Volume da Esfera Consideremos um cilindro de raio

Volume da Esfera Consideremos um cilindro de raio da base r ( a altura é 2 r ) e seja S o ponto médio do eixo do cilindro. Tomemos dois cones tendo como bases as do cilindro e S como vértice comum ( a reunião desses dois cones é um sólido chamado Clépsidra ). Ao sólido que está dentro do cilindro e fora dos dois cones vamos chamar de sólido X ( este sólido X é chamado anticlepsidra ). h=2 r s r

Consideremos agora uma esfera de raio r e o sólido X descrito acima s Suponhamos que a esfera seja tangente a um plano α, que o cilindro ( que originou o sólido X ) tenha base em α e que os dois sólidos, esfera e sólido X, estejam num mesmo semi-espaço dos determinados por α. Qualquer plano secante β, paralelo a α, distando d do centro da esfera ( e do vértice do sólido X ), também secciona o sólido X. Temos; Área da secção na esfera = πs² = π(r² - d²) círculo Área da secção no sólido X = πr² - πd² = π(r² - d²) coroa circular

As áreas das secções na esfera e no sólido X são iguais; então, pelo princípio de Cavalieri, a esfera e o sólido X têm volumes iguais. V esfera = Vsólido X Mas: Vsólido X = Vcilindro - 2 Vcone = πr². 2 r – 2. (1/3 π r². r )= πr². 2 r – 2/3πr³ = 4/3 πr³ Conclusão: O volume de uma esfera de raio r é de 4/3 πr³ V= 4/3 πr³

Área da superfície esférica A= 4 πr²

Noção intuitiva Se considerarmos uma superfície limitada de área A e sobre ela formarmos um sólido de altura x de bases “ paralelas ”, teremos, indicando com V, o volume do sólido de base A e altura x. V=Ax A= V/x Esta última igualdade é verificada para qualquer x. Intuitivamente, uma superfície é imaginada como uma “placa sólida” de “espessura infinitamente pequena” Por isso, se uma “ placa sólida “ de volume Vp e espessura x for tal que a expressão ( função). Vp/x tem sentido para x = 0, então Vp/x ( para x =0 ) será definida como a área da placa Assi agindo, podemos deduzir as expressões das áreas lateral da superfície esférica.