Viso Computacional Geometria de Transformaes F Luiz M
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Visão Computacional Geometria de Transformações F Luiz M. G. Gonçalves www. dca. ufrn. br/~lmarcos/courses/visao
Transformações FVetores, bases e matrizes FTranslação, rotação e escala FCoordenadas homogêneas FRotações e translações 3 D
Uso de transformações FConstruir modelos complexos a partir de componentes simples FTransformar coordenadas de câmera em mundo, objeto e imagem e vice-versa FAnalisar efeitos de transformações rígidas e não rígidas em objetos xc yim yo xim yc yw zc zo xo zw xw
Cinemática
Combinação linear F Dados dois vetores v 1 e v 2, ande uma distância qualquer na direção de v 1 e então ande outra distância na direção de v 2 F O conjunto de todos os lugares (vetores, pontos) que podem ser atingidos é dado pelas combinações lineares possíveis entre v 1 e v 2 F Um conjunto de vetores é dito linearmente independentes se nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros
Combinação linear FV = k 1 V 1+k 2 V 2 v 1 k 1 V 1
Bases vetoriais F Uma base vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes entre si, cuja combinação linear leva a qualquer lugar dentro do espaço, isto é, varre o espaço. F Para varrer um espaço n-dimensional, são necessários n vetores F Se a base é normalizada e os vetores mutuamente ortogonais, ela é dita ser ortonormal F Obviamente, há muito mais que uma base possível para um dado espaço vetorial.
Representação de vetores F Todo vetor tem uma representação única numa dada base w Os multiplicadores pelos vetores da base são chamados de componentes ou coordenadas w Mudando a base, muda os componentes, mas não o vetor V= v 1 E 1+v 2 E 2+. . . +vn. En F Os vetores E 1, E 2, . . . , En são a base F Os escalares v 1, v 2 , . . . , vn são os componentes de v com respeito à base.
Transformação Linear e Afim FUma função (ou mapeamento ou ainda transformação) F é linear se, para todos os vetores v 1 e v 2 e todos escalares k: F(V 1+V 2) = F(V 1) + F(V 2) F(k. V 1) = k. F(V 1) FQualquer mapeamento linear é completamente especificado pelo seu efeito numa base vetorial
Efeito na base v = v 1 E 1+ v 2 E 2+ v 3 E 3 F(v) = F(v 1 E 1+v 2 E 2+v 3 E 3)= = F(v 1 E 1)+F(v 2 E 2)+F(v 3 E 3)= = v 1 F(E 1) + v 2 F(E 2)+v 3 F(E 3) FUma função F é afim se ela é linear mais uma translação w Então a função y = m. X+b não é linear, mas é afim
Transformando um vetor FAs coordenadas do vetor da base transformado (em termos dos vetores da base original): F(E 1) = f 11 E 1 +f 21 E 2+f 31 E 3 F(E 2) = f 12 E 1 +f 22 E 2+f 32 E 3 F(E 3) = f 13 E 1 +f 23 E 2+f 33 E 3 FO vetor geral V transformado torna-se: F(V) = v 1 F(E 1) + v 2 F(E 2)+v 3 F(E 3) = v 1(f 11 E 1+f 21 E 2+f 31 E 3)+v 2(f 12 E 1+f 22 E 2+f 32 E 3)+v 3(f 13 E 1+f 23 E 2+f 33 E 3)= (f 11 v 1+f 12 v 2 +f 13 v 3)E 1+(f 21 v 1+f 22 v 2+f 23 v 3)E 2+(f 31 v 1+f 32 v 2+f 33 v 3)E 3
Transformando um vetor FSuas coordenadas ainda em referência a E tornam-se: v 1´= f 11 v 1 +f 12 v 2+f 13 v 3 v 2´= f 21 v 1+f 22 v 2+f 23 v 3 v 3´= f 31 v 1+f 32 v 2+f 33 v 3 FOu simplesmente vi = fijvj que é a fórmula de multiplicação matricial
Multiplicação de matrizes! FUma matriz F de dimensões nxn representa uma função linear em n dimensões w A i-ésima coluna mostra o que a função faz ao vetor de base correspondente FTransformação é uma combinação linear das colunas de F w Primeiro componente do vetor de entrada escala a primeira coluna da matriz w acumula no vetor de saída w repete para cada coluna e componente
Multiplicação matricial FUsualmente calcula-se de modo diferente w faça o produto interno da coluna i da matriz com o vetor de entrada para conseguir componente i do vetor de saída: v 1 ´ f 11 f 12 f 13 v 2´ = f 21 f 22 f 23 v 3 ´ f 31 f 32 f 33 v 1 v 2 v 3
Translação
Rotação
Matriz de rotação possui vetores unitários
Representação da rotação
Exemplo de rotação
Relações espaciais F Representação em relação a um frame (sistema de coordenadas) F P (X, Y, Z)
Orientação
Orientação
Matriz de orientação
Propriedade elementar (unitária)
Juntando orientação e posição
Coordenadas Homogêneas
Juntar rotação e translação
Coordenadas homogêneas FTranslação não é linear. Como representar em forma de matriz? w Adiciona uma coordenada extra a cada vetor x´ y´ z´ 1 = 1 0 0 0 0 1 0 FCoordenada extra é chamada de tx ty tz 1 x y z 1 homogênea (ou w) FTransformação denominada homogênea
Transformação Homogênea
Translação pura
Roll, Pitch, Yaw
Rotação em torno de cada eixo
Generalização da Rotação
Exemplo de rotação + translação
Exemplo: continuação
Invertendo a transf. homogênea
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