Vom unendlich Kleinen Was Vomergibt Ganzen zum Fraktal

Vom unendlich Kleinen Was ? Vomergibt Ganzen zum Fraktal Thomas Westermann 6. Lange Nacht der Mathematik Hochschule Karlsruhe, 7. 5. 2010

Von Eisblumen …

… und anderen Formen Blumenkohl Blitz Blutgefäße der Niere

Ganze Zahlen 1, 2, 3; viele 1, 2, 3, 4, . . . , 9, 10, 11, . . . usw. Prinzip der natürlichen Zahlen: 1. Sie beginnen bei 1. 2. Zu jeder Zahl gibt es einen Nachfolger. Es gibt viele natürliche Zahlen N = {1, 2, 3, 4, . . . } Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . } natürliche Zahlen ganze Zahlen

Gebrochene Zahlen Q = {p/q: p Z und q N} gebrochenrationale Zahlen Problem: Was bleibt einem noch übrig, wenn man von seiner Hälfte ein Drittel abgeben muss? Lösung: TV-Quiz: Was erhält man, wenn man 50 durch einhalb teilt? a) 25 b) 50 c) 75 d) 100 BW-Antwort:

Noch mehr Zahlen? a b Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 c Beispiel: d 1 1 d 2 = 12 + 12 = 2

Was sind dies für Zahlen? Gebrochenrational? mit p und q teilerfremd? p 2 = 2 q 2 p 2 ist gerade p ist gerade 4 m 2 = 2 q 2 = 2 m p=2 m q ist gerade NEIN! Wenn keine gebrochenrationalen Zahlen, was dann? ?

Zahlenfolgen (an) n N = a 1, a 2, a 3, a 4, . . . , an, . . . 1. ) Explizites Bildungsgesetz: n 1 2 3 . . . 10 1000 an 0 1. 5 0. 666 . . . 1. 1 1. 001 CAS 2. ) Rekursives Bildungsgesetz konvergente Folgen: divergente Folgen: an a: besitzen Grenzwert a besitzen keinen Grenzwert

Reelle Zahlen = {gebrochenrationale Zahlen und Grenzwerte aller konvergenten Zahlenfolgen}

Berechnung von

Berechnung von Von kantiger Form zu glatter Struktur

Kreis: Von kantig zu rund Eigenschaften: - Anzahl der Linien geht gegen Unendlich - Länge der Einzellinien geht gegen Null - Umfang bleibt endlich! - Fläche bleibt begrenzt!

Von kantig zu kantiger Kochsche Schneeflocke CAS

Kochsche Schneeflocke

Zusammenfassung: Anzahl der Seitenlänge Umfang 3 a 3 a n=1 3 4 n=2 3 4 4 n 3 4 n Fläche A 0 +3 A 1 +3 4 An-1 +3 4 n-1 A 0 + A 0

Kochsche Schneeflocke Eigenschaften: - Anzahl der Linien geht gegen Unendlich - Umfang geht gegen Unendlich - Fläche bleibt begrenzt! Geometrische Eigenschaften - Gebilde entsteht durch eine Iteration (Rekursion) - Besitzt bei beliebiger Vergrößerung immer noch Feinstruktur - Selbstähnlich - Bei unendlichem Umfang doch beschränkter Flächeninhalt Objekte, welche die obigen Eigenschaften besitzen bezeichnet man als Fraktale (lat. fractus = gebrochen).

Sierpinski-Dreieck

Umfang pro Dreieck: Gesamtumfang: Fläche pro Dreieck: Gesamtfläche: Was unterscheidet die Kochsche Scheeflocke vom Sierpinski-Dreieck? Fraktale Dimension

Fraktale Dimension Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=3 Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=9 Skalierungsfaktor s=1/2 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=8 Allgemein: N: Anzahl der Teile s: Skalierungsfaktor

Berechnung der fraktalen Dimension Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=4 Skalierungsfaktor s=1/2 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=3 Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=2

Mandelbrot-Menge Iterationsvorschrift Man startet immer mit z 0=0. Die Konvergenz der Iteration hängt nur vom Parameter c ab. CAS Die Mandelbrot-Menge besteht aus der Menge von c-Werten, bei denen die Iterationswerte nach einer bestimmten Anzahl von Durchgängen (z. B. 100) einen vorgegebenen Betrag (z. B. 2) noch nicht überschritten haben.

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!! Und noch eine schöne Nacht!!

Ende