VI ESTIMASI PARAMETER Estimasi Parameter Metode statistika yang

VI. ESTIMASI PARAMETER Estimasi Parameter : Metode statistika yang berfungsi untuk mengestimasi/menduga/memperkirakan nilai karakteristik dari populasi atau parameter populasi berdasarkan nilai karakteristik sampel atau statistik sampel. Syarat : sampel harus dapat mewakili populasi sampling dilakukan secara acak. Contoh : Hasil pemilu dihitung secara cepat (Quickcount) dengan sampel untuk tiap wilayah pemilihan, valid jika pengambilan sampel dilakukan secara acak. Cara estimasi : 1. Estimasi Titik Parameter populasi diestimasi dengan karakteristik sampel (Statistik) Mean populasi = = Variansi populasi = 2 = s 2 standar deviasi = = s

2. Estimasi Interval Nilai parameter populasi diestimasi pada kisaran tertentu. Misal X 1, X 2, X 3, …Xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan adalah parameter populasi maka estimasi interval untuk adalah : P(B≤ ≤A)=1 - Disebut dengan Interval konfidensi/kepercayaan untuk dari B sampai A yang dihitung pada probabilitas 1 -. Bila parameter yang diestimasi adalah H dan distribusi populasi yang digunakan (misal distribusi Z, t-student, chi-kuadrat, atau F), galat (error)= dan statistik dari data sampel adalah k, maka kisaran parameter H pada suatu interval kepercayaan (1 - ) dapat diestimasi dengan persamaan probabilitas: P(h- ≤ H ≤ h )= 1 - ……. (1) Dengan : h- = titik minimum (limit kepercayaan bawah) h = titik maksimum (limit kepercayaan atas) 1 - = koefisien kepercayaan (1 - ) 100% = interval kepercayaan = tingkat kesalahan yang masih ditolerir atau persentase nilai yang tidak dapat diestimasi.

Parameter yang umum diestimasi: 1. Ukuran pemusatan : mean= , Selisih mean = 1 - 2 = Estimasi mean dan selisih mean dapat dilakukan dengan : a. Distribusi Z : - Jika sampel yang diamati berasal dari populasi yang variansinya ( 2) dan standar deviasinya ( ) diketahui. - Jika sampel yang berasal dari populasi yang variansinya ( 2) dan standar deviasinya ( ) tidak diketahui ukuran sampel besar (n 30). b. Distribusi t-student (Distribusi t) - Jika sampel berasal dari populasi yang tidak diketahui variansinya ( 2) dan standar deviasinya ( ) ukuran sampel kecil (n 30). 2. Ukuran penyebaran : Variansi = 2, Rasio variansi dua populasi = F Estimasi nilai variansi dilakukan dengan distribusi chi-kuadrat (X 2), sedangkan estimasi nilai ratio variansi dua populasi dengan distribusi Fisher (F).

A. Estimasi Mean Populasi 1. Estimasi mean populasi sampel besar dengan distribusi Z Misal x 1, x 2, x 3…. xn adalah sampel acak dari suatu populasi dengan mean tidak diketahui dan variasi 2, dan = mean sampel maka : Mean ( )= Var (( )= 2/n Menurut teorama limit pusat jika n besar variabel random mendekati distribusi normal Maka rumus 1 akan berubah menjadi : Jika nilai Z diganti menjadi : Biasanya 2 tidak diketahui, tetapi karena n besar maka 2 dapat diasumsikan sama dengan s 2.

Sehingga: Contoh : Suatu sampel produk ikan dalam kaleng sebanyak 400 buah mempunyai rata umur simpan 23, 4 bulan dan standar deviasi s=6, 2 bulan. Berapakah kisaran umur simpan produk ikan dalam kaleng tersebut pada interval kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui : n besar maka digunakan distribusi Z dengan =s =23, 4 bulan dan s=6, 2 1 - =95%=0, 95 = 0, 05 /2 = 0, 025 Z 0, 025 = 1, 96. Maka: Kesimpulan: pada tingkat kepercayaan 95% maka umur simpas produk ikan dalam kaleng adalah antara 22, 79 – 24, 01 bulan.

2. Estimasi mean populasi dengan sampel kecil. - Digunakan untuk data sampel dengan variansinya ( 2) dan standar deviasinya ( ) tidak diketahui dan ukuran sampel kecil (n<30). - Jika adalah transformasi t dari sampel x 1 X 1, X 2, X 3, …Xn. Jika sampel diambil dari populasi berdistribusi t dengan derajat bebas (n-1) ditulis t(n-1). Distribusi ini tidak tergantung pada µ dan populasi. - Grafik distribusi t lebih memencar dibanding distribusi Z besar semakin mendekati distribusi Z. P(-tα/2(v) ≤T ≤ t α/2(v))=1 -α Jika nilai t diganti menjadi : jika n semakin

B. Estimasi interval proporsi p suatu populasi Jika X adalah variabel random binomial (n; p) maka variabel random X/n mempunyai mean = p dan variasi Mendekati untuk n besar harga distribusi normal. Pada interval konfidensi 1 -α untuk p adalah: Untuk estimasi proporsi jumlah sampel harus besar. C. Estimasi Variansi populasi normal Transformasi S 2 dihitung dari suatu sampel random x 1 X 1, X 2, X 3, …Xn yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan variansi 2 berdistribusi X 2 dengan derajat bebas = n-1.

Tabel V : harga X 2 (k; α) sehingga P(X 2 >X 2 (k; α) =α Untuk 0<α<1 maka : Untuk estimasi standar deviasi digunakan :

Contoh : Ingin diteliti interval variansi ( 2) dan standar deviasinya ( ) dari panjang buncis yang akan dikalengkan. Sampel acak sebanyak 20 buah dan diperoleh S 2=0, 01 inch dan S = 0, 1 inch. Hitunglah interval variansi ( 2) dan standar deviasinya ( ) yang sebenarnya dari buncis tersebut pada tingkat kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui n=20 1 -α=95% s 2=0, 01 α=5% s=0, 1 α/2=0, 025 Dari tabel V diperoleh : X 2 (19; 0, 025)=32, 85 dan X 2 (19; 0, 975) =8, 91 maka : P(0, 0058≤ 2≤ 0, 0213)=95% Atau P(0, 076≤ ≤ 0, 146)=95% Kesimpulan : Pada tingkat kepercayaan 95% variansi panjang buncis adalah 0, 0058 sampai dengan 0, 0213 inch sedangkan standar deviasinya berkisar antara 0, 076 sampai 0, 146 inch.