WAITING LINES AND QUEUEING THEORY MODELS Garis Tunggu

WAITING LINES AND QUEUEING THEORY MODELS (Garis Tunggu dan Model Antrian) LANJUTAN DONI STIADI

Struktur Sistem Antrian 1 2 Pelanggan masuk ke dalam sistem antrian 3 Garis tunggu atau antrian n Fasilitas pelayanan Sistem antrian Pelanggan keluar dari sistem

Karakteristik Sistem Antrian § Kedatangan (Arrivals), Populasi yang akan dilayani (calling population) ( § Antrian (Queuing/Actual waiting line) § Fasilitas Layanan (Service facilities)

Pola sistem kedatangan antrian § Konstan/teratur (Constant arrival distribution) § Acak (Arrival pattern randomly) Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu kedatangan per satuan waktu (rata-rata kedatangan) dan distribusi waktu antar kedatangan (rata-rata waktu kedatangan).

Kedatangan per satuan waktu § Kedatangan digambarkan dalam jumlah satu waktu, dan bila kedatangan terjadi secara acak, informasi yang penting adalah Probabilitas (x) kedatangan dalam periode waktu tertentu, dimana x = 0, 1, 2, 3, 4, 5…. . Jika kedatangan diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata yang konstan dan bebas satu sama lain Ahli matematika dan fisika, Simeon Poisson (1781 – 1840) menemukan suatu distribusi yang disebut distribusi probabilitas Poisson.

lanjutan Distribusi Poisson mengatakan bahwa banyaknya kedatangan per satuan waktu merupakan peubah acak (random variable) yang menyebar menurut sebaran tertentu (Poisson). Bila X = banyaknya kedatangan per satuan waktu, maka: dan Yang Mana: X : Banyaknya kedatang per satuan waktu λ : Rata-rata kedatangan per satuan waktu e : nilai konstanta logartima natural, yaitu 2, 71828 P(X=x) : Probabilitas x kedatangan

Waktu antar kedatangan Bila pada kedatangan per satuan waktu mengikuti Distribusi Poisson, pada waktu antar kedatangan terdistribusi sesuai dengan distribusi eksponensial Distribusi eksponensial menyatakan apabila t = waktu diantara dua kedatangan yang berurutan, t (juga sering disebut dengan interarrival time) maka sebaran eksponensial dengan parameter yang sama (seperti pada Poisson) maka:

lanjutan Dengan: Ket: g(t) T 1/ λ : Probabilitas waktu antar kedatangan yang berurutan : Satuan waktu tertentu : waktu rata-rata antar kedatangan Jadi dapat disimpulkan, jika banyaknya kedatangan per satuan waktu memiliki sebaran Poisson dengan rata-rata 10, maka waktu diantara dua kedatangan memiliki sebaran eksponensial dengan rata-rata 1/10. Sistem antrian seperti ini dikatakan memiliki input Poisson, dan pelanggan dikatakan datang mengikuti Proses Poisson

Notasi kendall untuk model antrian Notasi kendall terdiri tiga (3) simbol dasar yaitu: Arrival Service Time Number of Service Distribution Channels Open Simbol yang digunakan untuk proses kedatangan dan pelayanan adalah: M - Markov distributions (Poisson/exponential), D - Deterministic (constant) dan G - General distribution (dengan mean dan variansi). Contoh, M/M/k menunjukan suatu model antrian dengan kedatangan berdistribusi poisson, waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial dan terdapat k saluran pelayanan

Single channel, single server (M/M/1) § M pertama: rata-rata kedatangan yang mengikuti distribusi probabilitas Poisson § M kedua: tingkat pelayanan yang mengikuti distribusi probabilitas eksponensial § 1: jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem atau satu saluran

Asumsi M/M/1 § Populasi input tidak terbatas § Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti distribusi Poisson § Disiplin pelayanan mengikuti pedoman FCFS/FIFO § Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal § Distribusi pelayanan mengikuti distribusi eksponensial Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas § Tidak ada penolakan maupun pengingkaran

Merumuskan masalah antrian Notasi dalam sistem antrian n Pn λ μ Po U I L Lq W Wq 1/ μ 1/ λ S = Jumlah pelanggan dalam sistem = Probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistem = Rata-rata pelanggan yang datang per satuan waktu = Rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktu = Probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistem = Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (prob. pelayan sedang sibuk) = Prob. Pelayan tidak sibuk (idle time) = Rata-rata pelanggan yang diharapkan dalam sistem = Rata-rata pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian = Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem = Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian = Waktu rata-rata pelayanan = Waktu rata-rata antar kedatangan = Jumlah fasilitas pelayanan

Beberapa karakteristik dalam antrian Berdasarkan asumsi model M/M 1 diperoleh persamaan sebagai berikut: Peluang tidak ada pelanggan dalam sistem Peluang n pelanggan dalam sistem Rata-rata pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian

lanjutan Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalam sistem Waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama menunggu dalam antrian Tingkat intensitas fasilitas pelayanan (prob. pelayan sedang sibuk) I = 1 -U Prob. Pelayan tidak sibuk (idle time)

Ilustrasi Aplikasi model A. UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu 20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan adalah M/M/1, hitunglah: 1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan 2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem 3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian 4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggu pelayanan) 5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian

Jawaban Soal Diketahui: λ = 20, μ = 25 Ditanyakan: 1). U? , 2). L? , 3). Lq ? , 4). W ? , 5). Wq ? Jawab: 1). U = λ / μ = 20/25 =0, 80 Bahwa Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktu yang dimilikinya dan pelanggan harus menunggu, sedangkan 20% dari waktunya (1 -u) untuk istirahat (idle time) 2). L = λ / (μ – λ) = 20 / (25 -20) = 4 Angka 4 menunjukkan bahwa Ali mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam sistem 3). Lq = λ 2 / μ (μ – λ) = (20)2 / 25(25 -20) = 3. 2 Jadi kendaraan yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3. 2 kendaraan 4). W = 1 / (μ – λ) = 1 / (25 -20) = 0. 2 jam atau 12 menit Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit 5). Wq = λ / μ (μ – λ) = 20 / 25(25 -20) = 0. 16 jam atau 9. 6 menit Jadi waktu rata-rata kendaraan menunggu dalam antrian selama 9. 6 menit

B. Pelanggan PDAM datang pada loket pembayaran dengan tingkat rata-rata 20 per jam secara rata-rata setiap pelanggan dilayani 2 menit. Hitunglah: 1. Terdapat 10 pelanggan dalam sistem antrian 2. Rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem 3. Rata-rata banyaknya pelanggan yang sedang antri 4. Rata-rata waktu menunggu dalam sistem 5. Rata-rata waktu antri Jawaban soal: Dik: Rata-rata kedatangan λ = 20 pelanggan per jam Setiap pelanggan dilayani 2 selama menit, dalam 1 jam pelayan dapat melayani pelanggan sebanyak μ = 60/2 = 30 pelanggan. Ditanyakan: 1). P 10, 2). L? , 3). Lq? , 4). W? , 5). Wq? Jawab: 1). P 10 = [λ/ [ μ]10. [1 - (λ/ μ)]= [20/30]10. [1 -(20/30)] = [2/3]10. [1/3] = 0, 00578 Kemungkinan terdapat 10 pelanggan dalam sistem antrian hanya 0, 578%

C. Pelanggan yang datang ke sebuah pangkas rambut layanan tunggal, mengikuti proses Poisson dengan rataan waktu antar kedatangan berurutan 20 menit. Pelanggan memerlukan rata-rata 15 menit untuk di pangkas rambutnya. Hitunglah: 1. Peluang/kemungkinan seorang pelanggan tidak harus menunggu untuk dilayani 2. Rata-rata jumlah pelanggan yang datang ke pangkas rambut tersebut 3. Rata-rata waktu seorang pelanggan akan berada dalam pangkas rambut tersebut

Aplikasi model antrian single channel Sebuah perusahaan yang menyewakan furniture mempunyai satu gudang dengan satu mesin pengangkut yang dioperasikan oleh satu kelompok yang terdiri dari tiga orang tenaga kerja. Pemimpin perusahaan melihat pada jam-jam tertentu terjadi antrian truk tetapi di saat lain, petugas yang mengoperasikan mesin menganggur. Dari data yang telah lalu, diketahui rata-rata kedatangan 4 truk per jam, dan rata-rata pelayanan 6 truk per jam. Untuk mengatasi masalah tersebut, pimpinan perusahaan merencanakan untuk menambah kelompok tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin. Bagaimana dampak penambahan kelompok tenaga kerja terhadap biaya total yang dikeluarkan perusahaan jika biaya sewa truk $ 20 per jam, sedang upah tenaga kerja untuk mengoperasikan mesin $ 6 per orang per jam. Diasumsukan jika perusahaan menggunakan dua kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 12 truk per jam dan jika perusahaan menggunakan tiga kelompok tenaga kerja maka rata-rata pelayanan menjadi 18 truk per jam. 1 hari 8 jam kerja.

Karakteristik model antrian A. B. Tujuan analisis antrian meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri, sehingga kita dapat mengidentifikasi karakteristik antrian yang terdiri dari: ü Rata-rata jumlah pelanggan dalam garis tunggu antrian (waiting lines), pelanggan menunggu pelayanan (sedang antri) ü Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem, pealanggan sedang antri dan yang sedang dilayani ü Rata-rata waktu antrian ü Rata-rata waktu dalam sistem ü Tingkat intensitas pelayanan (peluang pelayan sibuk menggunakan waktu untuk memberikan pelayanan) Biaya karena menambah fasilitas layanan 1. Menambah fasilitas layanan 2. Menambah tenaga kerja

lanjutan Analisis antrian pada kasus di atas adalah mana yang menghasilkan biaya total optimal apakah satu kelompok, dua kelompok atau tiga kelompok tenaga kerja. Identifikasi masalah: I. Kondisi awal (satu kelompok tenaga kerja terdiri 3 orang): 1. Rata-rata kedatangan λ = 4 truk perjam 2. Rata-rata pelayanan μ = 6 truk perjam 3. Biaya $ 6 per orang per jam, 3 orang $ 18 II. Kondisi kedua (dua kelompok tenaga kerja terdiri 6 orang): 1. Rata-rata kedatangan λ = 4 truk perjam 2. Rata-rata pelayanan μ = 12 truk perjam 3. Biaya $ 6 per orang per jam, 6 orang $ 36 III. Kondisi kedua (dua kelompok tenaga kerja terdiri 9 orang): 1. Rata-rata kedatangan λ = 4 truk perjam 2. Rata-rata pelayanan μ = 18 truk perjam 3. Biaya $ 9 per orang per jam, 6 orang $ 54

Langkah analisis: i. Kondisi awal (satu kelompok tenaga kerja): 1. Rata-rata jumlah truk dalam antrian Lq Lq = λ 2 / (μ – λ) = 42 / 6(6 -4) = 1, 333 2. Rata-rata jumlah truk dalam sistem L L = λ / (μ – λ) = 4 / (6 -4) = 2 3. Rata-rata waktu truk dalam antrian Wq Wq = λ / μ (μ – λ) = 4 / 6(6 -4) = 0. 333 4. Rata-rata waktu truk dalam sistem W W = 1 / (μ – λ) = 1 / (6 -4) = 0. 5 5. Tingkat intensitas pelayanan U U = λ / μ = 4 / 6 =0, 667

lanjutan ii. Kondisi kedua (dua kelompok tenaga kerja): 1. Rata-rata jumlah truk dalam antrian Lq Lq = λ 2 / (μ – λ) = 42 / 12(12 -4) = 0, 167 2. Rata-rata jumlah truk dalam sistem L L = λ / (μ – λ) = 4 / (12 -4) = 0, 5 3. Rata-rata waktu truk dalam antrian Wq Wq = λ / μ (μ – λ) = 4 / 12(12 -4) = 0. 042 4. Rata-rata waktu truk dalam sistem W W = 1 / (μ – λ) = 1 / (12 -4) = 0. 125 5. Tingkat intensitas pelayanan U U = λ / μ = 4 / 12 =0, 333

lanjutan iii. Kondisi ketiga (tiga kelompok tenaga kerja): 1. Rata-rata jumlah truk dalam antrian Lq Lq = λ 2 / (μ – λ) = 42 / 18(18 -4) = 0, 063 2. Rata-rata jumlah truk dalam sistem L L = λ / (μ – λ) = 4 / (18 -4) = 0, 286 3. Rata-rata waktu truk dalam antrian Wq Wq = λ / μ (μ – λ) = 4 / 18(18 -4) = 0. 016 4. Rata-rata waktu truk dalam sistem W W = 1 / (μ – λ) = 1 / (18 -4) = 0. 071 5. Tingkat intensitas pelayanan U U = λ / μ = 4 / 18 =0, 222

lanjutan Hasil analisis antrian secara ringkas adalah: Karakteristik antrian 1 kelompok tenaga kerja 2 kelompok tenaga kerja 3 kelompok tenaga kerja Rata-rata jumlah truk dalam antrian (Lq) Rata-rata jumlah truk dalam sistem (L) Rata-rata waktu truk dalam antrian (Wq) Rata-rata waktu truk dalam sistem (W) Probabilitas fasilitas Pelayanan sibuk (U) 1, 333 2, 000 0. 333 0. 500 0, 667 0, 167 0, 500 0. 042 0. 125 0, 333 0, 063 0, 286 0. 016 0. 071 0, 222

Analisis perbandingan total biaya pada tiap kelopok Biaya Truk per hari Biaya tenaga kerja per hari Biaya total 1 kelompok 2 x 8 jam x $20 = $320 3 x $6 x 8 jam = $144 $464 2 kelompok 0, 5 x 8 jam x $20 = $ 80 6 x $6 x 8 jam = $288 $368 3 kelompok 0, 286 x 8 jam x $20 = 46 9 x $6 x 8 jam = $432 $478 Dari perhitungan biaya total seperti tampak pada tabel di atas terlihat bahwa biaya total paling rendah jika perusahaan mempekerjakan 2 kelompok tenaga kerja. Dengan demikian disarankan agar perusahaan tersebut menambah satu kelompok tenaga kerja.