Vibraciones en sistemas fsicos Autor Tadeusz Majewski Captulo

Vibraciones en sistemas físicos • Autor: Tadeusz Majewski

Capítulo 7 VIBRACIONES EN SISTEMAS CONTINUOS

TEMARIO I. III. IV. V. Introducción Vibraciones transversales de cuerdas Vibraciones longitudinales de barras Vibraciones transversales de vigas Vibraciones forzadas

Objetivos del capítulo 7 Se muestran los sistemas con masa distribuida (cuerda, barra y viga), las ecuaciones que definen los modos y frecuencias de sus vibraciones, además de la influencia de las condiciones de frontera sobre sus parámetros, y en algunos casos las amplitudes de los modos para carga dinámica.

I. Introducción Existen sistemas mecánicos en los cuales no es posible diferenciar los elementos rígidos de los elementos elásticos con masa despreciable, como en el caso de los sistemas discretos. La masa, el amortiguamiento y la elasticidad varían en cada punto del sistema, por lo que se dice que la masa y la elasticidad están distribuidas a lo largo del objeto

I. Introducción Cada elemento de este objeto tiene valores diferentes de desplazamiento y velocidad. Cuando estos sistemas se discretizan, se obtiene un número infinito de elementos, por lo que un sistema con masa y elasticidad distribuidas tiene un número infinito de grados de libertad, lo que conduce a un número infinito de frecuencias naturales y modos de vibraciones, a diferencia de los sistemas discretos que tienen un número finito de frecuencias naturales y modos de vibración.

I. Introducción El movimiento de estos sistemas está definido por ecuaciones diferenciales parciales que son más difíciles de resolver. Para calcular las frecuencias naturales, se usan las condiciones de frontera, y para describir las formas de vibración, deben conocerse las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad En contraste, los sistemas discretos se definen con ecuaciones ordinarias.

I. Introducción En este capítulo se analizan las vibraciones de sistemas básicos continuos tales como cuerda, barra y viga, que son estructuras unidimensionales en las cuales la posición de un elemento se define mediante una coordenada, por ejemplo x. La posición de un elemento en una placa se define con dos coordenadas, por ejemplo x y y; sus vibraciones se definen en la dirección z perpendicular a la placa.

I. Introducción A veces los sistemas continuos se discretizan como la suma de muchos elementos rígidos conectados por resortes, y el sistema tiene un número finito de grados de libertad. La discretización es el proceso de modelación de un cuerpo que consiste en separarlo en un sistema formado por cuerpos más pequeños (elementos finitos), interconectados por puntos comunes (nodos).

Ejemplos de sistemas distribuidos

II. Vibraciones transversales de cuerdas

II. Vibraciones transversales de cuerdas En el diagrama de cuerpo libre de la figura a), se analiza una cuerda que está fija en sus dos extremos, sometida a una tensión S. La cuerda vibra lateralmente y tiene una longitud l [m], densidad (masa por unidad de longitud) ρ[kg/m] y módulo de Young E [Pa]. La cuerda vibra al aplicarle un desplazamiento inicial w en la posición x que varía con el tiempo t según la relación w=w(x, t).

II. Vibraciones transversales de cuerdas En el diagrama de cuerpo libre de la figura b), se supone que las vibraciones son pequeñas (w << l) y que el ángulo es pequeño: tan ψ = sen ψ = δw/δ x , cos ψ = 1. En la cuerda sólo actúa la fuerza axial S y la tensión se considera constante, aun cuando existan pequeños desplazamientos en la cuerda.

II. Vibraciones transversales de cuerdas Para obtener la ecuación de movimiento se toma un elemento diferencial de longitud dx en la posición definida por x siendo la masa del elemento dm = ρdx. Existen dos variables independientes: la distancia x y el tiempo t; por esta razón se usan derivadas parciales. El movimiento del elemento diferencial en la dirección y se define con la ley de Newton:

II. Vibraciones transversales de cuerdas • Ecuación de onda unidimensional, donde la constante c = √S/ρ representa la velocidad de propagación de la onda a lo largo de la cuerda [1] Esta ecuación diferencial parcial se resuelve mediante el método de separación de variables.

II. Vibraciones transversales de cuerdas La solución w = w(x, t) se expresa como el producto de dos funciones, una en función de la distancia x, y la otra en función del tiempo t [2] donde W(x) es la distribución del desplazamiento a lo largo de la cuerda y T(t) describe cómo cambia el desplazamiento en función del tiempo.

II. Vibraciones transversales de cuerdas Sustituyendo esta solución en la ecuación [1], se obtiene: de donde se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

II. Vibraciones transversales de cuerdas cuyas soluciones son:

II. Vibraciones transversales de cuerdas donde ω es la frecuencia natural de la vibración de la cuerda, β = ω/c = ω/√S/ρ Substituyendo en la ecuación [2]: Las constantes A, B, C y D se definen a partir de las condiciones de frontera y las condiciones iniciales.

II. Vibraciones transversales de cuerdas Finalmente, se obtiene la siguiente ecuación que representa un número infinito de frecuencias naturales, correspondiendo a cada una de ellas un modo de vibración i: y para la función del tiempo:

II. Vibraciones transversales de cuerdas De acuerdo con la ecuación [2], la solución particular para la frecuencia ωi es: donde ci = Ci. Ai, di = Ci. Bi son constantes Al modo W 1(x) se le llama modo fundamental y a f 1 = f= frecuencia fundamental. En la siguiente figura se presentan los primeros 3 modos de vibración de la cuerda.

II. Vibraciones transversales de cuerdas

III. Vibraciones longitudinales de barras Una barra que ha sido comprimida vibrará en dirección longitudinal después de que la fuerza que produjo la compresión haya dejado de actuar sobre la barra. Se analizan las vibraciones de una barra con sección transversal constante. Los parámetros de la barra son: longitud l, área de la sección transversal a[m·exp(2)], módulo de Young E[Pa], y densidad ρ [kg/m·exp(3)].

III. Vibraciones longitudinales de barras

III. Vibraciones longitudinales de barras Del diagrama de cuerpo libre de la barra, sobre un elemento diferencial de longitud dx actúan una fuerza de tensión N(x, t) para el lado izquierdo y otra fuerza de tensión N(x, t) + para el lado derecho. El desplazamiento u(x, t) de la sección transversal está definido por la coordenada x. El elemento diferencial tiene una masa dm = ρadx.

III. Vibraciones longitudinales de barras La aceleración del elemento es Aplicando la segunda ley de Newton, F = ma, obtenemos la ecuación de movimiento: [3] De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza de tensión es directamente proporcional a la deformación del elemento:

III. Vibraciones longitudinales en barras Véase la ecuación: Substituyendo en la ecuación [3], se obtiene: obteniéndose finalmente: [4]

III. Vibraciones longitudinales en barras donde c = √E/ρ La ecuación [4] describe una onda unidimensional. La solución de [4] se obtiene usando el método de separación de variables Substituyendo esta ecuación en [4], se obtiene:

III. Vibraciones longitudinales en barras Separando las variables, se obtiene: de donde se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

III. Vibraciones longitudinales en barras Cuyas soluciones son: La fuerza normal N queda: Las constantes A, B, C y D dependen de las condiciones iniciales. Las condiciones de frontera de la barra permiten definir la constante ω.

IV. Vibraciones transversales de vigas

IV. Vibraciones transversales de vigas Del diagrama de cuerpo libre anterior, se considera una viga relativamente larga y delgada, cuya masa se supone concentrada a lo largo del eje neutro y la deflexión de la viga causada por la fuerza cortante es despreciable. Los desplazamientos transversales de vigas son pequeños en comparación con su longitud, y los efectos de corte e inercia rotatoria son despreciables.

IV. Vibraciones transversales de vigas Se considera una viga Euler-Bernoulli con las siguientes ecuaciones para el momento flexionante M(x, t) y la fuerza cortante V(x, t) que son una función del desplazamiento ω(x, t) en la viga:

IV. Vibraciones transversales de vigas Aplicando la segunda ley de Newton, se obtiene la ecuación de movimiento para un elemento diferencial de longitud dx y masa dm = ρadx, siendo la aceleración en la sección vertical igual a :

IV. Vibraciones transversales de vigas y se obtiene la ecuación: donde ρ es la densidad y E es el módulo de Young [Pa]. Las vibraciones libres de la viga se obtienen de la ecuación arriba como sigue: [5]

IV. Vibraciones transversales de vigas donde c = La ecuación [5] se soluciona mediante el método de separación de variables: Substituyendo esta ecuación en [5] se obtiene:

IV. Vibraciones transversales de vigas Separando las variables se obtiene: de esta ecuación se obtienen dos ecuaciones diferenciales ordinarias

IV. Vibraciones transversales de vigas que son las siguientes: donde β = √ω/c Las soluciones generales de estas ecuaciones son: Las constantes se determinan a partir de condiciones iniciales y de frontera.

V. Vibraciones forzadas

V. Vibraciones forzadas Del diagrama de cuerpo libre de la viga, existe una carga distribuida f(x, t) que varía en función del tiempo [N/m]. Sobre el elemento diferencial de longitud dx actual una fuerza f(x, t)dx. Basándonos en la ecuación de movimiento para vibraciones transversales de vigas, se obtiene la siguiente ecuación:

V. Vibraciones forzadas Véase la ecuación: [5] cuya solución es: donde la incógnita qi(t) se denomina coordenada generalizada. Substituyendo esta solución en la ecuación [5] se obtiene:

V. Vibraciones forzadas Véase la ecuación: [6] Para los modos de vibración Wi(x) se tiene: Substituyendo esta ecuación en la ecuación [6] se obtiene:

V. Vibraciones forzadas Véase la ecuación: Multiplicando esta ecuación por Wj(x) e integrando a lo largo de la longitud de la viga se obtiene:

V. Vibraciones forzadas La fuerza Qi(t) se llama fuerza generalizada para el modo i: Esta ecuación tiene las siguientes soluciones: La amplitud de la vibración de modo i depende de la amplitud de excitación Q 0 i y también de la diferencia entre la frecuencia natural ωi y la frecuencia de excitación Ω.