WegZeit Funktion Anwendung der Differenzialrechnung Laura Katzensteiner Definition

Weg-Zeit Funktion Anwendung der Differenzialrechnung Laura Katzensteiner

Definition • Man geht davon aus, dass die Geschwindigkeit v konstant bleibt. Wenn man diese mit der Zeit t multipliziert so ergibt dies den Weg s. • Das Zeit-Weg-Gesetz besagt also s = v*t

Variablen • v = Geschwindigkeit in m/s • s = Weg in m • t = Zeit in s • a = Beschleunigung in m/s² • g = Gravitation (ca. 10 m/s²)

Formeln • Freier Fall: • • • s: t -> g/2*t 2 oder s(t)= g/2*t² 10 für g substituieren s(t) = 5*t 2 • Geschwindigkeit • v(t) = s‘(t) • Beschleunigung • A = s‘‘(t)

Beispiel Football

Angabe • Ein Football wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 7 m/s geworfen. ( v 0=7 m/s) a) Wie ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der 0, 6. Sekunde? b) Wie ist die Geschwindigkeit bei t = 0, 3 s? c) Zu welcher Zeit t erreicht der Ball den höchsten Punkt? d) Wann landet der Ball wieder auf dem Boden?

Lösung • Formel für den Weg (mit Beachtung des Freien Falls): s(t)=v o*t-5*t 2 a) Wie ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der 0, 6. Sekunde, d. h. im Intervall [0; 0, 6]? Tipp: Eine Tabelle macht es anschaulicher -> Differenzenquotient: ∆s/∆t t s(t) 0 0, 6 0 ? (2, 4 -0)/(0, 6 -0)= 4 m/s Antwort: Die mittlere Geschwindigkeit während der 0, 6. Sekunde beträgt 4 m/s. Geschwindigkeit zu t=0, 6 s: 7*0, 6 -5*0, 62 = 4, 2 – 1, 8 = 2, 4 m/s

Lösung b) Wie ist die Geschwindigkeit bei t=0, 3 s? s(t)= 7 t-5 t² s‘(t) = 7 - 10*t s‘(0, 3) = 7 – 10*0, 3 s‘(0, 3) = 4 m/s Antwort: Der Ball hat in der 0, 3. Sekunde eine Geschwindigkeit von 4 m/s.

Lösung c) Zu welcher Zeit t erreicht der Ball den höchsten Punkt? -> Beachte: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit 0 Also: Extremwert s‘(t) = 0 0 = 7 – 10*t 10 t = 7 t = 0, 7 s s Antwort: Nach 0, 7 Sekunden erreicht der Football den höchsten Punkt.

Lösung d) Wann landet der Ball wieder auf dem Boden? -> Nullstellen s(t) = 0 0 = 7*t – 5*t 2 0 = t(7 -5 t) 0 = 7 -5 t 5 t = 7 t = 1, 4 s ( n 1= 0 ) n 2= 1, 4 Antwort: Der Ball landet nach 1, 4 Sekunden wieder auf dem Boden.