VOLMENES Y CAPACIDAD 1 Volumen de un cuerpo

VOLÚMENES Y CAPACIDAD 1. Volumen de un cuerpo 2. Unidades de volumen 3. Unidades de capacidad 4. Volumen y capacidad 5. Volumen del ortoedro 6. Volumen del cubo 7. Volumen del prisma 8. Volumen del prisma hexagonal 9. Volumen del cilindro 10. Volumen de la pirámide 11. Volumen del cono 12. Volumen de la esfera Resolución de problemas

VOLÚMENES Y CAPACIDAD 1. Volumen de los cuerpos El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Estos dos cuerpos ocupan el mismo espacio. Cada uno de ellos está formado por 8 ladrillos. La unidad de volumen que hemos empleado es el ladrillo. Empleando el cubo como unidad, la figura adjunta tiene un volumen de 26 cubos unidad 2 + 9 + 15 = 26

Volumen de un cuerpo (I) VOLÚMENES Y CAPACIDAD Calcular el volumen de un cuerpo es contar las unidades de que está formado el cuerpo. Ejercicio resuelto ¿Cuál es el volumen de estas figuras? Eligiendo el cubo como unidad, se tiene: 1 1 3 3 6 3× 3=9 En total, 19 cubos. 6 5 × 5 = 25 En total, 1 + 9 + 25 + 49 = 84 cubos. 7 × 7 = 49

2. La unidad de volumen VOLÚMENES Y CAPACIDAD El cubo que muestra el dibujo es un dado de los que se utilizan para jugar al parchís. Con una regla comprobamos que su arista mide 1 centímetro. Su volumen es 1 centímetro cúbico. 1 cm 3 El centímetro cúbico es el volumen de un cubo de 1 cm de arista. El volumen del centímetro cúbico se indica así: 1 cm 3 Ejercicio resuelto La torre que se muestra en la figura se ha construido con cubos de 1 cm de arista. ¿Cuál es su volumen? 1 2× 2=4 9 × 3 = 27 En total, 1 + 4 + 27 = 32. Volumen = 32 cm 3

VOLÚMENES Y CAPACIDAD Unidades de volumen (I) Las unidades del sistema métrico decimal son: El metro cúbico: m 3 El decímetro cúbico: dm 3 Es un cubo de un dm de arista. El centímetro cúbico: cm 3 Es un cubo de un cm de arista. Es un cubo de un metro de arista. El milímetro cúbico (mm 3) es un cubo de un mm de arista

Unidades de volumen (II) VOLÚMENES Y CAPACIDAD Las unidades de volumen menores que el metro cúbico se llaman SUBMÚLTIPLOS. dm 3, cm 3 y mm 3 son submúltiplos del m 3 Las unidades de volumen mayores que el metro cúbico se llaman MÚLTIPLOS. Las principales son: El decámetro cúbico (dam 3). Es un cubo de 10 metros de arista. El hectómetro cúbico (hm 3) Es un cubo de 100 metros de arista. El kilómetro cúbico (km 3) Es un cubo de 1000 metros de arista. mm 3 cm 3 dm 3 dam 3 hm 3 km 3

Relación entre las unidades de volumen VOLÚMENES Y CAPACIDAD La figura adjunta representa un decímetro cúbico. Como 1 dm = 10 cm, en la primera capa hay 100 cubos de 1 cm 3: 10· 10. Con 10 capas completamos el dm 3. Luego, caben 1000 cm 3: 100· 10. Por tanto: 1 dm 3 = 1000 cm 3 Análogamente puede verse que: 1 m 3 = 1000 dm 3 Luego: 1 cm 3 = 1000 mm 3 1 m 3 = 1000 dm 3 = 1. 000 cm 3 = 1. 000 mm 3 por 1000

Cambio de unidad VOLÚMENES Y CAPACIDAD Regla general: Una unidad de volumen es 1000 veces mayor que la de orden inmediato inferior, y 1000 veces menor que la del orden inmediato superior. Para pasar de una unidad a otra se sigue el esquema: De mayor a menor: x 1000 km 3 : 1000 x 1000 hm 3 Se multiplica por 1000 x 1000 dam 3 : 1000 De menor a mayor: x 1000 m 3 : 1000 x 1000 dm 3 : 1000 Se divide entre 1000 x 1000 cm 3 mm 3 : 1000

VOLÚMENES Y CAPACIDAD 3. Unidades de capacidad El litro es la unidad fundamental de capacidad. Estos recipientes, aunque tienen distinta forma, poseen la misma capacidad. Uno contiene 1 litro de leche; otro, 1 litro de zumo. Un litro es la capacidad de un cubo de 1 dm de arista. El mililitro (ml), el centilitro (cl) y el decilitro (dl) son submúltiplos del litro. 1 l = 10 dl = 100 cl = 1 000 ml 33 cl 30 ml El hectolitro (hl), el kilolitro (kl) y el decalitro (dal) son múltiplos del litro. 1 kl = 10 hl = 100 dal = 1 000 l. En 1991, en España se produjeron 6 000 de hectolitros de leche.

VOLÚMENES Y CAPACIDAD 4. Volumen y capacidad Las unidades de volumen y capacidad están estrechamente relacionadas ¿A qué capacidad equivale 1 dm 3? 1 dm 3 = 1 l Esta caja es 1 dm 3 Si vertemos agua cabe exactamente 1 litro ¿A qué capacidad equivale 1 m 3? 1 El m 3 tiene 1 000 dm 3 En el m 3 caben 1 m 3 000 = 1 l tiene 1 000 cm 13 kl l. 1000 = ¿A qué capacidad equivale 1 cm 3? 1 dm 3 tiene 1 000 cm 3 1 cm 3 = 1 l kl 1 ml

5. Volumen del ortoedro VOLÚMENES Y CAPACIDAD Ortoedro Su volumen es igual a largo por ancho y por alto c V = a ·b ·c b V=área de la base por la altura a Ejemplo: 6 B = 12· 4 = 48 12 4 V = 12· 4· 6 = 288 V = 48· 6 = 288

VOLÚMENES Y CAPACIDAD Volumen del ortoedro. Ejercicio resuelto Calcula el volumen de la pecera en cm 3 Largo = 1 m = 100 cm. Ancho = 45 cm Alto = 50 cm El volumen será: V = 100 × 45 × 50 = 225 000 cm 3.

6. Volumen del cubo VOLÚMENES Y CAPACIDAD El cubo es un ortoedro con las tres aristas iguales a a V = a·a·a = a 3 a El volumen de un cubo de un decímetro de lado es V = 1· 1· 1 = 1 dm 3 V= 10· 10 = 1000 cm 3 1 dm = 10 cm

7. Volumen del prisma VOLÚMENES Y CAPACIDAD El volumen de un prisma es igual al área de su base por su altura. Prisma triangular V = B. h Prisma rectangular Prisma pentagonal h h b a a V = a·b·h b h B V = (área del pentágono)·h

VOLÚMENES Y CAPACIDAD 8. Volumen del prisma hexagonal El volumen del prisma es igual al área del hexágono de la base por su altura. V = B. h Ejemplo. Calcula el volumen del prisma si el perímetro de la base es 6 cm y su altura 3, 5 cm. La base es un hexágono regular Si p = 6, entonces l = 1, y su apotema a = 0, 86. Área de la base: a 2 = 12 - 0, 52 = 0, 75 1 0, 5 V = 2, 58· 3, 5 = 9, 03 cm 3

VOLÚMENES Y CAPACIDAD 9. Volumen del cilindro El volumen del cilindro es igual al área de su base (que es un círculo) por su altura. Ejemplo. Calcula el volumen de un cilindro de altura 15 cm y radio de la base 4 cm. 15 cm h 4 r V = 3, 14· 42· 15 = 753, 6 cm 3

VOLÚMENES Y CAPACIDAD 10. Volumen de la pirámide El volumen de la pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura. h B Pirámide cuadrangular Ejemplo: Calcula el volumen de una pirámide de 9 cm de altura, y cuya base es un rectángulo de 4 cm de largo por 2, 5 de ancho. Área de la base: B = 4· 2, 5 = 10 Pirámide pentagonal Luego:

VOLÚMENES Y CAPACIDAD 11. Volumen del cono El volumen del cono es igual a un tercio del área de la base por la altura. Ejemplo: Calcula la máxima cantidad de líquido que puede contener un embudo cuyas medidas aparecen en la figura. Si el diámetro vale 10, el radio r = 5 cm. Luego: 225 cm 3 = 225 ml = 0, 225 litros.

VOLÚMENES Y CAPACIDAD 12. Volumen de la esfera El volumen de una esfera es igual a cuatro tercios del producto Ejemplo. Calcula el volumen del cuerpo de la figura. radio = r 56 cm Se trata de dos medias esferas y de un cilindro. El radio de las esferas y del cilindro es 7 cm; la altura del cilindro, 70 - 2· 7 = 56 cm. El volumen total es: Luego, V = 3, 14· 72· 56 + 1436 = 8616, 16 + 1436 = = 10. 052, 16 cm 3

Resolución de problemas VOLÚMENES Y CAPACIDAD Para resolver un problema: MEDIR VOLÚMENES “A OJO” PROBLEMA El alcalde está preocupado por el agua que va a consumir la piscina municipal a lo largo del próximo verano. Es mucha la sequía y poca el agua disponible. Él mismo se pregunta: ¿Cuánta agua será necesaria para llenar la piscina? ESTIMA LONGITUDES Hace las siguientes reflexiones: Mi paso equivale a 1 m, y las dimensiones aproximadas de la piscina son: Largo: unos 20 m. Ancho: unos 12 m. Profundidad: alrededor de 1, 5 m. CALCULA MENTALMENTE Mentalmente hace este cálculo: 20 × 1, 5 = 300 Salen unos 300 m 3, que equivalen a 300 000 litros de agua.

VOLÚMENES Y CAPACIDAD Resolución de problemas (I) Problema. Una empresa tiene que transportar sus productos en contenedores con forma de ortoedro. Sus dimensiones interiores son de 30 dm, 24 dm y 18 dm. Los productos se envasan en cajas cúbicas iguales del mayor tamaño posible. ¿Cuál es el volumen del contenedor? ¿Cuántas cajas caben exactamente en el contenedor? Primero: Leer y comprender el enunciado El contenedor es como una caja de 30 por 24 y por 18 dm. Se debe llenar con cajas cúbicas lo más grandes que se pueda. Se preguntan dos cosas: 1º) el volumen del contenedor; 2º) el número de cajas que pueden entrar en él. Segundo: Hacer esquemas o dibujos 18 dm Dibujamos un contenedor: Introducimos cajas: 24 dm 30 dm

VOLÚMENES Y CAPACIDAD Resolución de problemas (II) Problema. Una empresa tiene que transportar sus productos en contenedores con forma de ortoedro. Sus dimensiones interiores son de 30 dm, 24 dm y 18 dm. Los productos se envasan en cajas cúbicas iguales del mayor tamaño posible. ¿Cuál es el volumen del contenedor? ¿Cuántas cajas caben exactamente en el contenedor? Tercero: Buscar la idea Para que las cajas cúbicas quepan en número exacto, su arista debe ser divisor de 30, 24 y 18. Para que sean las de mayor tamaño, ese divisor será el más grande de ellos: el m. c. d. Como 30 = 2 · 3 · 5, 24 = 23 · 3 y 18 = 2 · 32, entonces m. c. d. (30, 24, 18) = 2 · 3 = 6. Luego la arista de las cajas valdrá 6 dm. Cuarto: Aplicar las fórmulas Volumen del contenedor : 18 dm V = 30 · 24 · 18 = 12960 dm 3 Volumen de cada caja : 6 · 6 = 216 dm 3 Número de cajas que caben: 12960 : 216 = 60 24 dm 30 dm