vwo C Samenvatting Hoofdstuk 10 Regels bij kansrekeningen

vwo C Samenvatting Hoofdstuk 10

Regels bij kansrekeningen Kansdefinitie van Laplace Somregel P(G) = aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G 1 en G 2 geldt P(G 1 of G 2) = P(G 1) + P(G 2). Complementregel P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis). Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt P(G 1 en G 2) = P(G 1) · P(G 2). Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 10. 1

De complementregel P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte) P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) 10. 1

Het vaasmodel Bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. P(2 r, 2 w, 1 b) = ? Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. Dat kan op 15 5 manieren. Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2 r uit de 8 r, 2 w uit 4 w en 1 b uit 3 b te pakken. Dat kan op 8 2 . 4 2 . 3 1 manieren. 8+4+3=15 P(4 r, 1 w, 2 b) = 8 2 2+2+1=5 . 4 2 15 5 . 3 1 ≈ 0, 168 10. 1

Berekeningen met breuken 10. 2

Bernoulli-experimenten Kansexperimenten waarbij het uitsluitend om de gebeurtenissen succes en mislukking gaat, heten Bernoulli-experimenten. De complement-gebeurtenis van succes is mislukking. De kans op succes geven we aan met p. 10. 3

Binomiaal kansexperiment Bij een binomiaal kansexperiment is : • n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd • X het aantal keer succes • p de kans op succes per keer • de kans op k keer succes is gelijk aan P(X = k) = n k · pk · (1 – p)n – k. 10. 3

De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k) 10. 3

10. 3

Werkschema: het maken van opgaven over binomiale kansexperimenten 1. 2. 3. Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7) 10. 4

Het berekenen van n bij een binomiale verdeling opgave 70 X = het aantal treffers. Voor welke n is P(X ≥ 5) > 0, 9, oftewel voor welke n is 1 – P(X ≤ 4) > 0, 9 ? TI Casio 1 – binomcdf(n, 0. 4, 4) > 0, 9 1 – P(X ≤ 4) > 0, 9 Voer in y 1 = 1 – binomcdf(x, 0. 4, 4). Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0, 1 ? Maak een tabel en lees af Proberen geeft voor n = 17 is y 1 ≈ 0, 874 voor n = 17 is P(X ≤ 4) ≈ 0, 126 voor n = 18 is y 1 ≈ 0, 906. voor n = 18 is P(X ≤ 4) ≈ 0, 094. Dus minstens 18 vrije worpen. 10. 4

Werkschema: het berekenen van de verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X 1. 2. 3. 4. Stel de kansverdeling van X op. Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. Tel de uitkomsten op. De som is E(X). Dus E(X) = x 1 · P(X = x 1) + x 2 · P(X = x 2) + … + xn · P(X = xn). 10. 5

De standaardafwijking van een toevalsvariabele 10. 5

De somregel voor de standaardafwijking Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt de somregel voor de standaardafwijking σx+ y = √ σ2 x + σ2 y VAR(X) = σ2 x (de variantie van X) σ2 x+ y = σ2 x + σ2 y dus VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y) 10. 5