Vigan Samuele Marone Davide Mongelli Alessandro SOLIDI PLATONICI

Viganò Samuele, Marone Davide, Mongelli Alessandro SOLIDI PLATONICI

Cos’è un solido platonico? Si definisce solido platonico o poliedro regolare un qualsiasi poliedro convesso avente come facce dei poligoni regolari, e avente tutti gli spigoli e gli angoloidi congruenti tra loro. I Solidi Platonici devono il loro nome all’ampia e particolare descrizione che ne fa Platone nel suo dialogo“Timeo” photo by actionjack. wordpress. com 1

Storia Pitagora: la scoperta del tetraedro, esaedro e dodecaedro è attribuito a Pitagora e alla sua scuola (VI sec. a. C. ) Teetèto : scoprì l'ottaedro e l'icosaedro. Euclide: le costruzioni di questi solidi sono contenute nel Libro XIII degli Elementi di Euclide. photo by gabriellagiudici. it 2

Interpretazioni di Platone nel Timeo , associò ad ogni poliedro regolare un elemento fuoco terra aria acqua etere/decorativo photo by progetti. iisleviponti. it 3

Tetraedro Facce: Triangoli equilateri N. Facce: 4 N. Vertici: 4 N. Spigoli: 6 N. Facce per vertice: 3 N. Spigoli per vertice: 3 Il tetraedro si può definire anche come simplesso tridimensionale, vale a dire come il solido tridimensionale col minor numero di vertici. Esso presenta un angolo diedro di 70° 32'. photo by wikipedia. org 4

Esaedro Facce: Quadrati N. Facce: 6 N. Vertici: 8 N. Spigoli: 12 N. Facce per vertice: 3 N. Spigoli per vertice: 3 photo by wikipedia. org 5

Ottaedro Facce: Triangoli equilateri N. Facce: 8 N. Vertici: 6 N. Spigoli: 12 N. Facce per vertice: 4 N. Spigoli per vertice: 4 In geometria solida, l'ottaedro è un poliedro con otto facce triangolari. L'ottaedro regolare è uno dei cinque solidi platonici, le cui facce sono triangoli equilateri. Ha sei vertici e dodici spigoli. photo by wikipedia. org 6

Dodecaedro Facce: Pentagoni N. Facce: 12 N. Vertici: 20 N. Spigoli: 30 N. Facce per vertice: 3 N. Spigoli per vertice: 3 Il dodecaedro è uno dei 5 solidi platonici, possiede 12 faccie, le quali sono dei pentagoni. I vertici sono 20 e gli spigoli sono 30. Le facce per vertice sono 3 come le facce per gli spigoli. photo by wikipedia. org 7

Icosaedro Facce: Triangoli equilateri N. Facce: 20 N. Vertici: 12 N. Spigoli: 30 N. Facce per vertice: 5 N. Spigoli per vertice: 5 In geometria l'icosaèdro è un qualsiasi poliedro con venti facce. Con il termine icosaedro si intende però generalmente l'icosaedro regolare: nell'icosaedro regolare, le facce sono triangoli equilateri. photo by wikipedia. org 8

Dualità poliedrale photo by zibalsc. blogspot. it 9

I cristalli photo by mineralicristalli. it 10

I poliedri regolari sono 5 Non possono esistere altri solidi platonici oltre ai cinque considerati precedentemente, per dimostrarlo occorre fare alcune considerazioni: 1 Ad ogni vertice di un poliedro regolare devono convergere almeno tre facce 2 Tali facce non possono stare sullo stesso piano, quindi la somma delle ampiezze degli angoli che convergono ad uno stesso vertice deve essere inferiore a 360° 3 l'ampiezza degli angoli di un poligono regolare aumenta all'aumentare del numero dei suoi lati 11

Dimostrazione intuitiva Consideriamo un triangolo equilatero 3 • 60 = 180<360 4 • 60 = 240<360 5 • 60 = 300<360 6 • 60 = 360 impossibile photo by progettomatematica. dm. unibo. it 12

Dimostrazione intuitiva Consideriamo un quadrato 3 • 90 = 270<360 4 • 90 = 360 impossibile Consideriamo un pentagono 3 • 108 = 324<360 4 • 108 = 432 impossibile Consideriamo un esagono: 3 • 120 = 360 impossibile photo by progettomatematica. dm. unibo. it 13

Dimostrazione geometrica È possibile dimostrare che non esistono più di cinque poliedri regolari anche a partire dalla relazione di Eulero. Specifichiamo prima il significato di alcune variabili F= numero di facce S= numero degli spigoli V= numero dei vertici n= numero dei lati di ogni faccia r= numero di spigoli che si incontrano in ogni vertice 14

Dimostrazione geometrica Relazione di Eulero n. F=2 S r. V=2 S F+V=S+2 V +F – S=2 15

Dimostrazione geometrica Dividiamo per 2 S n=3 r=3 Tetraedro, ottaedro, icosaedro Esaedro, dodecaedro 16

Solidi platonici nell’arte by: wikipedia. org by: cultura. biografieonline. it 17

Solidi platonici nell’architettura 18