Vorlesung Wasserwirtschaft Hydrologie I Vorlesung 8 Themen Statistische

Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I Vorlesung 8 Themen: Statistische Auswertung von Abflüssen Häufigkeitsverteilung und Dichtefunktionen Jährliche und partielle Serien Trendanalyse Extremwertstatistik Typen von Verteilungsfunktionen

Lehr- und Lernziele der Veranstaltung erschaffen bewerten analysieren anwenden verstehen erinnern Sie wenden geeignete Verteilungsfunktionen für die Auswertung an. Sie verstehen den Einfluss von Ausreißern auf die Extremwert-Statistik. Sie verstehen die prinzipielle Vorgehensweise bei der Extremwert-Statistik für Hochwasserabflüsse. Sie kennen die grundlegenden Annahmen der (hydrologischen) Statistik. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Wiederkehrintervalle & Auftretenswahrscheinlichkeit Für wasserwirtschaftliche Bemessungsaufgaben ist es notwendig die Abflüsse einer bestimmten Auftretenswahrscheinlichkeit zu ermitteln. In der Regel wird z. B. der Hochwasserschutz auf einen Bemessungsabfluss HQX ausgelegt. HQ 100 Hochwasserabfluss, der maßgeblich für ein Wiederkehrintervall von 100 Jahren ist Der Abfluss wird im Mittel in dem Wiederkehrintervall einmal überschritten. Falsch ist die Aussage, dass der Abfluss nur einmal in der Zeitspanne auftreten kann bzw. das er in der Zeitspannne auf jeden Fall auftritt. Die jährliche Auftretenswahrscheinlichkeit, das ein Hochwasserabfluss größer oder gleich einem Abfluss HQT für ein bestimmtes Wiederkehrintervall T ist, entspricht dem inversen Wert des Wiederkehrintervalls. 1 W (Q > HQT) = -- T Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Hydrologisches Risiko Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein T-jährlicher Abfluss in einer Zeitspanne von N Jahren auftritt? 1 N R = 1 - (1 - ) -- T Wiederkehrintervall [Jahre] 1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 Zeitspanne [in Jahren] 10 20 50 100 1 2 5 100% 50% 20% 10% 5% 2% 1% 1% 0% 0% 100% 75% 36% 19% 10% 4% 2% 1% 0% 0% 100% 100% 97% 100% 67% 89% 99% 100% 41% 65% 88% 99% 100% 23% 40% 64% 92% 99% 10% 18% 33% 64% 87% 5% 10% 18% 39% 63% 2% 5% 10% 22% 39% 1% 2% 4% 10% 18% 0% 1% 2% 5% 10% Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken 200 100% 100% 98% 87% 63% 33% 18% 500 100% 100% 99% 92% 63% 39% 1000 100% 100% 99% 86% 63%

Basisansatz • Zufallsanteil korrelativer Anteil periodischer Anteil Trendanteil y(t) - y. T(t) Regressionsanalyse Glättung (Bildung von Gleitmitteln) Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken y(t) - y. T(t) - y. P(t) Harmonische Analyse Fourieranalyse Glättung (Mittelbildung unter Berücksichtigung der Periode) z(t) ykorr(t) Autokorrelationsanalyse

Haufigkeitsermittlung Häufigkeit Klasseneinteilung 0 1 1 0 1 0 1 2 3 2 1 3 2 4 3 2 0 0 Q [m³/s] Zeitraster Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken t

Ermittlung der Dichtefunktion 0 1 1 0 1 0 1 2 3 2 4 3 2 0 0 Häufigkeit (relativ) Häufigkeit (absolut) Dichtefunktion 0 0 00, 077 2 3 0, 154 4 2 0, 115 3 2 0, 038 1 00, 038 1 0 0, 038 1 1 0 0, 115 Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken 0, 115 0, 077 0 0, 038

Ausgangssituation: bestehende Abflussaufzeichnungen Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Dichtefunktionen Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Verteilungsfunktionen Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Abflüsse unterschiedlicher Wiederkehrintervalle Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Vorgehensweise bei der statistischen Analyse 1. Plausibilisierung der Eingangsdaten (Prüfung auf Vollständigkeit / Fehlzeiten, Test auf Ausreißer) 2. Trendprüfung (+ gegebenenfalls Trend bereinigen) 3. Anwendung der Extremwertstatistik (mit Parameteranpassung bei Zugrundlegung der jährlichen (oder partiellen) Serie) 4. Angabe der Bandbreite für die Extremwert HQx Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Trend Tendenz Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken Sprung

Trendbehaftete Zeitreihe Q [m³/s] Die Eingangsinformationen für extremwert-statistische Auswertungen dürfen keinen Trend aufweisen Trendbereinigung t [Jahre] In diesem Fall ergibt die Prüfung einen linearen Trend; die Messwerte müssen von diesem Trendanteil bereinigt werden. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Jährliche Serie N [mm] 1 Jahr t [Monate, Tage, Stunden, ] => jährliche Serie: Eingang in die Berechnung findet jeweils der größte Wert pro Jahr Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Partielle Serie N [mm] 1 Jahr t [Monate, Tage, Stunden, ] => partielle Serie: Eingang finden die n größten Werte pro Jahr (n = 2 oder 3) Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Extremwertstatistik Als Eingangswerte für extremwertstatistische Berechnungen werden die maximalen Abflüssen eines jeden Jahres (jährliche Serie) verwendet. In diesem Fall umfasst die Serie 27 Jahre. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Zeitreihe der jährlichen Serie Die Reihe der Messwerte weist Fehljahre auf. Dies kann beispielsweise durch Ausfall der Messeinrichtung auftreten oder durch fehlerbehaftete Daten. Fehlzeiten werden durch besondere Werte gekennzeichnet. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Trendanalyse Bevor eine extremwertstatistische Berechnung durchgeführt werden darf, muss eine Trendanalyse erfolgen. Trendbehaftete Messreihen verstoßen gegen die Grundannahmen der Extrapolation. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Test der Verteilungsfunktion In einem ersten Schritt wird für die verschiedenen Verteilungsfunktionen die Parameteranpassung überprüft. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Normalverteilung Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Lognormalverteilung Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Exponentialverteilung Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Gamma-Verteilung Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Pearson Typ 3 Verteilung Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Log Pearson Typ 3 Verteilung Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Extremal Verteilung Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Test der Verteilungsfunktion Die drei Verteilungsfunktionen mit den besten Kriterien für die Parameteranpassung werden für die weitere Bearbeitung vorgeschlagen. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken In diesem Fall sind es die Verteilungen: Log-Normal [LN 3] Pearson 3 [P 3] Weibull [WB 3]

Parameter der Verteilungsfunktion Für die unterschiedlichen Verteilungen werden Prüfgrößen und Qualitätskennwerte ausgewiesen. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Ergebnisse der Extremabflüsse Die verschiedenen Verteilungsfunktionen liefern als Ergebnis eine Spannweite der extremen Abflüsse. In diesem Fall liegt der Abfluss für das 50 -jährige Ereignis HQ 50 zwischen 217 und 223 m³/s. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Graphische Darstellung der Extrapolationsergebnisse Die verschiedenen Verteilungsfunktionen differieren bei kleinen Wiederkehrintervallen kaum. Das Streumaß nimmt jedoch deutlich mit größerem Wiederkehrintervall zu. Der grau hinterlegte Bereich gibt diejenigen Wiederkehrintervalle an, die außerhalb des belegten Extrapolationsbereichs liegen. (3 x 21=63 Jahre) Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Sensitivität der Verteilungen Um den Einfluss einzelner Messwerte auf das Ergebnis der Extrapolation statistisch zu verdeutlichen wird hier ein Beispiel ausgeführt. Es wird lediglich der größte Wert der jährlichen Serie abgeändert (von 238 auf 300 m³/s) und der gesamte Vorgang wiederholt. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Sensitivität der Verteilungen Die Anpassung der Verteilungsfunktionen ergibt bereits erste Abweichungen. Nunmehr sind die Extremalverteilung vom Typ 1 [E 1] und die allgemeine Extremalwertverteilung [AE] am besten geeignet zur Anpassung an die Messreihe. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

Sensitivität der Verteilungen Die Ergebnisse der Extremabflüsse weichen deutlich von der ersten Berechnung ab. Das HQ 50 wäre in diesem Fall in einer Größenordnung von 231 -261 m³/s anzusetzen. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken Originalwerte

Sensitivität der Verteilungen Das Streumaß der Ergebnisse ist in diesem Fall ebenfalls deutlich größer als bei der Ursprungsreihe. Dieser einfache Test verdeutlicht, wie groß der Einfluss einzelner, großer Messwerte auf die extremwertstatistische Auswertung ist. Deshalb sind immer Ausreißertests vor der Auswertung durchzuführen. Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I | 8. Vorlesung |Univ. -Prof. Dr. -Ing. Heribert Nacken

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