Vrhatrtk szrs 11252020 1 Diszkrt vltoz vrhat rtke

Várhatóérték, szórás 11/25/2020 1

Diszkrét változó várható értéke , 11/25/2020 2

Példa olyan esetre, amikor nem létezik a várható érték Értékkészlet: Eloszlás: 11/25/2020 3

Néhány egyszerű példa A kockadobás várható értéke: 11/25/2020 4

Folytonos változó várható értéke 11/25/2020 5

Példa olyan esetre, amikor nem létezik a várható érték A Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye: Ez valóban sűrűségfüggvény: Viszont a várható érték nem létezik, mert: nem létezik! 11/25/2020 6

Nevezetes folytonos eloszlások várható értéke 11/25/2020 7

Variancia, szórás 11/25/2020 8

Folytonos esetben a variancia és a szórás 11/25/2020 9

Nevezetes eloszlások várható szórása 11/25/2020 10

Várható érték, szórás, variancia tulajdonságai I. 11/25/2020 11

Várható érték, szórás, variancia tulajdonságai II. 11/25/2020 12

Markov-egyenlőtlenség Másképpen: 11/25/2020 13

Csebisev-egyenlőtlenség Másképpen: 11/25/2020 14

11/25/2020 15

Transzformált változó eloszlása Ha X a [0 , 1] intervallumon egyenletes eloszlású és F(y) egy szigorúan monoton növekvő eloszlásfüggvény azon az intervallumon, ahol 0 < F(y) < 1 , akkor az Y = F -1(X) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye éppen F(y) lesz, ahol y= F -1(x) az eloszlásfüggvény inverzét jelöli. Bizonyítás: P(Y < y) =P(F -1(X) < y) =P(F(F -1(X)) < F(y)) = P(X < F(y)) = F(y) , mert F(y) [0 , 1]. 11/25/2020 16

Transzformált változó eloszlása A tétel lehetőséget ad arra, hogy a számítógép Uni (0 , 1) véletlenszámgenerátora segítségével tetszőleges F(x) eloszlásfüggvényhez jól illeszkedő véletlenszámokat generáljunk! Pl. Ha X Uni (0 , 1), akkor -1/ ln(1 -X) Exp( ) lesz! 11/25/2020 17

Transzformált változó eloszlása Ha X a [0 , 1] eloszlásfüggvénye F(y) egy szigorúan monoton növekvő eloszlásfüggvény, akkor az Y = F (X) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a (0 , 1) intervallumon egyenletes lesz! Pl. Ha X Exp( ), akkor Y=1 -e - X egyenletes eloszlású! 11/25/2020 18

Transzformált változó eloszlása A tétel lehetőséget ad majd a statisztikában egy X adatsor adott F(x) eloszlásfüggvényhez való illeszkedésének ellenőrzésére. Feltételezve, hogy az egyenletes eloszláshoz való illeszkedést tudjuk Ellenőrizni, az adatsor akkor illeszkedik jól az F(x)-hez, ha F (X) egyenletes eloszlású! 11/25/2020 19

Transzformált változó eloszlása normális esetben Ha X N(m, D), akkor Y = X+ N( m+ , | | D), azaz normális változó lineáris transzformáltja is normális lesz! Bizonyítás: Tegyük fel, hogy >0! P(Y < t)=P(X < (t- )/ )=P(X < u)= ((u-m)/D)= = ((t-( m+ ))/ D) , azaz Y N( m+ , D). 11/25/2020 20