VII Differentialrechnung 23 Der Differentialquotien Gottfried Wilhelm Leibniz

VII. Differentialrechnung

23. Der Differentialquotien

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

f‘ Isaac Newton (1643 – 1727) Gottfried Wilhelm Leibniz f‘‘ Differentialoperato

23. 1 Ableitungen einfacher Funktionen lineare Funktion f(x) = m x + c mit = : insbesondere gilt für f(x) = c, d. h. m = 0: Zeige (f + g)´ = f´ + g´ f´(x) = 0 (f m)´ = f´ m quadratische Funktion f(x) = x 2 mit = :

f(x) = x 1/2 mit x 0: f(x) = x-1 mit x 0:

r f(x) = x mit r , r 0: quadratische Funktion f(x) = x 2 mit = :

r f(x) = x mit r , r 0: f(x) = x 0 f(x) 0 x-1 da 0/0 für x = 0 undefiniert wäre. Insbesondere für n : Polynome: jeder Summand wird einzeln abgeleitet.

Satz: Ist f an der Stelle x differenzierbar, so ist f dort stetig. Ist f an der Stelle x nicht stetig, so ist f dort nicht diffbar. Stetigkeit ist eine notwendige aber nicht hinreichende Voraussetzung für Differenzierbarkeit. Bsp. f(x) = |x| in x = 0. Satz (Kettenregel): Seien g(y) und f(x) auf diffbare Funktionen mit y = f(x), dann gilt: (wie in der Bruchrechnung) Beweis: g(f(x + Dx)) = g(y + Dy) g(y) = y 2 y = f(x) = 3 x + 2 Dy = Df = f(x + Dx) - f(x) g(f(x)) = (3 x + 2)2 Man berechne mit Hilfe der Kettenregel:

Satz: Sei f(x) = y auf streng monoton und diffbar. Dann existiert die Umkehrfunktion g(y) = f -1(y) = x und es gilt: Beweis: Der Satz folgt mit Merkregel: y = f(x) = 3 x + 2 g(y) = f -1(y) = x = (y - 2)/3 g(f(x)) = ((3 x + 2) - 2)/3 = x = = 1 aus der Kettenregel. (wie in der Bruchrechnung)

Satz (Produktregel): Seien f(x) und g(x) auf diffbar, dann gilt [f(x). g(x)]´ = f´(x). g(x) + f(x). g´(x) Merkregel: (f. g)´ = f´g + fg´

Man zeige mit der Produktregel: (mf)´ = mf´ für m = const. Man zeige mit der Produktregel: dx 3/dx = 3 x 2 (x 3)´ = (x 2. x)´ = 2 x. x + x 2. 1 = 3 x 2

Mittelwertsatz: Sei f: [a, b] auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar und auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig. Dann gibt es ein x 0 (a, b) mit = f´(x 0) Verallgemeinerung: Seien f und g auf [a, b] differenzierbar und sei g´ ≠ 0 für x : [a, b]. Dann gibt es ein x 0 (a, b) mit =

Satz (l´Hospitalsche Regel): Seien f(x) und g(x) auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] differenzierbar, sei g´ ≠ 0 für x [a, b]. Ist und existiert dann ist Guillaume Marquis de L'Hôpital (1661 – 1704) f(x) = x g(x) = x 2 + x/5

2 x 7 + 5 x 4 + 3 x + 6 + 3 x-2 + 5 x-5 x 7/6 + 2 x-3/4 + 3 x 0 3 x-4/3 + 5 x-p