VUT v Praze fakulta Stavebn Fuzzy mnoiny Tom

ČVUT v Praze – fakulta Stavební Fuzzy množiny Tomáš Moravec Seminární práce z předmětu ZTVH Rok 2004

Úvod l Ve druhé polovině 20. století vznikla řada nových disciplín, jako je teorie systémů, teorie jazyků, teoretická robotika, umělá inteligence a stále více se začala uplatňovat výpočetní technika. Rozvoj těchto oborů nutil matematiky, aby se zabývali problémem popisu nepřesných pojmů.

l V roce 1965 Lotfi. A. Zadech, který byl profesorem californské univerzity v Berkley, publikoval článek [Zadech, L. A. : Fuzzy sets. Inf. & Control, 8, 1965, s. 338353], který zahájil rozvoj modifikované teorie množin, tzv. fuzzy množin, které jsou nástrojem pro matematický popis vágních a nepřesných pojmů.

Fuzzy - pojem Fuzzy - slovo pocházející z angličtiny, které znamená "mlhavý, nejasný, neostrý, neurčitý". Fuzzy logika je tedy logika "mlhavá, nejasná, neostrá, neurčitá". Logika je věda o zákonech správného myšlení, o zákonech a pravidlech, nutných pro vyvozování správných závěrů. Vyslovíme-li nějaké tvrzení (větu), můžeme prohlásit buď: "ANO, toto tvrzení je pravdivé" nebo "NE, toto tvrzení není pravdivé"! Toto platí možná ve zjednodušeném a idealizovaném světě, ale stěží ve světě reálném, ve kterém se člověk pohybuje, ve kterém "neurčitost" je nutným souputníkem každé přijímané informace. Má ale vůbec pojem "neurčitost" oprávnění ke své existenci v technické vědě? Ukazuje se však, že i tyto mlhavé pojmy je možno popsat matematicky přesně a s takto popsanými pojmy potom matematicky pracovat. Matematicky pracovat s takovými mlhavými pojmy znamená umět matematicky vyhodnotit přibližné úsudky a závěry, které jsou výsledkem rozhodovacích procesů, do kterých vstupují neurčité a mlhavé vstupní údaje. Člověk, pohybující se v reálném světě, musí každodenně provádět mnoho takových úsudků a závěrů. Je možno, aby takové úsudky nebo závěry prováděl i stroj? Do jisté míry ano, ale jak?

Základní myšlenka fuzzy množin l Základní myšlenka fuzzy množin je jednoduchá. Pokud nejsme schopni stanovit přesné hranice třídy vymezené vágním pojmem, nahradíme toto rozhodnutí mírou vybíranou z nějaké škály. Každý prvek bude mít přiřazenou míru, která vyjadřuje jeho místo a roli v této třídě. Bude-li škála uspořádaná, pak menší míra bude vyjadřovat, že daný prvek leží někde na okraji třídy. Tuto míru nazýváme stupněm příslušnosti daného prvku k dané třídě. Třída, v níž každý prvek je charakterizován stupněm příslušnosti k této třídě, se nazývá fuzzy množina. Lze také říci, že stupeň příslušnosti vyjadřuje stupeň našeho přesvědčení, že daný prvek patří do dané fuzzy množiny.

Základní myšlenka fuzzy množin l Jestliže např. popisujeme vágní pojem "velký strom", pak každé výšce, která připadá v úvahu, přiřadíme číslo vyjadřující stupeň našeho přesvědčení, že takový strom je velký. Tento stupeň plyne z toho, jak chápeme pojem "velký strom". Je vidět, že přiřazování stupňů příslušnosti závisí na subjektu a také na kontextu, kdy např. velký strom v arktické oblasti je něco jiného než velký strom v tropech. Stupeň příslušnosti nemá nic společného s pravděpodobností. Pokud bychom chtěli mluvit o pravděpodobnosti, museli bychom zkoumat výskyt nějakého jevu (např. zda strom, na který se právě díváme, je 20 metrů vysoký). Fuzzy množiny popisují vágní pojmy sami o sobě.

Proč je vlastně fuzzy logika tak důležitá? l Striktní popis vede k popisu skutečnosti pouze pomocí dvouprvkové množiny {0, 1}. Pokud problém nelze jednoznačně určit, rozkládá se na menší podproblémy, ale za cenu místa a opět lze použít jen dvouprvkovou množinu. V případech, kdy je již nemožné nebo neúnosné takto problém rozdělit, dopouštíme se jisté chyby a tím je dán odklon od reality.

Princip inkompatibility u složitých systémů l V roce 1966 L. A. Zadeh ve svém článku o nových směrech analýzy komplexních systémů [Zadeh, L. A. : Outline of a New Approach to the Analysis of Complex Systems and Decision Processes. IEEE Trans. Syst. Man. Cybern. , 1, 1973, s. 28 -44] formuloval tzv. princip inkompatibility: "Roste-li složitost systému, klesá naše schopnost formulovat přesné a významné soudy o jeho chování, až je dosaženo hranice, za níž jsou přesnost a relevantnost prakticky vzájemně se vylučující charakteristiky. "

Fuzzy množiny l. S pojmem množina je každý z nás setkává již od základní školy. Množinu lze popsat několika způsoby, napříkad výčtem prvků, pravidlem, které musí prvky množiny splňovat, nebo také charakteristickou funkcí.

Klasická množina: m. A: X --> {0, 1} l Prvek x náleží množině A právě tehdy, jestliže platí m. A(x)=1. Jestliže m. A(x)=0, potom x do množiny A nepatří.

Fuzzy množina je zobecněním klasické množiny v tom smyslu, že jde o zobrazení na celý interval <0, 1>. Jelikož FM obecně nelze popsat jinak než charakteristickou funkcí (zde je označovaná také jako funkce příslušnosti ), považují se zde termíny FM a charakteristická funkce za totožné. l m. A: X --> <0, 1> l Už nelze říci, že nějaký objekt je prvkem množiny m. A. Hodnota m. A(x), kterou nazýváme mírou příslušnosti prvku x, udává totiž spojitou míru, jak hodně tam náleží, což nelze zjednodušit na ano-ne. l

Operace s fuzzy množinami Stejně jako u klasických množin zde definujeme doplněk, průnik a sjednocení avšak s přívlastkem fuzzy. Za příklad si vezmeme tyto fuzzy množiny:

Fuzzy komplement (doplněk) : ’A(x) =1 - A(x)

Fuzzy průnik: A B(x) = min( A(x), B(x))

Fuzzy sjednocení: A B(x) = max( A(x), B(x))

Fuzzy řízení l Základní idea fuzzy regulace, jejímž autory jsou Prof. L. A. Zadeh z University of California a Prof. E. H. Mamdani z Queen Mary College v Londýně, je následující: podle klasické teorie lze úspěšně regulovat, pokud známe matematický popis regulovaného procesu. Je-li proces popsán pomocí lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty, jsou k dispozici přímočaré metody pro návrh účinné regulace. U reálných procesů však často bývá velmi obtížné najít jejich matematický popis. Např. není možné provést dostatečný počet měření, měření jsou příliš drahá nebo zdlouhavá, popřípadě jsou nepřesná nebo z jiných důvodů nedávají vyhovující výsledky. Také se může stát, že je výsledný popis natolik složitý, že je téměř nemožné navrhnout pro něj klasický regulátor. Pak se přijímají různá zjednodušení a regulace nemusí být uspokojivá. V praxi takovéto procesy zpravidla reguluje člověk, který ze zkušenosti ví, jak proces regulovat, aniž by k tomu potřeboval znát jeho matematický popis. V takovéto situaci se nabízí použití fuzzy regulátoru

Fuzzy řízení Jestliže je člověk schopen průběh své činnosti při řízení procesu popsat (a to je vždy), pak fuzzy regulace má prostředky, jak na základě takového popisu regulaci uskutečnit. l Typickým příkladem je stabilizace invertovaného kyvadla, což je např. tyčinka postavená na ruce dítěte. Jeho úkolem je udržet tyčinku ve svislé poloze. Po několika pokusech se to každé dítě naučí. Přitom k tomu nepotřebuje znát matematický popis. Z toho vidíme, že znalost matematického popisu není nutnou podmínkou úspěšné regulace. Podotkněme, že matematický popis invertovaného kyvadla je v obecném případě tvořen soustavou čtyř nelineárních diferenciálních rovnic. Pomoci klasické teorie nejsme bez velkých zjednodušení schopni regulátor pro jeho stabilizaci navrhnout. l

Fuzzy řízení l Pokud po operátorovi, který obsluhuje regulovaný proces, požadujeme, aby nám svou činnost popsal, vždy k tomu použije přirozený jazyk. Avšak typickou charakteristikou přirozeného jazyka, kterou nemůžeme žádným způsobem obejít, je vágnost jeho semantiky. Proto nelze operátorův popis převést přímo do matematických formulí a pokud bychom to udělali, byl by výsledek pravděpodobně neuspokojivý. Návod k řešení této situace nabízí fuzzy logika, protože nám umožňuje modelovat význam slov přirozeného jazyka. Fuzzy regulátor je řídící algoritmus, který realizuje činnost popsanou pomocí přirozeného jazyka. Fuzzy regulátor napodobuje chování operátora (asi tak, jako by napodobil chování dítěte ve výše uvedeném příkladě)

Fuzzy řízení Zatím nelze s počítačem komunikovat v přirozeném jazyce zcela volně, a proto jsou nezbytná jistá zjednodušení. Popis regulace v přirozeném jazyce je zjednodušen na použití pravidel typu JESTLIŽE-PAK ( IF- THEN), který popisuje výstup systému při určitých hodnotách vstupů: l IF Teplota je Normální AND Vlhkost je Vysoká THEN Výkon je Střední l

Fuzzy regulátor l Obliba fuzzy regulátorů vychází z toho, že dávají dobré výsledky a nabízejí řešení v situacích, kdy izolované klasické regulátory (tj. bez dodatečné logiky) selhávají nebo se stávají nestabilními. Fuzzy regulátory jsou velmi robustní, tj. necitlivé vůči změnám podmínek. To mimo jiné znamená, že fuzzy regulátor není třeba měnit nebo jen velmi málo, i když se změní podmínky, za kterých regulace probíhá nebo se změní dokonce celý proces (v tom případě ovšem nesmí být změna zásadní). Další výhodnou fuzzy regulátorů je relativní jednoduchost a rychlost jejich návrhu. Složitost při jejich navrhování je prakticky stejná bez ohledu na složitost procesu, který máme regulovat. Obě uvedené vlastnosti jsou důsledkem faktu, že průběh regulace je popsán v přirozeném jazyce. To je člověku velmi blízké. Proto jsou fuzzy regulátory vhodné mimo jiné tehdy, je-li regulovaný proces velmi složitý.

Fuzzy regulátory jsou obvykle levnější ve srovnání s klasickým přístupem. To je způsobeno jednak tím, že připouštíme nepřesnost při jejich návrhu a jednak tím, že odpadá nutnost proces identifikovat, což vyžaduje testování procesu při nejrůznějších podmínkách a často též použití metod a matematického aparátu, který běžně projektant regulačních systémů nepoužívá. Z výše zmíněných vlastností plyne, že fuzzy regulátor je prakticky optimální, i když ve striktně matematickém smyslu to nemusí vždy být pravda. l Obdobně jako v klasické regulační technice tak i tady mámě regulátory typu P, PI, PD, PID ale s přívlastkem fuzzy. l

Fuzzy regulátor - postup l Práce FR se sestává z několika kroků. Nejprve se zjistí stupně příslušnosti vstupních veličin pro jednotlivé lingvistické termy použité v pravidlech (fuzzifikace). Pro každé pravidlo je vyhodnocena premisa (levá strana pravidla) jako konjunkce jednotlivých výrazů. Pro výpočet konjunkce se používají takzvané t-normy, které jsou zobecněním logického součinu na interval <0, 1>. Výsledek stanoví míru významnosti pravidla v dané situaci. Podle této hodnoty se upraví FM konsekvent (termy na pravé straně pravidel). Všechny upravené konsekventy se složí do jedné FM. Ze vzniklé FM je třeba získat ostrou hodnotu, což se provádí při tzv. defuzzifikaci. Výsledek defuzzifikace je výstupem FR.

Fuzzy regulátor - schema

Použití fuzzy technologie l l l Fuzzy regulace v japonském metru — automatické řízení metra — zvýšená přesnost zastavování, plynulejší brždění a hlavně nižší spotřeba energie Fotoaparát s automatickým vyhledáváním centrálního bodu pro zaostření (Minolta) ABS, řízení motoru, volnoběhu a klimatizace (Honda, Nissan, Sabaru) Řízení výtahů (Mitsubishi) Korekce chyb ve slévárenských zařízeních na plastické výrobky (Omron) 3. 5" disketové mechaniky (zlepšení doby vystavení hlaviček až o 30 %) palmtop Kanji určený pro rozpoznávání ručně psaných textů rozpoznávání řeči Fuzzy SQL (Omron) Pomoc při hledání identifikačních a profilových systémů pachatele (velký, ne příliš těžký, víceméně starý, …) Analýza portfolia při investování na kapitálovém trhu

Použité zdroje l Internetové stránky: http: //www. fek. zcu. cz/~miki/Clanky/olom 97/node 5. html l http: //homel. vsb. cz/~s 1 v 65/stranky. WEB/Studenti/Kana/Fuzzy/Uvodfuzy. htm l http: //www. rydval. cz/slavek/fuzzy. php l