WARUNKI REALIZACJI STANU D LUB STANU P W

WARUNKI REALIZACJI STANU D LUB STANU P W MODELU t-J NADPRZEWODNIKA WT Ryszard Gonczarek Mateusz Krzyżosiak Politechnika Wrocławska Instytut Fizyki

Mechanizm konkurencji MODEL 2 D NWT: - stan singletowy stan tripletowy - d-sparowanie (S=0, M=0), p-sparowanie (S=1, M=0) - relacja dyspersji (k) – model t-J – model ciasnego wiązania z parametrami przeskoku t 0, t 1 i = 2 t 1/ t 0 od 0 do 1. 62 - transformacje krzywoliniowe przestrzeni odwrotnej (transformacja konforemna) - biegunowy układ współrzędnych - przestrzeń 2 D [ , ] - oddziaływanie parujące – izotropowe (on-site) i anizotropowe z najbliższymi sąsiadami - funkcje bazowe reprezentacji nieprzywiedlnych grupy C 4 v – harmoniki Fouriera - oddziaływanie parujące w bazie harmonik Fouriera – parametry zależą od = 2 t 1/ t 0 - konkurencja wpływu na Tc – parametry oddziaływania parującego, relacja dyspersji

Mechanizm konkurencji - Grupa symetrii kwadratu C 4 v - oś 4 -krotna (r – obrót o /2), - 4 płaszczyzny symetrii – a, b, c, d, - grupa C 4 v = {e, r, r 2, r 3, a, b, c, d} – 8 elementów i 5 klas równoważności – {e}, {r 2} oraz {r, r 3}, {a, b}, {c, d} stąd 5 (=12+12+22) nieredukowalnych reprezentacji tj. 4 – jednowymiarowe, 1 dwuwymiarowa oraz 6 funkcji bazowych tworzy 4 jednowymiarowe podprzestrzenie {f 1}, {f 2}, {f 3}, {f 4} i 1 dwuwymiarową {f 5, f 6} – inwarianty grupy C 4 v.

Mechanizm konkurencji - Własności funkcji bazowych fi - A. B. C. D. Es g f 1 = f 1 g f 2 = f 2 g f 3 = f 3 g f 4 = f 4 dla g {e, r, r 2, r 3, a, b, c, d}, gdy g {e, r 2, a, b}, g f 2 = -f 2 gdy g {r, r 3, c, d}, gdy g {e, r 2, c, d}, g f 3 = -f 3 gdy g {r, r 3, a, b}, gdy g {e, r, r 2, r 3}, g f 4= -f 4 gdy g {a, b, c, d}, g f 5 = f 5 gdy g {e, a}, g f 5 = -(-1)sf 6 gdy g {r, d}, g f 5= -f 5 gdy g {r 2, b}, g f 5= (-1)sf 5 gdy g {r 3, c}, g f 6 = f 6 gdy g {e, b}, g f 6 = -(-1)sf 5 gdy g {r 3, d}, g f 6= -f 6 gdy g {r 2, a}, g f 6= (-1)sf 5 gdy g {r, c}, oraz gdzie s= 1 lub 2.

Mechanizm konkurencji - Własności składowych wektora k = [k 1, k 2] g k 1 = k 1 gdy g {e, a}, g k 1 = k 2 gdy g {r, d}, g k 1 = - k 1 gdy g {r 2, b}, g k 1 = -k 2 gdy g {r 3, c}, g k 2 = k 2 gdy g {e, b}, g k 2 = k 1 gdy g {r 3, d}, ponieważ g fi (k ) = fi (g k ) stąd g k 2 = - k 2 gdy g {r 2, a}, g k 2 = - k 1 gdy g {r, c}, oraz

Mechanizm konkurencji - Funkcje bazowe w przestrzeni wektora k = [k 1, k 2] dla nieredukow. reprezent. A. B. C. D. E. ale dla g C 4 v g (cos k 1 + cos k 2) = cos k 1 + cos k 2 lub g cos k 1 cos k 2 = cos k 1 cos k 2, g (1 cos k 1 cos k 2)-1= (1 cos k 1 cos k 2)-1 więc

Mechanizm konkurencji - Funkcje bazowe w k = [k 1, k 2] c. d. R. Gonczarek, M. Gładysiewicz M. Mulak, phys. stat. sol. (b) 233 (2002) 351 A. B. C. D. E. (1 - cos k. Xcos k. Y)-1

Mechanizm konkurencji - Funkcje bazowe w k = [k 1, k 2] c. d. - WNIOSKI: - wybór zbioru funkcji bazowych niejednoznaczny, - przestrzeń zupełna funkcji dla funkcji bazowych dla repr. grupy C 4 v posiada nieskończoną bazę, - w zupełnej przestrzeni funkcji istnieje nieskończenie wiele zbiorów funkcji bazowych dla reprezentacji grupy C 4 v, - należy rozważyć wszystkie takie zbiory

Mechanizm konkurencji - Biegunowy układ współrzędnych [ , ] - własności współrzędnej kątowej - zupełny układ funkcji bazy – harmoniki Fouriera 1, cos n i sin n gdzie n = 1, 2, 3, … - wówczas

Mechanizm konkurencji

Mechanizm konkurencji

Mechanizm konkurencji Zbiór zupełny funkcji bazowych grupy C 4 v w bazie harmonik Fouriera A. B. C. D. E 1. E 2. f 1 = cos 4 i i = 0, 1, 2, 3, … f 2 = cos(2 + 4 i) i = 0, 1, 2, 3, … f 3 = sin(2 + 4 i) i = 0, 1, 2, 3, … f 4 = sin 4 i i = 1, 2, 3, … f 5 = cos(1 + 4 i) , f 6 = sin(1 + 4 i) i = 0, 1, 2, 3, … f 5 = cos(3 + 4 i) , f 6 = sin(3 + 4 i) i = 0, 1, 2, 3, …

Mechanizm konkurencji Funkcje bazowe grupy C 4 v w dla pierwszych harmonik Fouriera A. B. C. D. E 1. E 2. f 1 = 1 f 2 = cos 2 - sin 2 „d” f 3 = sin 2 = 2 sin cos f 4 = sin 4 f 5 = cos , f 6 = sin f 5 = cos 3 , f 6 = sin 3 sym. izotropowa „s” sym. x 2 – y 2 f 1’ = cos 4 sym. xy „d” „g” „p” „f” ale „g”

Mechanizm konkurencji Oddziaływanie w kanale parującym D. Y. Xing, M. Liu, Y-G, Wang, J. Dong, Phys. Rev. B 60 (1999) 9775 na węźle i z najbliższymi sąsiadami. Transformata Fouriera: V 0, V 1 amplitudy w kanale isotropowym i anisotropowym. Potencjał spinowo-singletowy

Mechanizm konkurencji Oddziaływanie w kanale parującym i relacja dyspersji Potencjał spinowo-tripletowy Relacja dyspersji – model ciasnego wiązania, 1 i 2 hopping WNIOSKI: - otrzymane formuły dają się wyrazić poprzez funkcje bazowe grupy C 4 v (przestrzeń wektora falowego) - bazy tych funkcji dla potencjału parującego i relacji dyspersji są różne!

Mechanizm konkurencji Rozwiązywanie zagadnienia dla nadprzewodnika WT Podstawa – formalizm funkcji Greena Równanie na szczelinę nadprzewodzącą: równanie dla potencjału chemicznego gdzie

Mechanizm konkurencji Metoda – transformacje przestrzeni pędów do przestrzeni [ , ] gdzie jądro K ( , ) – jakobian przejścia oraz gęstość stanów N( ) = K ( , ) SKŁADANIE TRANSFORMACJI: I. kx = arccos(1 – 2 x) ky = arccos(1 – 2 y)

Mechanizm konkurencji SKŁADANIE TRANSFORMACJI: II. Transformacja konforemna (uogólniona) relacja dyspersji: równanie transformacji: rozwiązanie: jakobian przejścia: gdzie

Mechanizm konkurencji SKŁADANIE TRANSFORMACJI: III. Przejście do współrzędnych biegunowych [ , ] gdzie oraz jakobian przejścia:

Mechanizm konkurencji SKŁADANIE TRANSFORMACJI - WYNIK: Jądro gęstości stanów: gdzie:

Mechanizm konkurencji Postać jądra gęstości stanów K (z, ) dla wybranych wartości parametru = 2 t 1/t 0 w układzie [ , z] (z=( - )/2 t 0) Wartości: = 0. 1, 0. 4, = 0. 7, 1. 0, = 1. 3, 1. 6

Mechanizm konkurencji Potencjał parujący w bazie harmonik Fouriera w układzie [ , ] Potencjał separowalny, czyste sparowanie: „s” – „d” – „g” – „p” –

Mechanizm konkurencji Potencjał parujący c. d. , efektywny potencjał parujący gdzie: 1 Efektywny potencjał parujący V 1 oraz < V 1 lub <<

Mechanizm konkurencji Współczynniki potencjału parującego l( , ) = 2 t 1/t 0 z=( - )/2 t 0 stany s ~ 0. 1 d ~ 0. 6 p ~ 0. 8 g ~ 0. 1

Mechanizm konkurencji Stan układu WNIOSKI: - V 1 >> V 0 >> V 1 stan izotropowy s stan anizotropowy d lub p (rysunki) - Współczynniki oddziaływania parującego: - Ul( ) = V 1 [ l ( )]2 - oraz unormowane współczynniki vl( , ) = l ( , ) / l ( ) wolnozmienne funkcje < vl( , ) > =1 vl( , ) 1 V 1 < 2, 9 e. V

Mechanizm konkurencji Parametr porządku – stan układu Parametr porządku: gdzie s p d g

Mechanizm konkurencji Współczynniki Ul( ), średnia gęstość stanów 0( ) i temperatura przejścia Tc 0(l, ) ~exp[-2/ 0( )Ul( )] -dominujący stan singletowy (S=0) -stan dominujący – tripletowy (S=1, M=0) -przybliżenie typu BCS d-wave p-wave vl( , ) 1 ½V 1 0(0) = 0. 43 (stany s i g) ½U 2(0) 0(0) = 0. 21

Mechanizm konkurencji Oszacowania: R. Gonczarek, M. Krzyzosiak, M. Mulak J. Phys. A: Math. Gen. 37 (2004 ) 4899 R. Gonczarek, M. Krzyzosiak, Physica C, Superconductivity & its appl. (2005 ) Temperatura krytyczna - ( = T/ t 0 , c = 0. 1 ) Liczba cząstek – potencjał chemiczny z = z 0 - ( )/2 t 0

Mechanizm konkurencji Oszacowania: Skok ciepła właściwego ciepło właściwe fazy normalnej

Mechanizm konkurencji Oszacowania c. d. : Efekt izotopowy: gdzie Wykładnik

Mechanizm konkurencji Własności funkcji I 2 n(z, l, ): ( z = /2 t 0 ) <K(z, , )> = (z, ) oraz < (z, )>z = 0( ) _ D( , l) = √ 2 cos(l ) oraz D( , 0) = 1 zatem (z, ) = I 0(z, ) 0( )

Mechanizm konkurencji Nierównoważność podejść w scenariuszu Van Hove’a i rozszerzonym scenariuszu Van Hove’a Przybliżenie - scenariusz Van Hove’a stąd formuły dla T c( l , ) i ( l , ) jednakowe i zachowują zależności jak w przybliżeniu typu BCS

Mechanizm konkurencji Temperatury krytyczne Tc(l, ) i stany realizowane w modelu t-J dla różnych ½V 1 0(0)= 0. 43 ½V 1 0(0. 255)= 0. 28 ½U 2(0) 0(0)= 0. 21 ½V 1 0(0. 255)= 0. 12 Stan d (singletowy) , gdy 0 < < 0. 255 dla > 0. 255 stan p (trypletowy) Tu maksymalne Tc dla = 0 Tc(2, 0) 50 K Tc(1, 0) 22 K Tc(2, 0) 13 K przybliżenie VHS Tc(2, 0. 255) = Tc(1, 0. 255) 2. 5 K ½V 1 0(1. 6)= 0. 14 ½V 1 0(1. 6)= 0. 046

Mechanizm konkurencji Maksymalne temperatury krytyczne Tc(l, 0) realizowane w modelu t-J dla różnych V 1 < 2. 87 e. V 0. 26 < ½V 1 0(0) 0. 81 0. 13 < ½U 2(0) 0(0) < 0. 41 Maksymalne Tc dla ½U 2(0) 0(0) = 0. 41 Tc(2, 0) 151 K Tc(1, 0) 90 K Tc(2, 0) 66 K przybliżenie VHS Tc(2, 0. 3) = Tc(1, 0. 3) < 1 K

Mechanizm konkurencji Efekt izotopowy (l, ) dla różnych ½V 1 0(0)= 0. 43 ½V 1 0(0. 255)= 0. 28 Stan d , gdy 0 < < 0. 255 dla > 0. 255 stan p (trypletowy) dla BCS Punkty charakterystyczne (2, 0) = 0. 23 (2, 0. 091) = 0. 345 (2, 0. 255) = 0. 338 (1, 0) = 0. 348 (1, 0. 255) 0. 5 = 0. 5

Mechanizm konkurencji Skok ciepła właściwego C(Tc(l, ))/ 1(l, )Tc(l, ) dla różnych ½V 1 0(0)= 0. 43 ½V 1 0(0. 255)= 0. 28 Stan d , gdy 0 < < 0. 255 dla > 0. 255 stan p (trypletowy) BCS – 9. 38 d – stan p – stan Rzędu 5. 3 ± 0. 1

Mechanizm konkurencji Postać współczynnika v( ) = 0( ), i( ), (zależy od )

Mechanizm konkurencji Podsumowanie: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Baza zupełna funkcji – harmoniki Fouriera Przestrzeń rozważań – układ biegunowy [ , ] z jądrem K ( , ) gęstości stanów (osobliwości typu VH) Oddziaływanie parujące (separowalne) opisane w bazie harmonik Fouriera – podwójny szereg Fouriera, różne współczynniki rozwinięcia Ul( ) Realizowany stan o najwyższej temperaturze przejścia – konkurencja pomiędzy współczynnikami rozwinięcia Ul( ) a osobliwościami jądra K ( , ) Stan anizotropowy, gdy dominuje oddziaływanie z najbliższymi sąsiadami; dla < 0. 255 stan d (singletowy), dla >0. 255 stan p (trypletowy) Scenariusz Van Hove’a tylko dla przypadków izotropowych Harmoniki rozwinięcia dla n > 4 pomijalne.