Vorlesung Prozessidentifikation Systeme 2 Ordnung Semesterabschlu 10 Juli

Vorlesung Prozessidentifikation Systeme 2. Ordnung / Semesterabschluß 10. Juli 2002 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 1 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Parameterschätzung Identifikationsaufgabe Störeinflüsse u(t) System Nicht bekannt um(t) ym(t) Modell Juli 2002 / Prozessidentifikation y(t) Blatt 13. 2 e(t) Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Ergebnis Rekursive Parameterschätzung ^Bk+1 = ^Bk + Pkxk+1(xk+1 TPkxk+1+1)-1 {yk+1 T - xk+1 T ^Bk} Pk+1 = Pk - Pkxk+1(xk+1 TPkxk+1+1)-1 xk+1 T Pk Damit kann ^Bk+1 kann damit aus ^Bk Pk xk+1 und yk+1 ermittelt werden. ^Bk+1 = f(^Bk, Pk, xk+1, yk+1) Ergebnis beinhaltet: Pk = (Xk. TXk)-1 für Auswertung von k-Messwertpaaren xk+1 T zusätzliche Zeile des X-Vektors unter Berücksichtigung eines weiteren Messwertes (x-Werte und Operationen) yk+1 zusätzliche Zeile des Y-Vektors unter Berücksichtigung eines weiteren Messwertes (y-Wert) ^Bk Schätzvektor unter Auswertung von k-Messwertpaaren Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 3 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Anwendung der rekursiven Regressionsformel ^B 1 = (X 1 TX 1)-1 X 1 TY 1 = P 1 X 1 TY 1 ^B 2 = ^B 1 + P 1 x 2(x 2 TP 1 x 2+1)-1 {y 2 T – x 2 T ^B 1} Start für k=1 1. Iteration P 2 = P 1 – P 1 x 2(x 2 TP 1 x 2+1)-1 x 2 T P 1 ^B 3 = ^B 2 + P 2 x 3(x 3 TP 2 x 3+1)-1 {y 3 T – x 3 T ^B 2} 2. Iteration P 3 = P 2 – P 2 x 3(x 3 TP 2 x 3+1)-1 x 3 T P 2 Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 4 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Beispiel für rekursive Rekursion Gegeben: Gesucht: Lösung: Datensatz: (1, 1) (1, 0) (2, 0) Math. Modell / Funktion mit Abstand der Punkte zur Kurve nach minimalem Fehlerquadrat optimiert. Parameterschätzung nach Regressionsformel unter Berücksichtigung aller Messwerte (One-Shot) Parameterschätzung nach rekursiver Regressionsformel mit Start k=1. Modellansatz y(k) = ax(k) Lösung Tafel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 5 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Systeme 2. Ordnung Zusammenhang Pol- Nullstellenverteilung / Bodediagramm Fallunterscheidungen • D>1 • D=1 • 0<D<1 • D=0 Untersuchung für Fall 0 < D < 1: • Betragsbildung für G(j ) • Phasenbestimmung • Wert für = 0 (1 -D 2) Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 6 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Bodediagramm System 2. Ordnung Quelle: ISS, Meyr, Aachen Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 7 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

NYQUIST-Kriterium Beurteilung der Stabilität des Regelkreise im Frequenzgang oder Orts. Kurve des offenen Regelkreis G 0. Vorteile: • Messkurve liegt oft vor • Anwendung auch für totzeitbehaftete Regelkreise Die Stabilität des Regelkreises: • Eigenschaft des Kreises selber • Keine Eigenschaft der Eingangs- oder Störgrößen Bild 7. 9 Walter, S. 152 Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 8 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Übertragungsfunktion G 0 Stabilitätsgrenze Charakteristisches Polynom ist 1+Go P(s) = 1+Go(s) = 0 -> Go(s) = -1 Stabilitätsgrenze ist dann gegeben wenn Go(s) = -1 wird Präziser: Re{Go(s)} = -1 und Im{Go(s)} = 0 Re{Go(j )} = -1 und Im{Go(j )} = 0 Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 9 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Stabilitätsgrenze Re{Go(j )} = -1 und Im{Go(j )} = 0 Diese graphische Darstellung stellt die Ortskurve von Go(j ) dar. Aus der Lage der Ortskurve zum Punkt (– 1, j 0) kann die Systemstabilität des geschlossenen Regelkreises beurteilt werden. Regel (vereinfachtes Nyquist-Kriterium): Ein Regelkreis ist dann stabil, wenn der kritische Punkt (-1, j 0) beim Durchlaufen der Ortskurve mit steigendem links liegt. Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 10 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Stabilitätsgrenze Weitere Aussagen & Größen: • Amplitudenreserve AR • Phasenreserve R • Phasendurchtrittsfrequenz D Interpretation der Größen: • Amplitudenreserve Faktor um den man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreis vergrößern kann, bis die Stabilitätsgrenze erreicht wird. • Phasenreserve positiv für stabile Systeme Entspricht der Phase mit dem ein Totzeitglied die Phase bis zur Stabilitätsgrenze weiterdrehen kann. Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 11 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Interpretation Für stabile Systeme gilt: AR > 1 und |Go(j )| < 1 Der kritische Punkt (-1, j 0) liegt links hiervon. Die Amplitudenreverse ist der Faktor mit dem man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises vergrößern, bis die Stabilitätsgrenze erreicht wird. Für instabilie Systeme gilt: AR < 1 und |Go(j )| > 1 Der kritische Punkt (-1, j 0) liegt rechts hiervon. Die Amplitudenreverse ist der Faktor mit dem man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises verkleinern (absenken) muß, um wieder die Stabilitätsgrenze zu erreichen. Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 12 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Vereinfachtes Nyquist-Kriterium im Bodediagramm Zusammenhang Ortskurve und Bodediagramm Der Punkt (– 1, j 0) bedeutet betragsmäßig 1 und Phase von – 180° Betrag 1 bedeutet A = 0 d. B Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 13 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel

Fälle Stabilitätsgrenze / Instabil und Stabil Wendt S. 233 Bild 7. 3 -1 Wendt S. 233 Bild 7. 3 -2 Wendt S. 234 Bild 7. 3 -3 Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13. 14 Prof. Dr. -Ing. Benedikt Faupel