VOD DO STEREOMETRIE Stereometria je geometria v priestore

ÚVOD DO STEREOMETRIE Stereometria � je geometria v priestore � vyšetruje geometrické útvary v priestore � úlohy môžu byť dôkazové, konštrukčné a výpočtové � Základnými útvarmi sú bod (A, B, . . . ), priamka (a, b, . . . ) a rovina (α, β, . . . )

VZÁJOMNÁ POLOHA 2 ÚTVAROV Vzájomná poloha 2 bodov: Vzájomná poloha bodu a priamky:

VZÁJOMNÁ POLOHA 2 ÚTVAROV Vzájomná poloha 2 priamok:

VZÁJOMNÁ POLOHA 2 ÚTVAROV Vzájomná poloha bodu a roviny: Vzájomná poloha priamky a roviny:

VZÁJOMNÁ POLOHA 2 ÚTVAROV Vzájomná poloha 2 rovín:

VZÁJOMNÁ POLOHA 3 ROVÍN � Všetky � Dve tri sú rovnobežné z nich sú rovnobežné a tretia je s nimi rôznobežná

VZÁJOMNÁ POLOHA 3 ROVÍN � Všetky tri sú navzájom rôznobežné

TELESÁ � Čo je to teleso? � Mnohosten � Stena � Hrana � Vrchol

TELESÁ � Hranol: � Pravidelný hranol � Kolmý hranol � Rovnobežnosten � Ihlan: � Pravidelný ihlan � Zrezaný ihlan � Štvorsten

TELESÁ � Pravidelné mnohosteny � Pravidelný štvorsten � Kocka (pravidelný šesťsten) � Pravidelný osemsten � Valec � Kužeľ � Zrezaný kužeľ

TELESÁ � Guľa � Guľová plocha � Guľová vrstva � Guľový plášť � Guľový vrchlík � Guľový výsek

REZY TELIES � Zostrojte rez kocky rovinou KLM � Zostrojte rez kocky rovinou PQR

REZY TELIES � Zostrojte rez ihlana rovinou MNO � Zostrojte rez kocky rovinou KLM

PR. 1. UROBTE REZ KOCKY ROVINOU VEDENOU TROMA ČERVENÝMI BODMI G H 6 2 E 1 D F 4 C 8 7 A 3 B 5

PR. 2. UROBTE REZ KOCKY ROVINOU VEDENOU TROMA BODMI

Pr. 3. Urobte rez kocky rovinou vedenou troma bodmi H G 6 E F 1 3 4 D C 2 A 5 B

Pr. 4. Urobte rez ihlana rovinou vedenou troma bodmi V 3 5 4 A D 7 1 B 2 C 6

Pr. 5. Urobte rez ihlana rovinou vedenou troma bodmi V 5 8 3 1 7 A D C 6 2 B 4

Pr. 6. Urobte rez ihlana rovinou vedenou bodom a priamkou p V 3 7 D 1 5 C 2 A B 4 p 6

Pr. 7. Urobte rez kocky rovinou vedenou troma červenými bodmi G H E F D A C B

ZÁKLADNÉ POJMY � Rez telesa je prienik telesa a roviny: je to rovinný útvar, ktorého hranica je prienik hranice telesa s rovinou rezu. Hranica rezu telesa sa skladá z prienikov roviny rezu so stenami telesa. � Rovina je jednoznačne určená : � Tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke. � Priamkou a bodom, ktorý na nej leží. � Dvoma rôznobežnými priamkami.

Y K OC � Poučky Veta 1 � Veta 2 � � Príklady Príklad 1 � Príklad 2 �

VETA 1 � Ak je rovina rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami, tak ich pretína v rovnobežných priamkach ( viď. obr. ). Rovina EFGH je rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami ADEH a BCFG a pretína ich v dvoch priamkach EH a FG, ktoré sú navzájom rovnobežné.

VETA 2 � Ak je priamka rovnobežná s dvoma rôznobežnými rovinami, tak je rovnobežná aj s ich priesečnicou (viď. obr. ). Priamka FB je rovnobežná s dvoma rôznobežnými rovinami ADEH a CGDH. Priesečnica týchto dvoch rovín je rovnobežná s priamkou FB.

PRÍKLAD Č. 1 � � Zostrojme rez kocky rovinou HPQ pričom bod P leží na priamke CG a bod Q je v prednej stene kocky. návod na riešenie

POSTUP � � Najprv spojíme priamkou body H a P. Dostaneme tak rez zadnej steny. Teraz využijeme vetu 1. Keďže rovina HPQ je rôznobežná s dvoma rovnobežnými rovinami, s rovinou prednej steny a rovinou zadnej steny, pretína ich v rovnobežných priamkach. Takže bodom Q ťaháme rovnobežku s priamkou HP. zadanie

� � Dostali sme tak dva body X, Y, ktoré patria rovine HPQ, takže môžeme spojiť body X, H priamkou čím dostaneme rez bočnej steny kocky. Bodom P ťaháme rovnobežku s priamkou XH. Dostaneme tak rez pravej bočnej steny a bod Z, ktorý leží podobne ako bod Y v rovine podstavy. Tieto body spojíme priamkou. Dostaneme tak rez kocky rovinou HPQ. zadanie

PRÍKLAD Č. 2 � � Zostrojme rez kocky rovinou KLM pričom bod K leží na priamke AE, bod L na priamke EH a bod M je v zadnej stene kocky. Postup

POSTUP � � Najprv spojíme body K, L priamkou. Predlžíme si priamku HD smerom hore a podobne aj priamku KL. Priesečník týchto dvoch priamok si označíme písmenom P. Bodom P vedieme priamku cez bod M, pričom dostávame dva body X, Y. Úsečka XY je vlastne rezom zadnej steny kocky. zadanie

� � Bodom K vedieme rovnobežku s priamkou XY. Dostaneme tak bod T. Bodom Y vedieme rovnobežku s priamkou KL a dostaneme pritom bod Z. Body LX a body TZ spojíme priamkou. zadanie

Y Z E O N M V O N E T S O H � Poučky � � Veta 1 Príklady Príklad 1 � Príklad 2 �

VETA 1 Nech každé dve z troch rovín sú rôznobežné. a) b) Ak dve z ich priesečníc sú rôznobežné, tak aj tretia priesečnica prechádza priesečníkom prvých dvoch. Ak dve z priesečníc sú rovnobežné, tak je s nimi rovnobežná aj tretia priesečnica.

PRÍKLAD Č. 1 � � Zostrojme rez štvorbokého nepravidelného hranola rovinou XYZ pričom bod Y leží na priamke DH, bod Z leží na priamke GH a bod X na priamke AB. Postup

POSTUP � Spojíme si body Y, Z čím dostaneme rez zadnej steny. Predlžíme si priamku DC a priamku YZ. Priesečníky týchto priamok si označíme bodom P. Bodom P vedieme priamku cez bod X, ktorý je v rovine podstavy hranola. Dostaneme tak rez podstavy.

� Bodom Z vedieme rovnobežku s priamkou RX. Dostávame tak bod Q. Podobne aj bodom X vedieme rovnobežku s priamkou YZ, pričom dostaneme bod S. Body S a Q spojíme aj body R a Y. A máme rez hranola rovinou XYZ.

PRÍKLAD Č. 2 � � Zostrojme rez štvorstena rovinou KLM, pričom bod K leží v rovine ACD, bod L leží v rovine ABD a bod M v rovine podstavy ABC. Postup

POSTUP � Zapamätajme si, že pri ihlane, štvorstene prekladáme rovinu, ktorá obsahuje jeho hlavný vrchol v našom prípade je to vrchol D. Pri preložení roviny vrcholom D a bodmi K, L dostaneme obrazy bodov, ktoré ležia v rovine podstavy. Obrazy týchto bodov spojíme priamkou. Takisto spojíme priamkou aj pôvodné body K, L. Priesečnicu týchto priamok si označíme bodom P.

� Bodom P vedieme priamku cez bod M. Dostaneme tak rez podstavy štvorstena XY. Bodom X vedieme priamku cez bod K. Podobne vedieme priamku bodom Y cez bod L. Dostaneme tak dva body Z a U, ktoré tiež spojíme.

LINKY � http: //www. oskole. sk/? id_cat=1&cla nok=24973 � http: //rastov- blok. blogspot. sk/2 010/05/rezykocky. html � http: //zbierkauloh zostereometrie. w ebnode. sk/rezytelies/