VY32INOVACE 22 17 Geometrick posloupnost 2 st Opakovn

VY_32_INOVACE_ 22 -17 Geometrická posloupnost (2. část)

Opakování základních poznatků o geometrické posloupnosti § Kdy je daná posloupnost geometrická? § Lze obecně říci o geometrické posloupnosti, že je to funkce exponenciální? § Kdy toto tvrzení platí? Co je potom jejím grafem? § Jak dokazujeme, že daná posloupnost je geometrická?

Kontrola výsledků domácího úkolu a) Posloupnost rozdíl je aritmetická, protože je konstantní : Rekurentní určení této posloupnosti:

b) Posloupnost podíl je geometrická, protože je konstantní : Rekurentní určení této posloupnosti:

Vztahy mezi členy geometrické posloupnosti Pro všechna přirozená čísla n platí: § Vztah mezi sousedními členy § Vztah mezi prvním a n-tým členem § Vztah mezi libovolnými dvěma členy , kde Poznámka: Každý člen ( s výjimkou prvního) je geometrickým průměrem svých sousedů, tedy.

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti Pro všechna přirozená čísla n platí: Poznámka: Jestliže q = 1, jedná se o konstantní posloupnost. Součet jejích prvních n členů je potom sn= n·a 1.

Úloha 1 Je dána posloupnost , v níž. Určeme tuto posloupnost, jestliže se jedná o posloupnost a) aritmetickou, b) geometrickou. Zapišme n-tý člen těchto posloupností a odvoďme vzorec pro součet prvních n členů každé z obou posloupností.

Řešení úlohy 1 a) Aritmetická posloupnost, v níž : Nezapomeňme, že každá aritmetická posloupnost je jednoznačně určena svým prvním členem a 1 a diferencí d. Vzorec pro n-tý člen: Součet prvních n členů:

b) Geometrická posloupnost, v níž Využijeme vztahu : , kde : O každé geometrické posloupnosti platí, že je jednoznačně určena svým prvním členem a 1 a kvocientem q. Vzorec pro n-tý člen: Součet prvních n členů:

Úloha 2 Určeme geometrické posloupnosti, ve které platí:

Řešení úlohy 2 Všechny členy v uvedených rovnicích převedeme pomocí vztahu na a řešíme vzniklou soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: rovnice vydělíme Závěr: Geometrická posloupnost má .

Úloha 3 V geometrické posloupnosti Vypočtěme . platí, že

Řešení úlohy 3 Dosazením do vztahu rovnici: získáme exponenciální Součet osmi členů: Závěr: V geometrické posloupnosti je a .

Domácí úkol V tabulce jsou uvedeny údaje o geometrických posloupnostech. Doplňte volná pole tabulky. q 1. úloha a 1 a 4 1 27 a 6 2 2. úloha 3. úloha 4. úloha 5. úloha 9 2 81 s 5

Děkuji za pozornost. Autor DUM: RNDr. Ivana Janů Autor příkladů: RNDr. Ivana Janů