Vsebina Diskretni problemi Grafi drevesa Osnovna pravila kombinatorike
Vsebina • • • Diskretni problemi Grafi, drevesa Osnovna pravila kombinatorike Izbori Porazdelitve Metoda tirov Pravilo vključitev in izključitev Rodovne funkcije Trdnjavski polinomi Rekurzivne enačbe. . .
Klike 1 a 2 c d 3 e b 4 • Naj bo G=(V, E) poljuben graf. Množica U V vozlišč je klika, če je vsak par vozlišč iz U soseden (z drugimi besedami: graf, induciran na U je poln). Naj KG označuje družino klik. • Za graf na levi je KG = {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 4}, {3, 4}, { 1, 2, 4}, {1, 3, 4}}
Klični polinom 1 a 2 c d 3 e b 4 • Naj k(G, n) označuje število klik moči n grafa G. Rodovno funkcijo K(G; x) za to zaporedje pa imenujemo klični polinom. • Za graf na levi je k(G, 0) = 1, k(G, 1) = 4, k(G, 2) = 5, k(G, 3) = 2. • Zato je K(G, x) = 1 + 4 x + 5 x 2 + 2 x 3.
Neodvisne množice vozlišč 1 a 2 c d 3 e b 4 • Naj bo G=(V, E) poljuben graf. Množica U V vozlišč je anti-klika oz. neodvisna množica vozlišč, če je noben par vozlišč iz U ni soseden (z drugimi besedami: graf, induciran na U je prazen). Naj NG označuje družino nedovisnih množic. • Za graf na levi je NG = {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {2, 3} }
Neodvisnostni polinom 1 a 2 c d 3 e b 4 • Naj n(G, n) označuje število anti-klik moči n grafa G. Rodovno funkcijo N(G; x) za to zaporedje pa imenujemo neodvisnostni polinom. • Za graf na levi je n(G, 0) = 1, n(G, 1) = 4, n(G, 2) = 1. • Zato je N(G, x) = 1 + 4 x + x 2.
Dvodelni grafi • Graf je dvodelen, če lahko vozlišča razbijemo na dve množici, recimo M in R, tako da ima vsaka povezava eno krajišče v M, drugo v R. • Graf na levi je dvodelen.
Naloga • Dokaži, da je graf dvodelen, če in samo če ne vsebuje ciklov lihe dolžine. • Dokaži, da je stopnja kličnega polinoma dvodelnega grafa 2. • Izračunaj klični polinom in neodvisnostni polinom grafa na prejšnji prosojnici.
Razdalja v povezanih grafih • Iz vsakega povezanega grafa G lahko naredimo metrični prostor (V, d. G) takole: – d. G(u, v) je dolžina najkrajše poti v G, ki ima za krajišči u in v.
Rast v zakoreninjenih grafih • Graf G=(V, E) zakoreninimo tako, da izberemo vozlišče r iz V. Dobimo zakoreninjen graf G(V, E, r). V zakoreninjenem grafu definiramo zaporedje d(0), d(1), . . . Pri tem je d(k) število vozlišč na razdalji k od korena r. Rodovno funkcijo f(x), ki pripada temu zaporedju imenujemo funkcija (sferične) rasti zakoreninjenega grafa G(V, E, r).
Rast je odvisna od korena 1 a 2 c d 3 e b 4 • Če graf na levi zakoreninimo v vozlišču 1 ali 4, je rast 1 + 3 x, • če pa ga zakoreninimo v 2 ali 3, pa je rast 1 + 2 x +x 2. • Naloga: Določi rast v hiperkocki Qn.
Šahovnica • Šah je že od nekdaj povezan z matematiko. Znana je zgodba o pšeničnih zrnih na šahovnici: • 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 263 = 18, 446, 744, 073, 709, 551, 615 = 264 – 1
Naloge na šahovnici običajno modeliramo z grafi ? • • ♞ • • Spomnimo se naloge z začetka: • Ali je mogoče s šahovskim konjičkom začeti v spodnjem levem vogalu šahovnice, obiskati vsa polja šahovnice in končati v desnem zgornjem polju?
Nenapadanje • Naloga: Koliko šahovskih konjičkov lahko postavimo na šahovnico, tako da drugega ne napadajo? Na levi vidimo graf, ki ga dobimo za šahovske konjičke na zmanjšani šahovnici 4 x 4. Naloga sprašuje po maksimalni neodvisni množici grafa.
Naloga osmih dam • Naloga: Na koliko načinov lahko na običajno šahovnico postavimo osem dam, tako da se paroma ne napadajo? ♛ ♛ ♛ ♛ • Znano je, da je veliki nemški matematik C. F. Gauss reševal ta problem, a ga ni v celoti rešil. Z računalnikom ga lahko rešimo v nekaj sekundah. • Vseh rešitev je 92. Na levi prikazujemo eno od njih: – 1, 5, 8, 6, 3, 7, 2, 4
Trdnjavski polinom • Pri trdnjavskem polinomu gre za tri spremembe: ♜ ♜ ♜ – Deska C ima bolj splošno obliko (prepovemo nekatera polja) – Zanima nas število postavitev k trdnjav r(C, k), oziroma rodovna funkcija tega zaporedja: – Za desko na levi dobimo: • r(C, 0) = 1, r(C, 1) = 6, r(C, 2) = 8, r(C, 3) = 2 R(C, x) = 1 + 6 x + 8 x 2 + 2 x 3.
Rekurzija za trdnjavske polinome • Naj bo C deska in p polje v njej. Naj Cp označuje desko, ki jo dobimo iz C z odstranitvijo polja p in naj bo C/p deska, ki jo dobimo iz C z odstranitvijo vrstice in stolpca, ki mu pripada p. Velja: p C • R(f, x) = 1 • R(C, x) = R(Cp) + x R(C/p). Cp C/p
Trdnjavski polinom za disjunktni deski • Če je deska D sestavljena iz dveh desk A in B tako, da nobeno polje iz A ni niti v isti vrsti niti v istem stolpcu s kakšnim poljem deske B, pravimo, da sta A in B disjunktni deski. • V tem primeru velja: R(D, x) = R(A, x) R(B, x) • Konkretno: za desko na levi strani velja: R(D, x) = (1 + 6 x + 8 x 2 + 2 x 3)2
Še en pogled na trdnjavske polinome • Pogosto lahko s preprostim razmislekom neposredno izračunamo koeficiente trdnjavskega polinoma. Če je mogoče, razbijemo desko na disjunktni deski, kar nam olajša računanje. • Trdnjavski polinom je v bistvu neodvisnostni polinom trdnjavskega grafa, ki je določen z desko.
Permutacije s prepovedanimi mesti • Naj bosta deski C in D komplementarni. Skupaj oblikujeta kvadratno desko. D naj označuje prepovedana mesta permutacije. • Trditev: r(C, n) = n!r(D, 0) – (n-1)!r(D, 1) + (n 2)!r(D, 2) -. . . +(-1)n 0!r(D, n) • Dokaz: Pravilo vključitev in izključitev: za Ak vzamemo permutacije, pri katerih je trdnjava v ktem stolpcu na prepovedanem mestu.
Linearne rekurzivne enačbe • Naj bo d > 0 naravno število, c 0(n), c 1(n), . . , cd(n) C ter f(n), n = 0, 1, 2, . . . zaporedje, f(n) C. • Enačba cd(n) an+d+. . . + c 1(n) an+1+ c 0(n) an = f(n) (za n 0) • je linearna rekurzivna enačba. • Če je f(n) = 0 za vsak n = 0, 1, 2, . . . , je enačba homogena, sicer je nehomogena. • Zgled: (n+2)an+1 – (4 n+2)an = 0, a 0=1. Z indukcijo lahko dokažemo, da je rešitev te homogene linearne enačbe prvega reda zaporedje Catalanovih števil.
Linearne rekurzivne enačbe s konstantnimi koeficienti • Naj bo d > 0 naravno število, c 0, c 1, . . , cd C ter f(n), n = 0, 1, 2, . . . zaporedje, f(n) C. • Enačba cd an+d+. . . + c 1 an+1+ c 0 an = f(n) (za n 0) • je linearna rekurzivna enačba s konstantnimi koeficienti. • Če je f(n) = 0 za vsak n = 0, 1, 2, . . . , je enačba homogena, sicer je nehomogena. • Predpostavili bomo, da sta cd in c 0 od 0 različna. Zato lahko vedno delimo enačbo s cd in predpostavimo, da ima enačba obliko: – an+d+ cd-1 an+d-1+. . . + c 1 an+1+ c 0 an = f(n)
Linearne rekurzivne enačbe – karakteristični polinom • Enačbi an+d+ cd-1 an+d-1+. . . + c 1 an+1+ c 0 an = f(n) • priredimo polinom: – Q(x) = xd + cd-1 xd-1+. . . + c 1 x + c 0 – ki mu rečemo karakteristični polinom • Recimo, da ima Q(x) k različnih ničel x 1, . . . , xk. • Naj bo xi ri-kratna ničla polinoma Q(x) in naj bo P(i, x) polinom stopnje največ ri.
Rešitev v obliki potence • Oglejmo si preprost primer, ki nas navede na splošno idejo: • Zgled: an+1 – 2 an = 0, a 0 znan. • Rešitev je an+1 = a 0 2 n+1. • Trditev: Recimo, da je ln rešitev homogene linearne rekurzivne enačbe s konstantnimi koeficienti, tedaj je l koren pripadajočega karakterističnega polinoma Q(x).
- Slides: 23