Vorlesung Regelungstechnik 1 Nicht lineare Regelungen 21 Januar

Vorlesung Regelungstechnik 1 Nicht lineare Regelungen 21. Januar 2003 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 1 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Bisherige Themen Regelungstechnik 1 Themen bisher: • Zusammenfassung Ergebnisse Systemtheorie (P, PTn, ITn, PID, Tt-Systeme) • Darstellungsformen der Systemtheorie (DGL, G, h, g, GW, GZ, Bode, PN, Ortskurve) • Methoden und Verfahren zur Einstellung von Reglern / Reglersynthese im Zeitund Frequenzbereich (Ziegler, Symmetrisches Optimum, Betragsoptimum) Anwendungsbereich/Einschränkung: • Analog arbeitende Systeme • Lineare Systeme • Zeitinvariante Systeme Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 2 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lineare / nicht lineare Systeme LTI-Systeme ist Voraussetzung für die bekannte einheitliche geschlossene Theorie (Systemtheorie): • Zeitliches Verhalten mit linearen Differentialgleichungen • Anwendung der Laplace-Transformation • Vorhersage des statischen und dynamischen Verhaltens • Getrennte Bestimmung des Führungsgrößen- und Störgrößenverhaltens. Nichtlineare Systeme: System ist linearisierbar: • Linearisierung durchführen • Rückführung auf LTI-System mit Anwendbarkeit der obigen Kriterien Januar 2003 / Regelungstechnik System nicht linearisierbar: • Lösung nur im Zeitbereich • Nicht lineare Dgls. • Nicht immer lösbar Blatt 10. 3 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Definition der Linearität Für lineare Systeme gilt das Superpositionsprinzip: Genaue Definition der Linearität umfasst zwei Kriterien: • Verstärkungsprinzip • Überlagerungsprinzip (Superpositionsprinzip) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 4 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Definition der Linearität Verstärkungsprinzip Superpositionsprinzip Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 5 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel für lineares System P-System Überprüfung der Linearitätsbeziehungen: • Verstärkungsprinzip • Superpositionsprinzip Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 6 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Definition lineares System Ein System ist dann linear, wenn es die Linearitätsprinzipien erfüllt: Alle Übertragungselemente, für die das Linearitätsprinzip nicht gilt, sind nichtlineare Übertragungselemente und haben nichtlineares Verhalten. Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 7 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Linearisierung nichtlinearer Systeme Analytisches Verfahren: Graphisches Verfahren: Y = f(U, Z) = Z 2/U + B Arbeitspunkt Yo; Zo; Uo; Gesucht: y = Ku u + Kz z Ku = f(U, Z)/ U für Uo; Zo Ku = -Zo 2/Uo 2 Ku = f(U, Z)/ U für Uo; Zo Ku = ΔYu/ΔU für Zo Kz = f(U, Z)/ Z für Uo; Zo Kz = 2 Zo/Uo Kz = f(U, Z)/ Z für Uo; Zo Kz = ΔYz/ΔZ für Uo y = -Zo 2/Uo 2 u + 2 Zo/Uo z y = Ku u + Kz z Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 8 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lineares / Nicht lineares System Beispiel Bild 14. 1 -1, Wendt, S. 704 Verstärkungsprinzip: Superpositionsprinzip: Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 9 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Eigenschaften lineare / nicht lineare Systeme Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 10 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Eigenschaften nichtlinearer Regelsysteme Bei nicht linearen Systemen hat das Linearitätsprinzip keine Gültigkeit. Im nicht linearen System gilt das Verstärkungsprinzip nicht. Das nicht lineare System wirkt entsprechend seiner Begrenzung: • Linear im Linearitätsbereich • Nicht linearer – begrenzend außerhalb des Linearitätsbereich Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 11 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel 10 Januar 2003 / Regelungstechnik 1: 1 Blatt 10. 12 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel PT 1 mit P-Regler Zeit = T/2 (oben) PT 1 mit Nichtlinearität Zeit = T (unten) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 13 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel Lösung für Sprung 1. 5 mit Sättigung bei 1 : 1 Zusammengesetzte Lösung Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 14 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Allgemeine Lösungsstrategie • Der Arbeitsbereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes wird in Bereiche eingeteilt, in denen eine lineare Beziehung für den Zusammenhang von Ein- und Ausgangsgröße gefunden werden kann. • Für jeden dieser Bereiche wird der funktionale Zusammenhang von Einund Ausgangsgröße des Gesamtsystems bestimmt. (Ziel: Handelt es sich eventuell um ein bekanntes Standardübertragungsverhalten? ) • Soweit möglich, wird die Eingangsgröße des nichtlinearen Übertragungsgliedes in die grafische Darstellung (Zeitverläufe w, e, x) eingetragen und es werden die definierten Bereiche markiert. • Die Anfangswerte aller zu zeichnenden Größen werden bestimmt (t=0). Damit liegt fest, in welchem Bereich des nichtlinearen Übertragungsgliedes sich das System befindet. Der Zeitverlauf wird für jeden Bereich ermittelt und eingezeichnet. Bei Bereichswechsel sind die Start-(Anfangswerte) mit zu berücksichtigen. Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 15 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Anwendungsbeispiel w e y x Folgender Fall ist zu untersuchen: • Nichtlineares System mit Sättigungsbereich bei 1: 1 • Sprungfunktion Sollwert w(t) = 1. 5 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 16 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösung (1) Nicht Linearität Element mit Begrenzung Bild Nr. 27 eingerahmter Kasten, Wendt, S. 770 oben Ableitung der Kennlinienbeschreibung Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 17 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösung (2) Lösung für e > 1: Aus Kennlinie folgt y = 1 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 18 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Lösung (3) Lösung für – 1 < e < 1: Aus Kennlinie folgt y=e Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 19 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Erstellen der Diagramme Übergang der beiden Fälle beim Durchgang beim Amplitudenwert 0. 5 bei t = 0. 69 s Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 20 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Erstellen der Diagramme Übergang der Kennlinie Für t>0. 69 s findet der Übergang vom Konstanten auf den linearen Bereich der Kennlinie statt. Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 21 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Führungs- und Störübertragungsverhalten können nicht getrennt voneinander betrachtet werden. Getrennte Überlagerung liefert andere Werte als bei gemeinsamer Berücksichtigung Bild 14. 1 -5, Wendt, S. 710 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 22 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild 14. 1 -6, Wendt, S. 711 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 23 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild 14. 1 -7, Wendt, S. 711 Führungsverhalten Superposition Gleichzeitige Berücksichtigung von w Und z Störübertragungssverhalten Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 24 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Bei linearen Systemen können bei Reihen. Schaltung von Systemen die Übertragungssysteme getauscht werden. Bild 14. 1 -8, Wendt, S. 711 Bei nicht linearen Systemen führt dies zu falschen Ergebnissen Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 25 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Bild 14. 1 -9, Wendt, S. 711 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 26 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 27 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Auswirkungen nicht linearer Systeme Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 28 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB) Schaltbild Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 29 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB) Schaltbild Bild 14. 1 -12, S. 714 oben Bild 14. 1 -13, Wendt. S. 715 Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 30 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel nicht lineares System mit Dreipunktregler (MATLAB) Zeitverläufe Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 31 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Grundtypen nicht linearer Funktionen Folgende Grundtypen sind unterscheidbar: • Analytische Funktionen Funktionale Zusammenhänge sind definiert y = sin(t), y = x 2 Funktionen sind stetig und differenzierbar. Linearisierung nach Taylorreihenentwicklung im Arbeitspunkt möglich. • Stückweise lineare Funktionen Unstetigkeit im Funktionsverlauf und der Ableitung. Zweipunktregler (ideal) Beschreibung erfolgt durch stückweise linearisierte Funktionen • Mehrdeutige Funktionen Nicht eindeutige Verläufe (z. B. Hysterese, Umkehrspanne) Bei nicht eindeutigen Verläufen ergibt sich der richtige Wert aus der Historie Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 32 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiele für nicht lineare Funktionen Stückweise lineare Funktion Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 33 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiele für nicht lineare Funktionen Übersicht nicht linearer Funktionen • Schaltende Elemente (Zwei-, Dreipunktregler) • Schaltende Elemente mit Hysterese (Zwei-, Dreipunktregler) • Elemente mit progressiver Kennlinie (Verstärkung wächst mit der Eingangsgröße) • Elemente mit degressiver Kennlinie (Verstärkung fällt mit der Eingangsgröße) • Elemente mit Begrenzung (Sättigung) • Elemente mit Hysterese ohne Begrenzung • Elemente mit Hysterese mit Begrenzung (Sättigung) Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 34 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zweipunktregler mit PT 1 Strecke Betrachtung einer PT 1 -Strecke mit • Zweipunktregler mit Hysterese Schaltdifferenz xd PT 1 -Strecke ohne Totzeit • Zweipunktregler mit Hysterese Schaltdifferenz xd PT 1 -Strecke mit Totzeit • Variation der Schaltdifferenz • Variation der Stellgröße • Variation der Streckenzeitkonstanten Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 35 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zweipunktregelkreis / Zeitverlauf t = 0 / Startwert: 0°C neuer Sollwert w : = 450°C w z Regelstrecke Zweipunktregler y y x ein KS : = 2, 83°C/m 3/h TS : = 10 min yh : = 300 m 3/h xsd : = 6°C (± 3°C) Ofen KS; TS aus x Zeitverlauf: xob für y : = yh gilt: x(t) = 850°C(1 -e-t/Ts) solange bis x(t) : = xob (453°C) t 1 = -TS ln(1 -453/850) = 7, 61 min t 3 = TS ln((850 -447)/(850 -453)) = 0, 15 min xun für y : = 0 gilt: x(t‘) = 850°C(e-t‘/Ts) solange bis x(t) : = xun (447°C) t 2 = TS ln(453/447) = 0, 13 min yh t 1 Ergebnis: • pendelnde Regelgröße zwischen xob& xun • Regelgenauigkeit Schaltdifferenz • Wert yh ist höher als für w erforderlich • Wert 0 ist kleiner als für w erforderlich • vorhandene Leistungsreserve t 2 t 3 Januar 2003 / Regelungstechnik Benedikt Faupel Blatt 10. 36 Oktober 2001

Berechnungen • Auswirkungen der Schaltdifferenz bei Varianz des Sollwertsprunges (w = 1, 2, . . . , 10) Schaltdifferenz 2 • Der Zweipunktregler steuert die Regelstrecke mit 2 definierten Stellgrößen yh und 0. Yh ist so gewählt, dass ein sehr großer Sollwert erreicht werden kann. (z. B. Gasstrom so hoch, dass bei permanenten Betrieb 800 °C erreicht werden kann. ) • Aufheizung / Fahrweise mit hoher Stellgröße solange, bis gewünschter Sollwert erreicht wird. • Stellgröße 0 für Überschreiten des Sollwertes Abfallen der Regelgröße mit erreichtem Endwert (Aufheizvorgang) mit gleicher Zeitkonstante • Schaltendes periodisches Verhalten des Regelkreises Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 37 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Optimierung des Zweipunktregelkreises Optimierung / Einflussgröße Massnahme Zu große Regelabweichung Xob / xun Einsatz Zweipunktregler mit reduzierter Schaltdifferenz Xsd Höhere Schaltfrequenz / Reduzierung der Reglerlebensdauer Halbierung der Zeitkonstanten TS -> TS/2 kleine Zeitkonstante -> höhere Schaltfrequenz Zeitkonstante Regelstrecke TS Auswirkung Ergebnis Prüfung der Schalthäufigkeit bei Reglerauswahl Januar 2003 / Regelungstechnik Benedikt Faupel Blatt 10. 38 Oktober 2001

Berechnung der Schaltfrequenz Annahme Leistungsüberschuß 100 % w : = xmax/2 Verhältnisgleichheit Winkel α w xmax / 2 TS = 2 xsd / T f. S : = 1/T f. S = ¼ xmax/xsd 1/TS Herleitung Regelgröße: X(t) = Ksyh(1 -e-t/Ts) Zeitpunkt t 1: x(t=t 1) t 1 = xmax/2 = ½ Ks yh = TS ln(2) Anstieg im Punkt x(t 1): dx(t)/dt = Ks yh / TS e-t/Ts dx(t 1)/dt = Ks yh / TS e-t 1/Ts = Ks yh / 2 TS = xmax / 2 TS Januar 2003 / Regelungstechnik Benedikt Faupel Blatt 10. 39 Oktober 2001

Einfluß der Leistungsreserve auf den Zeitverlauf Annahmen: • Zweipunktregler mit Xsd : = 0 • Regelstrecke (PTn)mit Tu und TG • Xpa Regeldifferenz; ΔX Schwankungsbreite Tein/T = ¾ ΔX Fallbeispiele: Stellbereich 100% • Dauereinschaltung • Sollwert = x. Max / Endwert w • Stellgröße ausreichend für Erreichen von w Stellbereich 125% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 4 • xpa positiv • Sollwert > xm / Endwert 1, 25 w Stellbereich 200% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1 • xpa = 0 • Sollwert = xm / Endwert 2 w Tein/T = ½ Januar 2003 / Regelungstechnik Benedikt Faupel Stellbereich 500% • Einschaltdauer / Ausschaltdauer = 1/4 • xpa negativ • Sollwert < xm / Endwert 5 w Tein/T = ¼ Blatt 10. 40 Oktober 2001

Zweipunktregler mit PT 1 Strecke Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 41 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zweipunktregler mit PT 1 Strecke Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 42 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Zeitverhalten mit PT 1 -Strecke mit Totzeit und Schaltdifferenz Januar 2003 / Regelungstechnik Blatt 10. 43 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel