Vukov materil zpracovn v rmci projektu EU penze

  • Slides: 27
Download presentation
Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ. 1.

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ. 1. 07/1. 5. 00/34. 0208 Šablona: III/2 č. materiálu: VY_32_INOVACE_64 Jméno autora: Mgr. Iva Vrbová Třída/ročník: 3. E/ třetí ročník Datum vytvoření: 16. 9. 2012

Vzdělávací oblast: Člověk a logické myšlení Tematická oblast: Komplexní čísla Předmět: Matematika Název učebního

Vzdělávací oblast: Člověk a logické myšlení Tematická oblast: Komplexní čísla Předmět: Matematika Název učebního materiálu: Početní operace s komplexními čísly Výstižný popis způsobu využití, případně metodické pokyny: Prezentace obsahuje potřebnou teoretickou část, ale také řešené i neřešené příklady s výsledky, včetně názorného postupu. Klíčová slova: Početní úkony s komplexními čísly: Rovnost komplexních čísel; Součet a rozdíl komplexních čísel; Součin a podíl komplexních čísel; Mocniny imaginární jednotky Druh učebního materiálu: prezentace

Početní operace (úkony) s KČ: n rovnost KČ n součin KČ a čísla reálného

Početní operace (úkony) s KČ: n rovnost KČ n součin KČ a čísla reálného n součet KČ n rozdíl KČ n součin KČ (včetně mocnin imaginární jednotky) n podíl KČ

Početní operace definujeme pro: n dvě komplexní čísla a = a 1+ a 2

Početní operace definujeme pro: n dvě komplexní čísla a = a 1+ a 2 i, b = b 1+ b 2 i (a, b C) n reálné číslo k (k R)

I) Rovnost KČ a = b a 1 = b 1 a 2 =

I) Rovnost KČ a = b a 1 = b 1 a 2 = b 2 (rovnají se příslušné části KČ) Příklad: Určete x, y R tak, aby platilo a) a 1 = b 1 a 2 = b 2 +

b) c) d) e) f)

b) c) d) e) f)

II) Součin čísla reálného a KČ reálná část imaginární část k. a = k.

II) Součin čísla reálného a KČ reálná část imaginární část k. a = k. (a 1 + a 2 i ) = ka 1 + ka 2 i Ø výsledkem je opět KČ Příklad: Určete k. a, je-li a = 1 – 2 i, . . KČ opačné k danému

III) Součet KČ a + b = (a 1 + a 2 i )

III) Součet KČ a + b = (a 1 + a 2 i ) + (b 1 + b 2 i ) = = (a 1 + b 1) + (a 2 i + b 2 i ) = reálná část imaginární část = (a 1 + b 1) + (a 2 + b 2 ) i Ø výsledkem je opět KČ

IV) Rozdíl KČ n KČ opačné k danému – a = – a 1

IV) Rozdíl KČ n KČ opačné k danému – a = – a 1 – a 2 i n rozdíl KČ lze vnímat jako součet KČ a – b = a + ( – b ) = = (a 1 + a 2 i ) + (– b 1 – b 2 i ) = = (a 1 – b 1) + (a 2 i – b 2 i ) = = (a 1 – b 1) + (a 2 – b 2 ) i reálná část imaginární část Ø výsledkem je opět KČ

V) Součin KČ a. b = (a 1 + a 2 i ). (b

V) Součin KČ a. b = (a 1 + a 2 i ). (b 1 + b 2 i ) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 i + a 2 b 2 i 2 = = a 1 b 1 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 i + a 2 b 2. (– 1) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 i – a 2 b 2 = = (a 1 b 1 – a 2 b 2 ) + (a 1 b 2 i + a 2 b 1 i ) = = (a 1 b 1 – a 2 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) i reálná část Ø imaginární část výsledkem je opět KČ

Mocniny imaginárního KČ Užíváme algebraické vzorce známé již ze ZŠ Příklad: Vypočtěte – 9

Mocniny imaginárního KČ Užíváme algebraické vzorce známé již ze ZŠ Příklad: Vypočtěte – 9 – 6 +i

Příklad: Vypočtěte (zapište v AT).

Příklad: Vypočtěte (zapište v AT).

Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

Mocniny imaginární jednotky nabývají pouze čtyři různé hodnoty, které se opakují stále ve stejném

Mocniny imaginární jednotky nabývají pouze čtyři různé hodnoty, které se opakují stále ve stejném pořadí: + 1, + i, – 1, – i. n Pro úpravu lze užít dva postupy. Zvažte, který je pro vás jednodušší a ten si zapište.

1. způsob: a) c) b) d)

1. způsob: a) c) b) d)

2. způsob: a) b) c) d)

2. způsob: a) b) c) d)

Příklad: Určete mocniny. i 123 = i 85 = i 140 = i 254

Příklad: Určete mocniny. i 123 = i 85 = i 140 = i 254 = i 60 = i 135 = i 99 = i 182 = i 77 = i 200 = –i +i + 1 – 1 + 1 – i – 1 +i + 1 i 217 = i 323 = i 196 = i 286 = i 405 = i 27 = i 132 = i 180 = i 65 = i 18 = + i –i + 1 – 1 +i – i + 1 +i – 1

Příklad: Vypočtěte. i 3 + i 13 + i 23 + i 33 +

Příklad: Vypočtěte. i 3 + i 13 + i 23 + i 33 + i 43 = = – i + i – i = – i i. i 2. i 3. i 4. i 5 = i 15 = – i i + i 2 + i 3 +. . . + i 99 + i 100 = = ( i + i 2 + i 3 + i 4) + ( i 5 + i 6 + i 7 + i 8) +. . . . . . + (i 97 + i 98 + i 99 + i 100) = = 25. ( i + i 2 + i 3 + i 4) = 25. 0 = 0

VI) Podíl KČ n POZOR!!! Aby se jednalo o podíl KČ, musí být KČ

VI) Podíl KČ n POZOR!!! Aby se jednalo o podíl KČ, musí být KČ (imag. jednotka) ve jmenovateli zlomku n Vyřešit podíl KČ znamená „odstranit imaginární jednotku ze jmenovatele zlomku“ – obdobná úprava jako u usměrňování zlomků (učivo 1. ročníku) Ø Výsledkem je opět KČ

Příklad: Vydělte KČ (zapište KČ v AT). Ø dělíme-li KČ ryze imaginárním 1 1

Příklad: Vydělte KČ (zapište KČ v AT). Ø dělíme-li KČ ryze imaginárním 1 1 1

Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

Příklad: Určete a) reálnou, b) imaginární část KČ.

Použitá literatura: n PETRÁNEK, O. ; CALDA, E. ; HEBÁK, P. Matematika pro střední

Použitá literatura: n PETRÁNEK, O. ; CALDA, E. ; HEBÁK, P. Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 4. část. 5. vyd. Praha : Prometheus, 2004. ISBN 8071960403. Kapitola 1, s. 9– 47 n JIRÁSEK, F. ; BRANIŠ, K. ; HORÁK, S. ; VACEK, M. Sbírka úloh z matematiky pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť 2. část. 3. vyd. Praha : Prometheus, 2003. ISBN 8071960128. Kapitola 1, s. 11– 46