Vortrag Gerhard Fobe Index Zahlensysteme Dualsystem Oktalsystem Dezimalsystem
Vortrag Gerhard Fobe - Index Zahlensysteme: Dualsystem • Oktalsystem • Dezimalsystem • • Hexadezimalsystem (Binärsystem) (Sedezimalsystem) Dualarithmetik: • • Addition Subtraktion Multiplikation Division Ende
Dualsystem (Binärsystem) • Basis: 2 • Zeichenvorrat: {0; 1} • Umwandlung von Dezimalsystem in das Dualsystem mit Restdivision (Modulo-Operation) – beliebige Zahl dividiert durch 2 ergibt als Rest entweder 0 oder 1 • Notwendig für Dualarithmetik
Umwandlung Dezimal- in Dualsystem 168 : 2 = 84 : 2 = 42 : 2 = 21 : 2 = 10 : 2 = 5 5 : 2 = 2 2 : 2 = 1 1 : 2 = 0 Rest 1 Rest 0 Rest 1 Schreibweise der Ergebnisse in umgekehrter Reihenfolge: 16810 = 101010002 Schnelle Umrechnungen mit dem Windowstaschenrechner in wissenschaftlicher Ansicht: Mehrere Wege zur Berechnung möglich
Umwandlung Dual- in Dezimalsystem 101010002 = 1*27+0*26+1*25+0*24+1*23+0*22+0*21+0*20 = 128+0+32+0+8+0+0+0 = 16810
Oktalsystem • • Basis 8 Zeichenvorrat {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Erleichtert den Umgang mit Dualzahlen Aus 3 -Bit-Worten können acht verschiedene Kombinationen dargestellt werden
Umwandlung Dual- in Oktalsystem binär oktal dezi. 000 001 010 011 100 101 110 111 0 1 2 3 4 5 6 7 1. Zerteilen der Dualzeichenfolge in 3 er-Gruppen von rechts beginnend 2. Umschreiben der Dualzahl in eine Oktalzahl 300910 = 1011110000012 = 57018 binär oktal 101 5 111 7 000 0 001 1
Umwandlung Oktal- in Dezimalsystem • Zur Umwandlung von Oktal- in Dezimalzahlen einfach die Oktalzahl mit ihrem Stellenwert potenzieren und die Ergebnisse addieren: 5 7 0 1 (8) 1 * 80 = 1 0 * 81 = 0 7 * 82 = 448 5 * 83 = 2560 3009 (10)
Umwandlung Dezimal- in Oktalsystem • Zur Umwandlung von Dezimal- in Oktalzahlen muss die Dezimalzahl mit Hilfe der Modulo. Operation umgewandelt werden und von der höchsten oktalen Stelle aus gelesen werden: 3009 : 8 = 376 Rest 1 376 : 8 = 47 Rest 0 47 : 8 = 5 Rest 7 5 : 8 = 0 Rest 5 5 7 0 1 (8)
Dezimalsystem • Basis: 10 • Zeichenvorrat: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} • Ziffern besitzen Nenn- und Stellenwert – Nennwert: wirklicher Wert der Ziffer – Stellenwert: Wert der Ziffer innerhalb der dargestellten Zahl • Beispiel: 4186 = 4*1000+1*100+8*10+6*1 = 4*103 +1*102+8*101+6*100
Hexadezimalsystem (Sedezimalsystem) • Basis: 16 • Zeichenvorrat: {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; D; E; F} • In der Praxis können mit wenig Zeichen große Zahlen dargestellt werden • Anwendung bei Programmiersprachen, Farbangaben bei Grafikprogrammen • zweithäufigst genutztes Zahlensystem (n. DEZ) • Verminderte Fehleranfälligkeit • Wird auf maschinennaher Umgebung häufig in Assemblersprachen genutzt
Hexadezimalsystem - Zeichenvorrat DEZ 0 1 2 3 4 5 6 7 BIN 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 HEX 0 1 2 3 4 5 6 7 DEZ 8 9 10 11 12 13 14 15 BIN 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 HEX 8 9 A B C D E F
Umwandlung Hexadezimal- in Dezimalsystem Die Stellenwerte des Hexadezimalsystems sind Potenzen zur Basis 16. B C 1 (16) 1 * 160 = 1 12 * 161 = 192 11 * 162 = 2816 3009 (10)
Umwandlung Dezimal- in Hexadezimalsystem • Zur Umwandlung von Dezimal- in Hexadezimalzahlen muss die Reste von unten nach oben angeschrieben werden 3009 : 16 = 188 Rest 1 188 : 16 = 11 Rest 12 11 : 16 = 0 Rest 11 B C 1 (16)
Dualarithmetik - Addition • stellenweises Rechnen von geringstwertigen zur höchstwertigsten Stelle, also von rechts nach links • Stellenübertrag analog zum Rechnen im Dezimalsystem • Zusätzliche Regeln unbedingt beachten: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 Übertrag 1
Addition - Rechnung 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 Übertrag 1 Beispiel: Addition dezimal 168 + 37 205 Addition dual 1 0 1 0 0 0 + 0 0 1 0 1 1 1 10 0 1 1 0 1
Dualarithmetik - Subtraktion • stellenweises Rechnen von geringstwertigen zur höchstwertigsten Stelle, also von rechts nach links • Stellenübertrag analog zum Rechnen im Dezimalsystem • Zusätzliche Regeln unbedingt beachten: 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 Übertrag 1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0
Subtraktion - Rechnung 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 Übertrag 1 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 Beispiel: Subtraktion dezimal 168 - 37 131 Subtraktion dual 1 0 1 0 0 0 - 0 0 1 0 1 1 1 0 0 10 1 1 1 Berechnung auch über Komplementbildung möglich
Dualarithmetik - Multiplikation • Vorgehensweise simultan zur schriftlichen Multiplikation im Dezimalsystem • Kein Stellenübertrag • Ergebnisse aus Teilmultiplikationen werden zu Summe addiert (Dualaddition) • Zusätzliche Regeln unbedingt beachten: 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1
Multiplikation - Rechnung 1 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 1 = 1 Beispiel: Multiplikation dezimal 1 2 * 1 4 1 2 4 8 1 6 8 Multiplikation dual 1 1 0 0 * 1 1 1 0 1100 0000 1 10 1 0 0 0
Dualarithmetik - Division • • Komplexeste Arithmetik Rechnung wird an höchster Stelle des Dividenden begonnen 1. Prüfen ob Divisor vollständig abgezogen werden kann (mittels Dualsubtraktion) 2. Ja: Notierung einer 1 im Ergebnis und mit Rest weiterrechnen. Nein: Notierung einer 0 im Ergebnis, eine Stelle nach rechts rücken und nochmals prüfen
Division - Rechnung Beispiel: Division dezimal 1 6 8 / 6 = 2 8 1 2 4 8 0 Division dual 10101000 / 110 = 000 111 00 1 - 110 geht nicht 10 - 110 geht nicht 101 - 110 geht nicht 1010 - 110 geht (Rest 100) 1001 - 110 geht (Rest 11) 110 - 110 geht (Rest 0) 0 - 110 geht nicht
Division - Rechnung Beispiel übersichtlicher: 1 0 1 0 0 0 / 1 1 0 = 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0
Diese Präsentation sowie weitere Informationen sind zu finden im Downloadbereich unter Verwendete Quellen: • http: //www. isis. de/members/~tweber/rs_semi/1/rs_1. htm • Buch Informatik Auflage 1991 (Compact Verlag München) • Tafelwerk Auflage 10 (Paetec)
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