Vorlesung Systemtheorie Standardbertragungssysteme fr Regeleinrichtungen PIDRegler 24 Juni

Vorlesung Systemtheorie Standardübertragungssysteme für Regeleinrichtungen (PID-Regler) 24. Juni 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 1 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Themen der Systemtheorie Gliederung der Vorlesung 22. 04. 2003: 29. 04. 2003: 06. 05. 2003: 13. 05. 2003: 20. 05. 2003: 27. 05. 2003: 03. 06. 2003: 10. 06. 2003: 17. 06. 2003: Juni 2003 / Systemtheorie Einführungsvorlesung Mathematische Grundlagen Komplexe Zahlen, Ortskurve Einführung in die angewandte Laplace-Transformation Lösungen von Dgl. Regeln & Rücktransformation Beschreibung linearer Systeme im Zeitbereich Beschreibung linearer Systeme im Frequenzbereich Darstellung Systeme von Regelstrecken PT 1, PT-n, IT 1, IT-n, Totzeitelement, Sondersysteme Systeme 2. Ordnung Blatt 10. 2 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Themen der Systemtheorie Gliederung der Vorlesung 24. 06. 2003 01. 07. 2003 08. 07. 2003 15. 07. 2003 22. 07. 2003 Juni 2003 / Systemtheorie Einführung PID-Regler und Ableitung der gebräuchlichen Regler (P, PI, PD, PID) aus PID-Regler Geschlossener Regelkreis Führungs- und Störübertragungsverhalten Stabilität / Begriffe und Stabilitätskriterien Absolute und relative Stabilitätskriterien Stabilität im Bodediagramm Phasen- und Amplitudenreserve Klausurvorbereitung Rechenübung / Beispiele / Fragestunde / Anwendungsbeispiele / Stoffvertiefung keine Vorlesung Blatt 10. 3 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übertragungsverhalten der Regeleinrichtung w e x Regeln GR(s) z Regelstrecke y GS(s) x Messen GM(s) Übertragungsverhalten der Regel. Einrichtung unbekannt: • PID-Regler • PI-Regler • PD-Regler Juni 2003 / Systemtheorie Übertragungsverhalten der Regel. Strecken ist bekannt: • PT 1 bis PTn-Glieder • PT 2 S (schwingfähige Systeme) • IT 1 Glieder • DT 1 Glieder Blatt 10. 4 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Reglerverhalten Aufgabe der Regeleinrichtung • Beeinflussung des statischen und dynamischen Verhaltens des geschlossenen Regelkreises (im Sinne dass der vorgegebene Sollwert sicher und dauerhaft erreicht wird). • Reglerübertragungsfunktion GR(s) wirkt auf Regelstrecke GS(s) Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises: geschlossener Regelkreis offener Regelkreis Damit beeinflusst die Übertragungsfunktion des Reglers das GesamtÜbertragungsverhalten sowohl des offenen als geschlossenen Regelkreises Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 5 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Wie sieht eine Reglerübertragungsfunktion aus? Ein analog arbeitender Regler setzt sich aus gleichen Standardelementen zusammen, aus denen aus Regelstreckenelemente beschrieben werden. Als Basiselemente werden für ideale Regler P- Übertragungsverhalten I- Übertragungsverhalten D-Übertragungsverhalten Zur Abbildung von realen technischen Regler sind zusätzlich zeitverzögernde Elemente (DT 1) zu berücksichtigen. Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 6 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übersicht von Reglerübertragungsfunktionen Ideale Regler: • Einführung des allgemeinen PID-Reglers • Ableitung unterschiedlicher Reglerkombinationen (P, I, D, PI, PD, PID) • Darstellungsvarianten des allgemeinen idealen PID-Regler additive Form multiplikative Form Die Darstellung der additiven und multiplikativen Form lässt sich ineinander überführen. Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 7 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Regler mit seinen Kenngrößen Idealer PID-Regler (additive Form): Regler besteht aus P, I und D-Anteil (3 Funktionen) KP e KI/s y e KP 1/s. Tn y s. Tv KDs Rücktransformation Zeitbereich: Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 8 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Reglerbetrachtung Der ideale PID-Regler ist als Parallelschaltung aus 3 Funktionsblöcken für P, I und D-Regelanteil zusammengesetzt. Die resultierende Übertragungsfunktion ist Der Zählergrad ist höher als der Nennergrad, damit ist der ideale PID-Regler technisch nicht realisierbar. Der ideale PID-Regler liefert dafür sehr schnell Ergebnisse über den Einfluss des Reglers für den Regelkreis. Hardwareregler erlauben die Einstellungen der Größen K P, TN und TV. Es bestehen folgende Beziehungen: TN = KP/KI und TV = KD/KP Juni 2003 / Systemtheorie Die Einstellwerte des Reglers sind KP, TV, TN Blatt 10. 9 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PID-Regler Modifizierung Übertragungsfunktion Übergangsfunktion (Sprungantwort) des PID-Reglers Anteile PID-Reglers: P-Anteil: h. P(t) = KP, t > 0 D-Anteil: h. D(t) = KPTV (t) t = 0 I-Anteil: h. I(t) = KPt/TN Quelle Walter Kompaktkurs Regelungstechnik Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 10 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Pol-Nullstellenverteilung PIDRegler GR(s) = KP[1 + 1/s. TN + s. TV] = KP[1 + s. TN + s 2 TNTV]/s. TN Polstelle für s=0 Nullstellen für sn 1, 2 = -1/2 TV [ 1 (TN-4 TV)/TN ] Die Nullstellen sind für TN > 4 TV reell. GR(j ) = KP[1 + 1/(j TN)+ j TV] GR(j ) = KP[1 – j(1 - 2 TNTV)/ TN] Quelle Walter Kompaktkurs Regelungstechnik Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 11 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Umformung Übertragungsfunktion idealer PID-Regler Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 12 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Umformung Übertragungsfunktion idealer PID-Regler Lösung nur für TN > 4 TV Negative Zeiten ergeben physikalisch keinen Sinn. Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 13 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PID-Regler Berechnungen Sind die Einstellwerte KP, TN und TV gegeben: damit Berechnung von T 1, T 2 möglich (für Bodediagramm) Sind T 1 und T 2 aus Bodediagramm bekannt, damit Berechnung von TN und TV möglich für Reglerparametrierung Frequenzgang des PID-Reglers: • Ersetzen s durch jw • Betragsbestimmung • Phasenbestimmung • Erstellen des Bodediagramms Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 14 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PID-Regler Berechnungen Frequenzgang: Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 15 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Bodediagramm PID-Regler Quelle Walter Kompaktkurs Regelungstechnik Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 16 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Bodediagramm PID-Regler Beispiel: T 1 = 1 s T 2 = 10 s TN = 11 s K=5 Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 17 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Bodediagramm PID-Regler Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 18 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswertungen Bodediagramm Minimale Verstärkung bei Min = 1/ TNTV = 1/ T 1 T 2 Mit Amin = 20 log KP TN = T 1 + T 2 > T 1, T 2 Polstelle bei 1/TN : kommt immer vor erster Nullstelle. Damit immer gleicher Verlauf des Bodediagramms für idealen PIDRegler gegeben. Die Zeitpunkte bzw. Eckfrequenzen für den charak. Teristischen Verlauf sind von den Einstellparametern des Reglers TN, TV sowie KP abhängig. Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 19 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Umrechnung PID-Regler von additiver in multiplikativer Form Vereinbarungen: Additive Form multiplikative Form Umrechnungen • Von additiver in multiplikativer Form • Von multiplikativer in additive Form Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 20 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Umrechnung PID-Regler von additiver in multiplikativer Form Umrechnungen Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 21 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ableitung einfacher Regler aus dem idealen P-Regler Ideale Regler • P-Regler Nur proportional wirkender Regler • I-Regler Reiner integrierend wirkender Regler • PI-Regler Proportional und integrierend wirkender Regler • PD-Regler Proportional und differenzierend wirkender Regler Realer Regler • Realer PID (PIDT 1) Regler Proportional, integrierend und differenzierend wirkender Regler • Realer PI-Regler • Realer PD-Regler Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 22 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

P-Regler Idealer PID-Regler: mit X X GR(s) = Y(s)/E(s) = KP + KI/s + KDs e KP X 1/s. Tn y e X KP y s. Tv Rücktransformation Zeitbereich: y(t) = Kpe(t) + KI e(t)dt + KDde/dt X Juni 2003 / Systemtheorie X Blatt 10. 23 Der P-Regler reagiert auf eine Regeldifferenz: • unverzögert (schneller Regler) • Stellgröße proportional zu e © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

P-Regler Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 24 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Eigenschaften des P-Reglers statistische Betrachtung w e - Regeln GR(s) y Z=0 Regelstrecke GS(s) x x Stationärer Fehler: • Regeldifferenz im eingeschwungenen Zustand • e(t -> ) = lim {s W(s) 1/(1+GRGS)} • Testsignal Sprungsfunktion mit W(s) = 1/s • e(t -> ) = lim {1/(1+GRGS)} = 1/(1+GR(0)GS(0)) Resultat für P-Regler: • e(t -> ) = 1/(1+Kp. GS(0)) 0 Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 25 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

I-Regler Idealer PID-Regler: mit X X GR(s) = Y(s)/E(s) = KP + KI/s + KDs e e X KI/s KP y X s. Tv Rücktransformation Zeitbereich: y(t) = Kpe(t) + KI e(t)dt + KDde/dt X Juni 2003 / Systemtheorie X Blatt 10. 26 KI/s y Der I-Regler reagiert auf eine Regeldifferenz: • Unverzögert (langsamer Regler) • Stellgröße wirkt integrierend zu e. • Änderungsgeschwindigkeit y ist proportional zu e © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

I-Regler Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 27 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Eigenschaften des I-Reglers statistische Betrachtung w e - Regeln GR(s) y Z=0 Regelstrecke GS(s) x x Stationärer Fehler: • Regeldifferenz im eingeschwungenen Zustand • e(t -> ) = lim {s W(s) 1/(1+GRGS)} • Testsignal Sprungsfunktion mit W(s) = 1/s • e(t -> ) = lim {1/(1+GRGS)} = 1/(1+GR(0)GS(0)) Resultat für P-Regler: • e(t -> ) = 1/(1 + KI/s GS(0)) = s/(s + KI GS(0)) = 0 Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 28 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PI-Regler Idealer PID-Regler: mit X GR(s) = Y(s)/E(s) = KP + KI/s + KDs e KP KI/s Der PI-Regler kombiniert die Eigenschaften des P und I-Reglers • unverzögert (schnell über P) • unverzögert (langsam über I) • fortlaufende Verstellung von y. solange e 0 • Kennwerte PI sind Kp und TN y X s. Tv Rücktransformation Zeitbereich: y(t) = Kpe(t) + KI e(t)dt + KDde/dt = Kp[e(t) + 1/TN e(t)dt X Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 29 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PI-Regler Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 30 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Idealer PD-Regler Idealer PID-Regler: mit X GR(s) = Y(s)/E(s) = KP + KI/s + KDs e KP X KI/s Der PD-Regler kombiniert die Eigenschaften des P und D-Reglers • unverzögert (schnell über P) • unverzögert (sehr schnell über Änderung von e). • Stationärer Fehler 0 y s. Tv Rücktransformation Zeitbereich: y(t) = Kpe(t) + KI e(t)dt + KDde/dt = Kp[e(t) + Tvde(t)/dt] X Sprungantwort: Juni 2003 / Systemtheorie y(t) = Kp[1 + Tv (t)] Blatt 10. 31 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Idealer PD-Regler G(s) = KP (1 + s. TV) Juni 2003 / Systemtheorie Blatt

Realer PD-Regler PDT 1 -Regler Der reale PD Regler entsteht aus dem idealen PD-Regler durch Ergänzung mit einem Verzögerungsglied 1. Ordnung GPD(s) = KP (1 + s. TV) -> GPDT 1(s) = KP (1 + s. TV) / (1 + s. T 1) y(t) = Kp[e(t) + Tvde(t)/dt] -> T 1 dy(t)/dt + y(t) = Kp[e(t) + Tvde(t)/dt] Sprungantwort h(t) = Kp[1 + Tv (t)] Juni 2003 / Systemtheorie -> h(t) = KP[1 - (1 -TV/T 1)e-t/T 1] Blatt 10. 33 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

PD-Regler Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 34 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Realer PID-Regler PIDT 1 -Regler Idealer PID-Regler: mit GR(s) = Y(s)/E(s) = e KP KI/s KP + KI/s + KDs/(1+s. T 1) = KP{1 + s(T 1+TN) + s 2 TN(T 1+TV)}/(s. TN(1 + s. T 1)) y. s. Tv/(1+s. T 1) GR(s) = Y(s)/E(s) = KP {1 + s(T 1+TN) + s 2 TN(T 1+TV)}/(1 + s. T 1) Y(s) + s. T 1 Y(s) = KP {1/s. TNE(s) + (T 1+TN)/TNE(s) + s(T 1+TV)E(s)} Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 35 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Realer PID-Regler PIDT 1 -Regler Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 36 © Prof.

Realer PID-Regler Sprungantwort aus Summation der einzelnen Bestandteile: Y(t) = KP [1 + t/TN + TV/T 1 e-t/T 1] Juni 2003 / Systemtheorie Blatt 10. 37 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel