Vorlesung Systemtheorie Standardbertragungssysteme Systeme 2 Ordnung 27 Mai

Vorlesung Systemtheorie Standardübertragungssysteme Systeme 2. Ordnung 27. Mai und 3. Juni 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 1 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Themen der Systemtheorie Gliederung der Vorlesung 22. 04. 2003: 29. 04. 2003: 06. 05. 2003: 13. 05. 2003: 20. 05. 2003: 27. 05. 2003: 03. 06. 2003: 10. 06. 2003: 17. 06. 2003: Mail 2003 / Systemtheorie Einführungsvorlesung Mathematische Grundlagen Komplexe Zahlen, Ortskurve Einführung in die angewandte Laplace-Transformation Lösungen von Dgl. Regeln & Rücktransformation Beschreibung linearer Systeme im Zeitbereich Beschreibung linearer Systeme im Frequenzbereich Darstellung Systeme von Regelstrecken PT 1, PT-n, IT 1, IT-n, Totzeitelement, Sondersysteme Systeme 2. Ordnung Blatt 7. 2 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Themen der Systemtheorie Gliederung der Vorlesung 24. 06. 2003 01. 07. 2003 08. 07. 2003 15. 07. 2003 22. 07. 2003 Mail 2003 / Systemtheorie Einführung PID-Regler und Ableitung der gebräuchlichen Regler (P, PI, PD, PID) aus PID-Regler Geschlossener Regelkreis Führungs- und Störübertragungsverhalten Stabilität / Begriffe und Stabilitätskriterien Absolute und relative Stabilitätskriterien Stabilität im Bodediagramm Phasen- und Amplitudenreserve Klausurvorbereitung Rechenübung / Beispiele / Fragestunde / Anwendungsbeispiele / Stoffvertiefung keine Vorlesung Blatt 7. 3 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beschreibungsformen für einen Übertragungsblock Mögliche Beschreibungsformen g(t) G(s) • Differentialgleichung mit Verknüpfung der Ein- und Ausgangsgrößen im Zeitbereich • Sprungantwort des Systems Darstellung des Systemverhaltens, in dem man das System mit einer einfachen Anregungsfunktionen beaufschlagt. • Übertragungsfunktion Darstellung des Verhältnis der Ausgangs- zu Eingangsgrößen im Frequenz- (bzw. s-Bereich der Laplace-Transformierten) • PN-Diagramm Basis Übertragungsfunktion / Darstellung der Pole- und Nullstellen Aussagen über Stabilität, Verlauf im Zeit- und Frequenzbereich • Amplitudenund Phasengang Arbeiten im Bodediagramm / Liefert Aussagen über Stabilität Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 4 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Systeme 2. Ordnung Reihenschaltung von 2 PT 1 Beispiel: Mail 2003 / Systemtheorie 2 PT 1 -Strecken mit T 1 = 1 s und T 2 = 10 s Blatt 7. 5 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Systeme 2. Ordnung Reihenschaltung von 2 PT 1 Sprungantwort: 2 PT 1 -Strecken mit T 1 = 1 s und T 2 = 10 s Sprung erscheint zeitverzögert als Ausgangssignal. Es sind physikalisch keine Sprünge möglich. Verlauf weist einen Wendepunkt. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 6 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Systeme 2. Ordnung Reihenschaltung von 2 PT 1 Beispiel: Mail 2003 / Systemtheorie System 2. Ordnung Blatt 7. 7 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Systeme 2. Ordnung Bei Systemen 2. Ordnung kann sich bei Bestimmung der Pole und Nullstellen unterschiedliche Lösungen (reelle und komplexe) ergeben. Abhängig ist offensichtlich die Größe der Parameterwerte zueinander. Bestimmung der Pole Die Parameterwerte a 1* und a 0* bestimmen, ob die Pole komplex oder reell sind. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 8 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Dgl. : Interpretation: 0: D: K P: Mail 2003 / Systemtheorie Kennkreisfrequenz (Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems) Dämpfung des Systems Proportionalbeiwert des Systems Blatt 7. 9 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Übertragungsfunktion: Pol-Nullstellen: nur Polstellen / charakteristische Gleichung: Fallunterscheidung: D>1: zwei verschiedene reelle Lösungen D=1: zweifache gleiche Lösung 0<D<1: komplexe Lösungen, stabil D=0: komplexe Lösungen, grenzstabil -1<D<0: komplexe Lösungen, instabil Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 10 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lage der Polstellen in Abhängigkeit von D D variiert von 0 bis 10 in 0. 1 -Schritten W 0 = const= 1 Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 11 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lage der Polstellen in Abhängigkeit von D Dw 0 = const = 1 W 0 variiert von 0 bis 20 in 0. 1 Schritten Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 12 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Sprungantwort in Abhängigkeit von D Sprungantwort ergibt sich durch Anregung mit 1/s und Bestimmung der Systemantwort mit Y(s) = G(s) 1/s Für Systeme mit D > 1 ist das Verhalten bekannt. Pole sind reell. Jeder Pol liefert als Rücktransformierte einen Anteil mit exponentiellen Verlauf. Pol-Lage Linke Halbebene Mail 2003 / Systemtheorie rechte Halbebene Blatt 7. 13 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Sprungantwort in Abhängigkeit von D Pol-Lage Linke Halbebene rechte Halbebene Rot = Sprungantwort Blau = Impulsantwort Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 14 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Sprungantwort in Abhängigkeit von D Für 0 < D < 1 ergibt sich als Sprungantwort eines Systems 2. Ordnung eine Sprungantwort mit überlagerter Schwingung. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 15 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Interpretation der schwingfähigen Sprungantwort Impuls- und Sprungantwort D = 0. 1, w 0=5 Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 16 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Interpretation der schwingfähigen Sprungantwort Impuls- und Sprungantwort D = 0. 1, w 0=5 Einhüllende exponentieller Verlauf Schwingfrequenz Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 17 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenhang Lage komplexer Polstellen auf Sprungantwort Bild 2 -42, Gassmann, S. 115 Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 18 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenhang Lage komplexer Polstellen auf Sprungantwort Realteil der Polstelle: bestimmt die Einhüllende der Sprungantwort Imaginärteil der Polstelle: bestimmt die Einhüllende der Sprungantwort Betrag von Real- und Imaginärteil der Polstelle bestimmt die Eigenkreisquenz des unge. Dämpft schwingenden Systems. Bei konstanter Eigenkreisfrequenz bildet die Variation von D zwischen 0 und 1 einen Kreis mit dem Radius der Eigenkreisfrequenz. Für D = 0 liegen die Pole auf der imaginären Achse. Die Schwingfre. Quenz entspricht der Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 19 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenhang Lage komplexer Polstellen auf Sprungantwort Für D = 1 liegen die Pole auf der reellen Achse. Die Schwingfrequenz entspricht Null. Es tritt dann keine Schwingung auf. Für D = 1 ergibt sich eine doppelte reelle Polstelle auf der reellen Achse. Diese Stelle bildet den Übergang zwischen nicht schwingender und schwingender Sprungantwort. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 20 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) 0 < D < 1: Pole mit Imaginäranteil Schwingfähiges System (stabil) (PTS 2 -Glied) D=1: doppelte Polstelle bei o= 1/T 2 (aperiodischer Grenzfall PT 2 -Glied) D>1: zwei einfache reelle Polstellen (Kriechfall PT 2 -Glied) D=0: Realteil 0: stabiles schwingfähiges System ohne Dämpfung -1 < D < 0: schwingfähiges System instabil Quelle: Unbehauen Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 21 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) D>1: zwei einfache reelle Polstellen (Kriechfall PT 2 -Glied) D=1: doppelte Polstelle bei o= 1/T 2 (aperiodischer Grenzfall PT 2 -Glied) 0 < D < 1: Pole mit Imaginäranteil Schwingfähiges System (stabil) (PTS 2 -Glied) D=0: Realteil 0: stabiles schwingfähiges System ohne Dämpfung -1 < D < 0: schwingfähiges System instabil Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 22 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Fall 1: D>1 (aperiodisches Verhalten, Kriechfall) Übertragungsfunktion: Sprungantwort: Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 23 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Fall 2: D=1 (aperiodischer Grenzfall) Übertragungsfunktion: Sprungantwort: Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 24 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Fall 3: 0<D<1 (schwingendes Verhalten: PT 2 S-Glied) Übertragungsfunktion: Sprungantwort (Laplace-Korrespondenztabelle): Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 25 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Fall 3: 0<D<1 (schwingendes Verhalten: PT 2 S-Glied) Umformung der Sprungantwort: Umformungen: Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 26 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 27 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Quelle: Meyr, Aachen Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 28 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Kenngrößen für die Beschreibung schwingungsfähiger Systeme Im Zeitbereich kann die Sprungantwort mit folgenden Kenngrößen beschrieben werden: • Schwingungsdauer • Einschwingdauer / Ausregelzeit Die Zeit, bis die Sprungantwort endgültig im Toleranzband bleibt. Das Toleranzband wird in % des erreichten Endwertes y angegeben. In der Regel ist dies 2 oder 5 %. Für = 5% folgt: ln(0. 05) ~ -3 Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 29 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Bestimmung / Abschätzung der Einstellzeit Hier ist die Einhüllende als bestimmende Größe zu betrachten: Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 30 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Bestimmung der Zeitpunkte für Auftreten von Extremwerten: Ergebnis herleiten über Durchführung der Ableitung. Damit können die Zeitpunkte für die Lage der Extremwerte bestimmt werden: Das erste Maximum liegt bei k=1. Damit ergibt sich: Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 31 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Kenngrößen für die Beschreibung schwingungsfähiger Systeme • Schwingungsdauer • Anschwingdauer / Anregelzeit Die Zeit, bis die Sprungantwort erstmalig den Sollwert erreicht hat. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 32 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Weitere Kenngrößen Zusammenfassung aller wichtigen Kenngrößen für schwingungsfähige Systeme 2. Ordnung finden sich in der Literatur Lutz, Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, S. 274 ff. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 33 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Quelle: Meyr, Aachen Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 34 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Interpretation: • Forderung nach schnellen Ausgleichsvorgängen (kurze Einstellzeit) und minimales Überschwingen sind nicht gleichzeitig erreichbar. • Bei schwingfähigen Systemen 2. Ordnung ist über die Wahl der Dämpfung und unter Berücksichtigung der ungedämpften Eigenkreisfrequenz das Übertragungsverhalten einzustellen. • Dominantes Polpaar Ein konjugiert komplexes Polpaar dominiert das Systemverhalten für zusammengesetzte Systeme mit mehreren Pol- und/oder Nullstellen, wenn gilt: Andere einfache Pole liegen weit links hiervon Wenn ein anderer einfacher Pol in der Nähe und in Kombination mit einer Nullstelle liegt. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 35 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element (Regelstrecke) Interpretation der Sprungantwort: • Zeitverlauf der Einhüllenden wird bestimmt durch die Dämpfung D. Je kleiner D betragsmäßig ausfällt, umso langsamer wird die Schwingung abklingen. • Die Schwingfrequenz ist gegenüber der Eigenkreisfrequen des ungedämpften Systems reduziert. • Zeitabstand zweier aufeinanderfolgender Maxima oder Minima oder Extremwerte ist immer konstant. • Das maximale Überschwingen MP ist nur abhängig von der Dämpfung. • Die Anregelzeit (das erstmalige Erreichen der Eingangsamplitude) ist abhängig von der Schwingfrequenz. • Die Einstellzeit ist abhängig von Dämpfung und Eigenkreisfrequenz (Unterschied Sprungantwort zur Anregungsamplitude) Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 36 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element in Kurvendarstellung PT 2, D>1, nicht Schwingfähig: Kenngrößen D=5 0=10 PN-Diagramm: sp 1 = -1 sp 2 = -100 Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 37 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element in Kurvendarstellung PT 2, D=1, nicht Schwingfähig: Kenngrößen D=1 0=10 PN-Diagramm: sp 1 = -10 sp 2 = -10 Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 38 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element in Kurvendarstellung PT 2, 0<D<1, schwingfähig: Kenngrößen D = (0. 05, 0. 1, 0. 2, 0. 3, 0. 5, 0. 7) 0=1 Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 39 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element in Kurvendarstellung Schwingfähiges System mit Variation der Dämpfung Lage der Pole& Nullstellen Kenngrößen D = (0. 05, 0. 1, 0. 2, 0. 3, 0. 5, 0. 7) 0=1 Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 40 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PT 2 -Element in der Kurvendarstellung Amplitudengang: Überschwingamplitude ist von der Dämpfung D abhängig. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 41 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Fallunterscheidung Amplitudengang Maximumbestimmung Bildung der Ableitung |G(j )| und Bestimmung der Nullstellen. Ergebnis liefert: Maximum stellt sich ein bei Quelle: Wendt Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 42 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PTn-Element (Regelstrecke) PTn-Elemente höherer Ordnung können insgesamt auf Multiplikation Von PT 2 -Gliedern mit PT 1 -Gliedern zurückgeführt werden. Die Behandlung von PTn-Gliedern mit Bestimmung von Sprungantwortverhalten und Systemidentifizierung von gemessenen Sprungantworten wird in der Vorlesungsreihe PROZESSANALYSE gegeben. Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 43 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (1) Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 44 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (2) Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 45 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (3) © Übetragungsglieder 1 - 3: Quelle: Unbehauen: Regelungstechnik I, Vieweg Verlag Mail 2003 / Systemtheorie Blatt 7. 46 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel