Vijetove formule Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne inioce

Vijetove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce Lidija Boroš, ml 03028

1. Vijetove formule * Pomoću koeficijenata kvadratne jednačine izražavamo njena rešenja; Vijetove formule su upravo veze izmedju koeficijenata kvadratne jednačine i njenih rešenja.

• Brojevi x 1 i x 2 su rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0 ako i samo ako je x 1+x 2=-b/a i x 1 x 2=c/a. Ove dve jednakosti se nazivaju Vijetove formule. Dokaz: Pretpostavimo da su x 1 i x 2 rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0. Tada je pa će biti x 1+x 2= i x 1 x 2 = .

Sada pretpostavimo da važi x 1+x 2= i x 1 x 2 = , b= -a(x 1+x 2) i c= ax 1 x 2 pa našu kvadratnu jednačinu ax²+ bx +c=0 možemo zapisati ovako: ax²- a(x 1+x 2)x+ ax 1 x 2=0 a[x²- (x 1+x 2)x+ x 1 x 2]=0 a[x(x-x 1)- x 2(x-x 1)]=0 a[(x-x 1)(x-x 2)]=0 što upravo znači da su x 1 i x 2 rešenja kvadratne jednačine ax²+ bx +c=0.

Primer 1 Napisati kvadratnu jednačinu a) čija su rešenja x 1= 4 i x 2= -6 b) čije je jedno rešenje x 1= 3 -2 i. Rešenje: a) x 1= 4 i x 2= -6 x 1 +x 2 = 4+(-6)= -2 i x 1 x 2 = 4*(-6)= -24 naša jednačina je oblika a[x²- (x 1+x 2)x +x 1 x 2]=0 a[x²- (-2)x +(-24)]=0 a[x²+ 2 x- 24]=0 pa za na primer a=1 dobijamo jednačinu: x²+ 2 x- 24=0.

b) Ako je x 1= 3 -2 i jedno rešenje kvadratne jednačine, tada je drugo rešenje njemu konjugovano x 2= 3+2 i, pa će biti x 1 +x 2 = 6 i x 1 x 2 = 13. Koristeći Vijetove formule dobijamo da je naša jednačina oblika: a[x²- (x 1+x 2)x +x 1 x 2]=0 a[x²- 6 x +13]=0 pa za na primer a= 1 jednačina je: x²- 6 x +13=0.

Primer 2: U jednačini mx² -3 mx +2=0 odrediti vrednost realnog parametra m tako da njena rešenja zadovoljavaju uslov x 1²+x 2²= 5. Rešenje: Iz jednačine vidimo da je x 1+x 2=3 i x 1 x 2= x 1²+x 2²= 5 (x 1+x 2)²- 2 x 1 x 2= 5 9 - =5 4= m= 1. .

Primer 3: Neka su x 1 i x 2 rešenja kvadratne jednačine 2 x²+3 x-4=0. Koristeći Vijetove formule izračunati vrednost izraza 8 x 1²-3 x 1 x 2+8 x 2². Rešenje: x 1+x 2=-3/2, x 1 x 2=-2 8 x 1²-3 x 1 x 2+8 x 2²=8(x 1²+x 2²)-3 x 1 x 2 =8(x 1+x 2)²-19 x 1 x 2 =8*(9/4)-19*(-2) =18+38 =56.

Zadaci za vežbu: 1. Napisati kvadratnu jednačinu ako su joj rešenja: a) x 1 =2, x 2 =3; b) x 1=-1, x 2=-6; c) jedno rešenje je x 1 =1 -i; d) jedno rešenje je x 1=4+2 i. 2. Koristeći Vijetove formule naći rešenja kvadratnih jednačina a) x²-9 x+18=0 b) 2 x²+7 x-4=0 c) x²-x-2=0. 3. Odrediti vrednost realnog parametra k za koje rešenja x 1 i x 2 jednačine (k+4)x²+(4 k-3)x+3 k=0 zadovoljavaju jednakost a) x 1=-x 2 b) x 1 x 2=1 c)x 1=1 -x 2.

2. Rastavljanje kvadratnog trinoma na linearne činioce Kvadratni trinom po x je izraz oblika ax²+bx+c gde su a, b, c brojevi i a≠ 0. Brojeve a, b, c nazivamo koeficijentima kvadratnog trinoma ax²+bx+c.

**Ako su x 1 i x 2 rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0, tada se kvadratni trinom x: ax²+bx+c može rastaviti na linearne činioce na sledeći način: ax²+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2). Dokaz: Koristeći Vijetove formule dobijamo ax²+bx+c=a(x²+xb/a+c/a) =a(x²-(x 1+x 2)x+x 1 x 2) =a(x-x 1)(x-x 2). po

Važi i obrnuto: Ako je ax²+bx+c=a(x-α)(x-β), tada su α i β rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0. Činioci (x-x 1) i (x-x 2) su linearni po x pa je sa a(x-x 1)(x-x 2) dato rastavljanje kvadratnog trinoma ax²+bx+c na linearne činioce.

Primer 1: Rastaviti kvadratni trinom a) 3 x²+8 x-3 b) x²-4 x+5 na linearne činioce. Rešenje: a) Rešenja kvadratne jednačine 3 x²+8 x-3=0 su x 1=-3 i x 2=1/3 pa će biti 3 x²+8 x-3 =3(x+3)(x-1/3) =(x+3)(3 x-1). b) Rešenja kvadratne jednačine x²-4 x+5=0 su x 1=2 -i i x 2=2+i pa kvadratni trinom x²-4 x+5 možemo faktorisati ovako: x²-4 x+5=[x-(2 -i)][x-(2+i)] =[x-2+i][x-2 -i].

Primer 2: Skratiti razlomak: 3 x²-7 x+2 2 x²-5 x+2 Rešenje: Rešenja kvadratne jednačine 3 x²-7 x+2=0 su x 1=1/3 i x 2=2 3 x²-7 x+2=3(x-1/3)(x-2)=(3 x-1)(x-2); slično, rešenja jednačine 2 x²-5 x+2=0 su x 1=1/2 i x 2=2 pa je 2 x²-5 x+2=(2 x-1)(x-2)

Zadaci za vežbu 1. Rastaviti na linearne činioce sledeće kvadratne trinome: a) 2 x²+7 x+6 b) 4 x²+19 x-5 c)x²-kx-6 k², za neki realan broj k 2. Skratiti razlomke: a) b) c)

3. Primena Vijetovih formula Pored već pomenute upotrebe Vijetovih formula pri formiranju kvadratnih jednačina ako su joj data rešenja i rastavljanja kvadratnog trinoma na linearne činioce, Vijetove formule se mogu upotrebiti i za utvrđivanje znaka realnih rešenja kvadratne jednačine.

**Rešenja x 1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima ax²+bx+c=0 su realna i pozitivna ako i samo ako je b²-4 ac≥ 0, b/a<0, c/a>0. Dokaz: Neka su x 1 i x 2 realna i pozitivna rešenja kvadratne jednačine ax²+bx+c=0 D=b²-4 ac≥ 0. Kako važi x 1≥ 0 i x 2≥ 0 x 1+x 2≥ 0, x 1 x 2≥ 0 -b/a≥ 0, c/a≥ 0 b/a<0, c/a >0. Neka je sada b²-4 ac≥ 0, b/a<0, c/a>0. Na osnovu Vijetovih formula dobijamo sledeće: -(x 1+x 2)<0, x 1 x 2>0 tj. x 1+x 2>0, x 1 x 2>0 x 1>0 x 2>0.

**Rešenja x 1 i x 2 kvadratne jednačine ax²+bx+c=0 su realna i negativna ako i samo ako je b²-4 ac≥ 0, b/a>0, c/a>0. Dokaz sličan malopređašnjem. **Slično, važi: Rešenja kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su realna i različita ako i samo ako je b²-4 ac≥ 0, c/a<0. Ako je pri tome ~ <0, veće je po apsolutnoj vrednosti pozitivno rešenje; ~ >0, veće je po apsolutnoj vrednosti negativno rešenje; ~ =0, rešenja su dva suprotna realna broja.

Primer 1. Koristeći Vijetove formule, odrediti znak rešenja kvadratne jednačine 3 x²+ 7 x +2=0. Rešenje: Iz kvadratne jednačine možemo videti da su nam dati koeficijenti: a= 3, b= 7, c= 2 D= b²-4 ac= 7²-4*3*2= 49 -24= 25>0 Rešenja su realna. = 2/3 >0 = 7/3 >0 rešenja su istog znaka rešenja su negativna.

Primer 2: Koristeći Vijetove formule odrediti znak rešenja kvadratne jednačine x²- (k-1)x- k=0 u zavisnosti od realnog parametra k. Rešenje: D= (k-1)²+ 4 k= (k+1)² ≥ 0, za svako k iz R. Jednačina ima realna rešenja. x 1+x 2= k-1, x 1 x 2= -k. » Za k-1<0 i k<0: oba rešenja su negativna, x 1<x 2<0; » za k-1<0 i k>0 x 1 <0< x 2, |x 1|>|x 2|; » za k-1>0 i k>0 x 1 <0< x 2, |x 1|<|x 2|; » za k=0 x²+x= 0 x(x+1)= 0 x= 0 ili x= -1; » za k=1 x²-1= 0 (x-1)(x+1)=0 x 1= 1 ili x 2= -1.

Primer 3: Dokazati da brojevi √ 2 i 1/√ 2 ne mogu biti rešenja kvadratne jednačine sa racionalnim koeficijentima. Rešenje: Pretpostavimo da x 1=√ 2 i x 2=1/√ 2 jesu rešenja kvadratne jednačine sa racionalnim koefocijentima ax²+bx+c=0 x 1+x 2=√ 2+1/√ 2=-b/a 3/√ 2=-b/a -3 a/b=√ 2. Mora biti b≠ 0, jer bi u suprotnom bilo 0=3/√ 2, a to nije tačno √ 2 je racionalan, kontradikcija √ 2 i 1/√ 2 nisu rešenja kvadratne jednačine sa racionalnim koeficijentima.

Zadaci za vežbu: 1. Ne koristeći formule za dobijanje rešenja kvadratne jednačine, utvrditi kakvog su znaka njena rešenja: a) 5 x²-2 x-10=0 b) 2 x²+7 x+3=0. 2. Skup svih vrednosti realnog parametra m za koje su koreni kvadratne jednačine (m-2)x² 2 mx+2 m+2=0 realni i različitog znaka je: a) (-1, 2); b) (2, ∞); c) (-7, -2). 3. Skup svih vrednosti realnog parametra a za koje su rešenja kvadratne jednačine x²-(a+2)x+a+5=0 negativna je podskupa a) (-∞, -6]; b) [-6, -5]; c) (-5, -4].