Vorlesung Regelungstechnik 2 Kompensationsregeln fr digitale Regelkreise DeadBeatRegelung
Vorlesung Regelungstechnik 2 Kompensationsregeln für digitale Regelkreise Dead-Beat-Regelung Einführung Zustandsregelung 18. Juni 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 1 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Digitale Regelungstechnik Schwerpunkt heute: • Digitale Reglereinstellung unter Anwendung von Kompensationsregeln (Dead-Beat-Regelung) • Einführung Zustandsregelung (Zustandsraum) Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 2 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Zusammenfassung bisheriger Ergebnisse • Aufbau und Elemente des digitalen Regelkreises • Tabellen für Angabe von Reglerübertragungsfunktionen GR(z) (PID, P, I, PD mit Unterscheidung I-Algorithmus) • Umrechnungstabellen für Angabe von Streckenübertragungsfunktionen GS(z) • Bestimmung Gesamtübertragungsfunktionen (Führungs-, Störverhalten, Berechnung von stationären Endwerten) • Stabilität (Polstellenanalyse von Übertragungsfunktionen) • Reglerauslegung quasi-kontinuierlich: analoge. Reglerauslegungmit. Umrechnung nach Tabelle Einstellregeln im Zeitbereich: Direkte Bestimmung nach Tabelle Einstellung nach Kompensations. Thema heute regeln: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 3 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Kompensationsverfahren für digitale Regelkreise Prinzip der Kompensation z. B. Reglerauslegung nach dem symmetrischen Optimum Ideales Regelverhalten dann, wenn sich das Gesamtsystem wie 1 verhält. Dann gilt x(t) = w(t). Die Ausgangsgröße verhält sich genau wie die Führungsgröße. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 4 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Kompensationsverfahren für digitale Regelkreise Ideales Regelverhalten dann, wenn das Gesamtsystem wie 1 verhält. Dann gilt x(t) = w(t). Die Ausgangsgröße verhält sich genau wie die Führungsgröße. Umstellung nach GR. Ideales Verhalten führt dann zu GR -> Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 5 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Kompensationsverfahren für digitale Regelkreise Für reale Regelstrecken und reale Regler gilt immer, dass der Grad der Zählerpolynoms stets <= dem Grad des Nennerpolynoms ist. Systeme mit Zählergrad größer als Nennergrad sind nur idealisierte Systeme idealer PD-Regler realer PD-Regler Fazit: Für reale Regelkreise lässt sich die Kompensation der Regelstrecken nicht vollständig erreichen. Die Kompensation kann nur näherungsweise erfolgen. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 6 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Kompensationsverfahren für digitale Regelkreise Beispiel Betragsoptimum (Wendt, S. 419) Die Übertragungsfunktion eines Kompensationsreglers enthält die reziproke Übertragungsfunktion der Regelstrecke und einen Term, der sich aus realisierbaren Neben. Bedingungen ergibt. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 7 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Dead-Beat-Regler Bei digitalen Kompensationsreglern ist die Idee, dass die Regelgröße in endlicher Zeit exakt den Wert des Führungssollwertes übernommen hat und beibehält. Regelung mit dieser Eigenschaft bezeichnet man als Regelung mit Endlicher Einstellzeit oder Dead-Beat-Regelung. Herleitung der Reglereinstellung: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 8 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Dead-Beat-Regler Reale Regelstrecke sind nicht sprungfähig, daraus ergibt sich für die Herleitung folgende Randbedingung x(0) = 0. Beispiele PT 1 -System PT 2 -System Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 9 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Dead-Beat-Regler Ziel des Dead-Beat-Reglers: Bei Anregung mit einer Sprungfunktion soll der Regler zu folgendem Verhalten führen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 10 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Dead-Beat-Regler Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 11 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Dead-Beat-Regler Ziel des Dead-Beat-Reglers: Bei Anregung mit einer Sprungfunktion soll der Regler zu folgendem Verhalten führen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 12 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Dead-Beat-Regler Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 13 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Dead-Beat-Regler Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 14 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Zusammenfassung Dead-Beat-Regler Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 15 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Zusammenfassung Dead-Beat-Regler Vorgehensweise und Bestimmung der Reglerkennwerte Kasten S. 534, Wendt Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 16 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiele Beispiel Analoger Regelkreis mit IT 1 -Strecke Gesucht ist die Dead-Beat-Reglereinstellung des Reglers Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 17 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiele Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 18 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiele Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 19 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
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Beispiele Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 21 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiele Wendt, Tabelle 11. 7 -1, S 539 ff. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 22 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
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Zustandsraum Literatur: • Gerhardt Stefan: Systemtheorie II: Zustandsraumverfahren Skript Sommersemester 2002 • Lutz, Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, Kapitel 12 • Unbehauen: Regelungstechnik I und II, Vieweg Verlag Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 26 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Zustandsraum Allgemeines: • Methoden der klassischen Regelungstechnik basieren auf die Beschreibung von Übertragungssystemen für jeweils eine Eingangs- und Ausgangsgröße. • Die Lösung erfolgt für zeitinvariante und lineare Systeme unter Anwendung der Laplace-Transformation in der s-Ebene. Die zugrundeliegende Differentialgleichung wird in eine algebraische Gleichung überführt. • Zustandsbeschreibung ist eine allgemeine Beschreibungsform im Zeitbereich, die für mehrere Ein- und Ausgangsgrößen sowie auch für zeitvariante und nicht lineare Systeme angewendet werden kann. • Zustandsgrößen erlauben zudem die Berechnung von inneren Größen, welche den Zustand eines Systems und nicht nur sein Ein- Ausgangsverhalten beschreiben. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 27 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiel und Gegenüberstellung Übertragungsverhalten einer Gleichstrommaschine Bild 2. 1. 1, Seite 2, Gerhard Bild 2. 1. 2, Seite 3, Gerhard Ersatzschaltbild und Systemtechnisches Bild Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 28 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiel und Gegenüberstellung Übertragungsverhalten einer Gleichstrommaschine Mathematisches/physikalisches Modell durch Bilanzierung und Anwendung grundlegender Gesetze. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 29 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiel und Gegenüberstellung Übertragungsverhalten einer Gleichstrommaschine Signalflussplan Bild 2. 1. 3 Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 30 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiel und Gegenüberstellung Übertragungsverhalten einer Gleichstrommaschine Übertragungsfunktion zur Beschreibung des Ein- und Ausgangsverhaltens: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 31 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiel und Gegenüberstellung Zustandsgrößendarstellung Bei der Zustandsgrößendarstellung werden die inneren Systemgrößen betrachtet. Die Systemgrößen kennzeichnen den Systemzustand. Die kleinste Anzahl der Systemgrößen xi(t) heißen Zustandsgrößen. Voraussetzung ist: • Eingangsgrößen sind bekannt sowie die • Anfangswerte der Systemgrößen. Die Anzahl der Zustandsgrößen gibt die Ordnung des Systems an. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 32 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiel und Gegenüberstellung Allgemeine Zustandsgrößendarstellung Festlegungen: Anzahl der Eingangsgrößen: p Anzahl der Ausgangsgrößen: q Anzahl der Zustandsgrößen: n Damit liegt die Struktur fest, über welche Gleichungssysteme diese Abhängigkeit beschrieben wird. Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 33 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiel und Gegenüberstellung Allgemeine Zustandsgrößendarstellung: Es gelten allgemein folgende lineare Zustandsdifferentialgleichungen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 34 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiel und Gegenüberstellung Vereinfachte Schreibweise der Zustandsdifferentialgleichung durch Einführung von Matrizen und Vektoren: Einsetzen in die Zustandsdifferentialgleichung liefert dann folgende Darstellung -> Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 35 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiel und Gegenüberstellung Vektorielle Darstellung der Zustandsdifferentialgleichung Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 36 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Allgemeine Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 37 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Allgemeine Darstellung graphische Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 38 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Allgemeine Darstellung Für lineare Systeme gelten folgende Zustandsgleichungen: Aufbau / Benennung der Vektoren und Matrizen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 39 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Allgemeine Darstellung Beispiel System 3. Ordnung jeweils eine Ein- und Ausgangsgröße: -> n = 3 -> p = 1, q = 1 Aufbau der Vektoren/Matrizen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 40 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Allgemeine Darstellung für einfache Systeme Einfache Systeme mit nur einer Eingangs- und Ausgangsgröße ergibt sich folgende vereinfachte Zustandsgrößenbeschreibung: Für nicht sprungfähige Systeme ist d=0 Bild 2. 1. 5 Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 41 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Aufstellen von Zustandsgleichungen Beispiel Gleichstrommaschine: Allgemeine Form für Übertragungssysteme: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 42 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Aufstellen von Zustandsgleichungen Für allgemeinen Fall mit n=m gilt: Bild 2. 2. 1 Zustandsgröße x 1 Festlegung der weiteren Zustandsgrößen: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 43 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Aufstellen von Zustandsgleichungen Herleitung der Gleichungen Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 44 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Aufstellen von Zustandsgleichungen Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 45 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Aufstellen von Zustandsgleichungen Signalflussplan: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 46 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
Beispiel Gleichstrommaschine Aufstellen der Zustandsgleichung nach der Regelungsnormalform: Juni 2003 / Regelungstechnik 2 Blatt 6. 47 © Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel
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