Vorlesung Systemtheorie Untersuchung linearer Systeme im Zeitbereich Anwendung
Vorlesung Systemtheorie Untersuchung linearer Systeme im Zeitbereich Anwendung der Laplace-Transformation 13. Mai 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 1 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Systemtheorie – Welche Inhalte sind das ? Systemtheorie • beschäftigt sich mit der systematischen Vorhersage des Zeitverhaltens von technischen Systemen und Prozessen • Liefert alle mathematischen Methoden, Formel, Werkzeuge für die Beurteilung des Systemverhaltens • Kann für technische, biologische, wirtschaftliche, chemische, verfahrenstechnische Prozesse gleichermaßen als Methode eingesetzt werden. • Die Systemtheorie setzt mathematische Grundkenntnisse wie voraus (Dgl. , Linearität, Zeitinvarianz, Faltung, Laplace-Transformation, Bodediagramm, Ortskurve) • Stellt eine in sich geschlossene Methodik dar, die zur Beurteilung auch komplexer Systeme leicht eingesetzt werden kann. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 2 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Themen der Systemtheorie Gliederung der Vorlesung 22. 04. 2003: 29. 04. 2003: 06. 05. 2003: 13. 05. 2003: 20. 05. 2003: 27. 05. 2003: 03. 06. 2003: 10. 06. 2003: 17. 06. 2003: Mail 2003 / Systemtheorie Einführungsvorlesung Mathematische Grundlagen Komplexe Zahlen, Ortskurve Einführung in die angewandte Laplace-Transformation Lösungen von Dgl. Regeln & Rücktransformation Beschreibung linearer Systeme im Zeitbereich Beschreibung linearer Systeme im Frequenzbereich Darstellung Systeme von Regelstrecken PT 1, PT-n, IT 1, IT-n, Totzeitelement, Sondersysteme Systeme 2. Ordnung Blatt 4. 3 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Themen der Systemtheorie Gliederung der Vorlesung 24. 06. 2003 01. 07. 2003 08. 07. 2003 15. 07. 2003 22. 07. 2003 Mail 2003 / Systemtheorie Einführung PID-Regler und Ableitung der gebräuchlichen Regler (P, PI, PD, PID) aus PID-Regler Geschlossener Regelkreis Führungs- und Störübertragungsverhalten Stabilität / Begriffe und Stabilitätskriterien Absolute und relative Stabilitätskriterien Stabilität im Bodediagramm Phasen- und Amplitudenreserve Klausurvorbereitung Rechenübung / Beispiele / Fragestunde / Anwendungsbeispiele / Stoffvertiefung keine Vorlesung Blatt 4. 4 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Systembeschreibung im Zeitbereich Schematische Darstellung des Übertragungssystems als Blocksymbol. ua(t) = f(ue(t), g(t)) Zeitfunktionen: Eingangsfunktion ue(t) Systemeigenschaften g(t) Systemantwort ua(t) g(t) G(s) Wirkungs- und Signalflußplan: Verkettung von Übertragungsblöcken mit Verknüpfung von Eingangsund Ausgangsgrößen. Mehrfachgrößen / Mehrfachsysteme zulässig / abhängig von der Aufgabenstellung Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 5 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beschreibungsformen für einen Übertragungsblock Mögliche Beschreibungsformen g(t) G(s) • Differentialgleichung mit Verknüpfung der Ein- und Ausgangsgrößen im Zeitbereich • Sprungantwort des Systems Darstellung des Systemverhaltens, in dem man das System mit einer einfachen Anregungsfunktionen beaufschlagt. • Übertragungsfunktion Darstellung des Verhältnis der Ausgangs- zu Eingangsgrößen im Frequenz- (bzw. s-Bereich der Laplace-Transformierten) • PN-Diagramm Basis Übertragungsfunktion / Darstellung der Pole- und Nullstellen Aussagen über Stabilität, Verlauf im Zeit- und Frequenzbereich • Amplitudenund Phasengang Arbeiten im Bodediagramm / Liefert Aussagen über Stabilität Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 6 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beschreibungsformen von Übertragungssystemen g(t) G(s) Differentialgleichung dmy/dtm + am-1 dm-1 y/dtm-1 +. . + a 0 y = bndnu/dt + bn-1 dn-1 u/dtn-1 +. . + b 1 du/dt + bou Übertragungsfunktion G(s) = (sm + am-1 sm-1 +. . . + ao)/(sn + bn-1 sn-1 +. . . + bo) Pol- & Nullstellenverteilung Bodediagramm/Ortskurve Amplituden- & Phasengang Mail 2003 / Systemtheorie G(s) = k(s-sn 0)(s-sn 1). . . (s-snm)/[(s-spo)(s-sp 1). . (s-spn)] G(s) -> G(j ) mit |G(j )| und ( ) G(j ) -> Re{G(j )} + j. Im{G(j )} ( ) = arctan(Im{G(j )}/Re{G(j )}) Blatt 4. 7 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Lösung im Zeitbereich Differentialgleichungsansatz Die Lösung der Differentialgleichung führt auf zwei verschiedene Anteile. Es gibt einen homogenen und partikulären Anteil in y(t). Der homogene Anteil berücksichtigt den Einfluss der Anfangsbedingungen. Der partikuläre Anteil berücksichtigt den Einfluss der Anregungsfunktion. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 8 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Lösung im Zeitbereich Differentialgleichungsansatz Die Lösung der Differentialgleichung ua(t) ergibt sich demnach: Beide Lösungen sind von den Systemeigenschaften abhängig. In beiden Lösungen ist G(s) als Einflussgröße enthalten. Beide Antworten lassen sich unabhängig voneinander berechnen. Beide Einflüsse wirken unabhängig voneinander betrachtet und überlagert werden. Homogener Anteil heißt auch „freie Antwort“ Partikulärer Anteil heißt auch „erzwungene Antwort“ Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 9 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Anfangs- und Endwertsatz Anwendung der Laplace-Sätze zur Bestimmung von Anfangs- und Endwerten. Bestimmung des Anfangswertes für ua(t) Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 10 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Anfangs- und Endwertsatz Anwendung der Laplace-Sätze zur Bestimmung von Anfangs- und Endwerten. Bestimmung des Endwertes für ua(t) Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 11 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation ist eine fundamentale Methode zur Lösung von Differentialgleichung und damit zur Vorhersage des Zeitverhaltens von technischen Systemen. Für die Anwendung sind die Sätze, Korrespondenztabellen und die Partialbruchzerlegung in der Praxis relevant für die Rücktransformation. Die mathematische Definition der Rücktransformation setzt gute Kenntnisse der komplexen Analysis voraus. (-> Mathematikvorlesung) Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 12 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Lösung von linearen Differentialgleichungen im Zeitbereich Für die Lösungsfindung von Dgl können auch analystische Ansätze im Zeitbereich genutzt werden. Die Lösung setzt sich aus zwei Anteilen zusammen: Homogene Lösung: Partikuläre Lösung: Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 13 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Lösung von linearen Differentialgleichung im Zeitbereich Homogene Lösung enthält drei verschiedene Lösungen Charakeristische Lösung der Differentialgleichung • Reelle Lösung, einfach • Reelle Lösung, mehrfach • Komplexe Lösung Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 14 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Lösung von linearen Differentialgleichungen im Zeitbereich Beispiel RC-Glied • Differentialgleichung 1. Ordnung • Anregungsfunktion • Gesucht ist die Lösung der Dgl im Zeitbereich • Lösungsansatz • Homogene Lösung Nullsetzen der Differentialgleichung Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 15 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Lösung von linearen Differentialgleichungen im Zeitbereich Beispiel RC-Glied • Homogene Lösung Konstante C 1 kann mit der partikulären Lösung bestimmt werden. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 16 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Lösung von linearen Differentialgleichungen im Zeitbereich Beispiel RC-Glied • Partikuläre Lösung Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 17 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Lösung von linearen Differentialgleichungen im Zeitbereich Beispiel RC-Glied • Gesamtlösung Bestimmung C 1 mit Anfangsbedingung Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 18 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Zusammenfassung Lösung von Dgl im Zeit- und s-Bereich Vorteile der Laplace-Transformation: • Integral- und Differentialgleichungen (Variable t) werden in algebraische Gleichungen (Variable s) überführt. • Ableitungen / Integrationen gehen in Potenzen von s über • Anfangswerte werden mit Beginn der Rechnung berücksichtigt. Sind die Anfangswerte 0, dann wird die Rechnung einfacher • Tabellen und Sätze erleichtern die Rücktransformation. Bei Bildfunktionen höherer Ordnung muss vor der Rücktransformation eine Partialbruchzerlegung durchgeführt werden. Bei den Korrespondenztabellen bedeutet ein positives a eine ansteigende Exponentialfunktion, ein negatives a eine gedämpfte Exponentialfunktion. • Laplace liefert die Lösung einer Dgl als Summe der partikulären und homogenen Lösung. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 19 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Zusammenfassung Lösung von Dgl im Zeit- und s-Bereich Vorteile der Laplace-Transformation: • Laplace liefert die Lösung einer Dgl als Summe der partikulären und homogenen Lösung. Partikuläre Lösung entspricht der erzwungenen Antwort auf das aufgegebene Eingangssignal. Homogene Lösung entspricht der freien Antwort aufgrund der vorliegenden Anfangsbedingungen des Systems. • Bei reinen Dgl wird die Differentialgleichung in ein algebraisches Gleichungssystem überführt. Die Lösung ist wesentlich einfacher als im Zeitbereich zu finden. Jede Unbekannte kann unabhängig von den anderen bestimmt werden. • Eine Rücktransformation ist nicht immer notwendig, da mit Hilfe der Sätze Rückschlüsse auf den Zeitbereich möglich sind. Viele Eigenschaften der Zeitfunktion lassen sich schon im Bildbereich eindeutig erkennen. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 20 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Charakteristische Zeitsignale Zur Systembeurteilung werden charakteristische Signale auf Systeme aufgegeben und deren Systemantwort untersucht. Diracstoß Sprungfunktion Rampenfunktion Harmonische Funktion Bild 3. 4 -2, Wendt, S 58 Bild 3. 4 -3, Wendt, S 59 Bild 3. 4 -4, Wendt, S 59 Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 21 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Zeitfunktionen Zusammenhänge Testfunktionen dienen dazu, dass Systemverhalten zu testen und Vergleichmöglichkeiten zwischen verschiedenen Systemen bewerten zu können. Mit der Aufgabe eines Impulses erhält man als Systemantwort die Gewichtsfunktion des Systems. Man erhält im Zeitbereich die Rücktransformierte der Übertragungsfunktion. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 22 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Zeitfunktionen Zusammenhänge Testfunktionen dienen dazu, dass Systemverhalten zu testen und Vergleichmöglichkeiten zwischen verschiedenen Systemen bewerten zu können. Mit der Aufgabe einer Sprungfunktion erhält man als Systemantwort die Übergangsfunktion (Sprungantwort) des Systems. Man erhält im Zeitbereich die Rücktransformierte der Übertragungsfunktion multipliziert mit 1/s. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 23 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beschreibungsformen für Übertragungssysteme g(t) G(s) Gewichtsfunktion im Zeitbereich u(t) = (t) -> y(t) = g(t) Sprungantwort im Zeitbereich u(t) = (t) -> y(t) = h(t) Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 24 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Zeitfunktionen Zusammenhänge Testfunktionen dienen dazu, dass Systemverhalten zu testen und Vergleichmöglichkeiten zwischen verschiedenen Systemen bewerten zu können. Mit der Aufgabe einer Rampe erhält man als Systemantwort die Rampenantwort des Systems. Man erhält im Zeitbereich die Rücktransformierte der Übertragungsfunktion multipliziert mit 1/s 2. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 25 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Zeitfunktionen Zusammenhänge Testfunktionen dienen dazu, dass Systemverhalten zu testen und Vergleichmöglichkeiten zwischen verschiedenen Systemen bewerten zu können. Mit der Aufgabe einer Sinusschwingung erhält man als Systemantwort die Sinusantwort des Systems. Man erhält im Zeitbereich die Rücktransformierte der Übertragungsfunktion multipliziert mit Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 26 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Zeitfunktionen und Lösungen Zusammenstellung Systemantwort Zeitbereich s-Bereich Gewichtsfunktion Sprungantwort Übergangsfunktion Rampenfunktion Harmonische Systemantwort Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 27 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Verknüpfungen von Übertragungsblöcken (1) Mögliche Verknüpfungen von Übertragungsblöcken (Systemen): • Verzweigung • Summationselement • Inversion • Multiplikation Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 28 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Verknüpfungen von Übertragungsblöcken (2) Mögliche Verknüpfungen von Übertragungsblöcken (Systemen): • Division • Kettenschaltung • Parallelschaltung • Indirekte und direkte Gegenkopplung (Rückkopplung für Regelkreis) Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 29 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Umformungsregeln für Wirkungspläne Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 30 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Umformungsregeln für Wirkungspläne Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 31 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Umformungsregeln für Wirkungspläne Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 32 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Umformungsregeln für Wirkungspläne Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 33 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Umformungsregeln für Wirkungspläne Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 34 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Anwendungsbeispiele Beispiel 1: Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 35 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Anwendungsbeispiele Beispiel 2: Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 36 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Anwendungsbeispiele Beispiel 3: Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 4. 37 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
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