignisse (Gesetzgebung) 36

Versichern und Bausparen Verteilungsfunktion l Das VU benötigt Kenntnisse über die Eintrittswahrscheinlichkeit und die Ausprägung der Risiken. Es muss die Verteilung der Zufallsvariablen kennen, die Ereignisse beschreiben. l Eine der bekanntesten Verteilungsfunktionen ist die Normaloder Gaußverteilung. Copyright by Debeka VVa. G 37

Versichern und Bausparen Normalverteilung Copyright by Debeka VVa. G 38

Versichern und Bausparen Beispiel Ein VU möchte 15. 000 € am 01. 07. 2008 in Aktien investieren. Das VU benötigt 15. 000 € am 31. 12. 2008 zur Erfüllung einer Versicherungsleistung. Wie viel Kapital muss das VU neben dem Aktieninvestment sicher anlegen, um auch bei einem Rückgang des Aktienkurses seine Leistung mit 90 %-iger Sicherheit erfüllen zu können ? Copyright by Debeka VVa. G 39

Versichern und Bausparen Verteilungsfunktion Annahme: Die Entwicklung des Aktienkurses ist normalverteilt, Erwartungswert der Aktien (31. 12. 2008): 15. 000 € Verlust (50 %) Copyright by Debeka VVa. G Gewinn (50 %) 40

Versichern und Bausparen Ziel: Die Gefahr für einen Verlust soll von 50% auf 10% reduziert werden. Das Risikomaß Value at Risk zum 10%-Niveau ist der größte Wert, den die Zufallsvariable mit höchstens 10%-iger Wahrscheinlichkeit unterschreitet. Va. R(10%) = 11. 155 €: Mit nur 10%-iger Wahrscheinlichkeit fällt der Wert der Aktien unter 11. 155 €. Mit dem Va. R kann die Verlustrücklage bestimmt werden, die das VU bilden muss, damit es nach einem Rückgang des Aktienkurses mit höchstens 10%-iger Wahrscheinlichkeit die Leistung nicht erfüllen kann. Verlustrücklage = 15. 000 € - 11. 155 € = 3. 845 €. Copyright by Debeka VVa. G 41

Versichern und Bausparen Annahme: Die Entwicklung des Aktienkurses ist normalverteilt, Verteilungsfunktion Erwartungswert der Aktien: 15. 000 € Gewinn (50 %) Verlustrücklage Verlust (10 %) Copyright by Debeka VVa. G (3. 845 €) 42

Versichern und Bausparen Modellvorgabe: Va. R mit 0, 5%-Niveau Ein VU muss so viel Sicherheitskapital besitzen, dass es höchstens mit 0, 5%-iger Wahrscheinlichkeit einen Verlust erleidet bzw. mit 99, 5%-iger Wahrscheinlichkeit keinen Verlust erleidet. Copyright by Debeka VVa. G 43

Versichern und Bausparen Welche Arten von Mathematik braucht eine Versicherung? Numerik lineare Algebra Wahrscheinlichkeitstheorie Risikotheorie Analysis Statistik Je mehr Mathe, desto besser! Copyright by Debeka VVa. G 44

Versichern und Bausparen Vielen Dank für die Aufmerksamkeit