Warto bezwzgldna liczby M Definicja Warto bezwzgldna liczby

Wartość bezwzględna liczby ©M

Definicja Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej x jest to liczba |x| określona następująco |x| = ©M x dla x 0 -x dla x < 0

Wniosek Wartość bezwzględna liczby nieujemnej jest równa tej samej liczbie, a wartość bezwzględna liczby ujemnej jest liczbą do niej przeciwną. Przykłady: |5|=5 | | -7 | = 7 |0| =0 ©M + 1| = |11 |= +1 -

Własności wartości bezwzględnej 1. |-x| = |x| 2. |x - y| = |y - x| 6. |xy| = |x|·|y| 3. | x + y| |x| +|y| 7. ||x|-|y|| | x - y| ©M

Własności wykorzystywane w rozwiązywaniu równań i nierówności z wartością bezwzględną. 1. |x|= a x = -a x = a 2. |x|< a x > -a x < a 3. |x| > a x < - a x > a ©M

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej Wartość bezwzględna mierzy odległość liczby od zera przykład 1 |x|=5 (szukamy takich x, dla których odległość od 0 jest równa 5) 5 -5 5 0 czyli x= -5 lub x = 5 ©M 5 x

Przykład 2 |x|<7 (szukamy takich x, dla których odległość od 0 jest mniejsza od 7) 7 7 0 -7 Odp. x ( -7, 7 ) ©M 7 x

Przykład 3 |x| 4 (szukamy takich x, dla których odległość od 0 jest większa od 4) 4 -4 Odp. 4 0 4 x ( - , -4 4, ) ©M x

Odległość punktów odpowiadających na osi liczbom a i b wyraża się wzorem |a - b| Przykład : a= 3, b= -5 8 5 3 -5 0 | 3 – (- 5) | = 8 ©M 3 x

Przykład 4 |x-2|=6 (szukamy takich x, których odległość od 2 równa się 6 - jest to rozwiązanie graficzne) 6 6 -4 0 2 Odp. x = -4 lub x = 8 ©M 8 x

|x-2|=6 Rozwiązanie algebraiczne z wykorzystaniem własności wartości bezwzględnej |x -2|=6 x-2=6 x– 2=-6 x=8 ©M x= -4

Przykład 5 | x +2 | 9 (szukamy takich x, których odległość od -2 jest mniejsza bądź równa 9) 9 9 -2 -11 0 Odp. x -11, 7 ©M 7 x

| x +2 | 9 Rozwiązanie algebraiczne z wykorzystaniem własności wartości bezwzględnej | x + 2| 9 x + 2 - 9 x -11 czyli ©M x -11, 7 x+2 9 x 7

Przykład 6 |x-3|>7 (szukamy takich x, których odległość od 3 jest większa od 7) 7 7 0 -4 Odp. 3 x ( - , -4) (10, ) ©M 10 x

|x-3|>7 Rozwiązanie algebraiczne z wykorzystaniem własności wartości bezwzględnej |x-3|>7 x - 3 < -7 x - 3 > 7 x<-4 czyli x > 10 x ( - , -4) (10, ) ©M

Zaznacz na osi liczbowej punkty spełniające równania i nierówności oraz zapisz odpowiedź. 1. 2. 3. 4. 5. 6. | x | =6 |x| 8 | x | > 12 | x - 4 |=7 | x + 9| <4 | x - 2| 3 ©M

Odpowiedzi: 1. 2. 3. 4. 5. 6. x = 6 x = -6 x - 8, 8 x ( - , -12) ( 12, ) x = -3 x = 11 x (- 13, -5) x (- , -1 5, ) ©M