Vezirkpr Meslek Yksekokulu nternet ve A Teknolojileri Program

Vezirköprü Meslek Yüksekokulu İnternet ve Ağ Teknolojileri Programı (UZEM) UIAT 103 Matematik Öğr. Gör. Musa KARABACAK

Fonksiyonlar Hafta-14

Fonksiyon FONKSİYON • A ve B boş olmayan iki küme olsun. A daki her elemanı B kümesinde bir tek elemanla eşleyen f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyon denir ve f: A→B ya da A →f B şeklinde gösterilir. • Burada A kümesi fonksiyonun tanım kümesi, B kümesi fonksiyonun değer kümesidir.

Fonksiyon • f(A) yani görüntü kümesi B nin alt kümesidir. • f(A) ⊂ B

Fonksiyon NOT: Fonksiyon Olma Şartı 1. Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalıdır. 2. Tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde yalnız bir elemanla eşleşmelidir. Değer kümesi için aynı şeyler olmak zorunda değildir.

Fonksiyon Örnek: • Yukarıda verilen bağıntılardan hangileri fonksiyondur?

Fonksiyon Çözüm • f bağıntısında A kümesinde açıkta kalan eleman yok. Ayrıca A nın her elemanı B nin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleşmiş. • f bağıntısı fonksiyon olma şartlarından her ikisini de sağladığından A→B ye bir fonsiyondur. • (B de 4 elemanının açıkta kalması fonksiyon olma şartını bozmaz). Benzer yaklaşımla g bağıntısının da C→D ye fonksiyon olduğu söylenebilir. • h bağıntısında d elemanı açıkta kaldığından h bağıntısı fonksiyon olamaz. • k bağıntısında c elemanı M kümesinde birden fazla elemanla eşleştiğinden fonksiyon değildir.

Fonksiyon •

Fonksiyon Örnek: f: R → R f(x) = 2 x + 1 – f(x + 1) • f(4) = 2 olduğuna göre, f(2) nin değeri kaçtır? A) 0 B)1 C)2 D)3 E) 4 Çözüm x = 3 ⇒ f(3) = 2. 3 + 1 – f(4) f(3) = 7 – 2 = 5 x = 2 ⇒ f(2) = 2. 2 + 1 – f(3) f(2) = 5 – 5 = 0 bulunur. Yanıt A

Fonksiyon Örnek: f : R → R ye olmak üzere, f(x) = 2 x – 5 olduğuna göre, f(2 x + 1) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 x – 3 B)4 x + 7 C)4 x – 3 D) 4 x + 5 E) 3 x – 3 Çözüm • f(x) de x yerine 2 x + 1 yazılmalıdır. • f(x) = 2 x – 5 • f(2 x + 1) = 2(2 x + 1) – 5 • f(2 x + 1) = 4 x – 3 bulunur. Yanıt C

Fonksiyon Çeşitleri 1 -) İçine Fonksiyon f : A→B fonksiyonunda B kümesinde en az 1 tane eleman açıkta kalıyorsa, bu fonksiyona içine fonksiyon denir. • B kumesinde c ve d • elemanları açıkta kalmıştır. • f(A) ≠ B olmalıdır.

Fonksiyon Çeşitleri 2 -) Örten Fonksiyon f : A → B fonksiyonunda B kümesinde açıkta eleman kalmıyorsa f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. B kümesinde açıkta eleman kalmamış. f(A) = B olmalıdır.

Fonksiyon Çeşitleri 3 -) Bire–Bir Fonksiyon • f : A→B şeklinde tanımlanan bir fonksiyonda s(A) ≤ s(B) olmak üzere, A nın her elemanı B deki yalnız bir elemanla eşleşiyorsa ve eşleştikleri elemanlar da birbirinden farklıysa buna bire–bir fonksiyon denir. • Bire–bir fonksiyonda farklı elemanların eşleştikleri elemanlar da farklıdır.

Fonksiyon Çeşitleri Örnek: f : A → B fonksiyonu 1 – 1 ve içine fonksiyondur. s(A) = x 2 – 3 x + 1 s(B) = x 2 – 7 x + 5 olduğuna göre, x en çok kaçtır? A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 0 E) 1 Çözüm f içine fonksiyon olduğu için B kümesinde açıkta eleman kalmalıdır. Bu da s(A) < s(B) koşulunu gerektirir. x 2 – 3 x + 1 < x 2 – 7 x + 5 4 x < 4 x < 1 O halde en buyuk x değeri 0 dır. Yanıt D

Fonksiyon Çeşitleri 4 -) Birim Fonksiyon • f : A → A bir fonksiyon olsun. • ∀x ∈ A için f(x) = x ise f fonksiyonuna özdeşlik fonksiyonu veya birim fonksiyon denir ve Ι ile gösterilir.

Fonksiyon Çeşitleri 5 -) Sabit Fonksiyon • f : A → B fonksiyonunda A nın her elemanının B deki görüntüsü aynı ise f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. Sabit fonksiyonun grafiği x eksenine paralel bir doğrudur. ∀x ∈ A ve y ∈ B icin f(x) = y dir.

Fonksiyon Çeşitleri 6 -) Doğrusal (Lineer) Fonksiyon • f : R → R; f(x) = ax + b a ≠ 0 ve a, b ∈ R olmak uzere f fonksiyonuna doğrusal fonksiyon denir. Doğrusal fonksiyonlar 1 – 1 ve örtendir.

Fonksiyon Çeşitleri Örnek: f : R → R doğrusal bir fonksiyon olmak üzere, f(2) = 3 f(1) = – 1 olduğuna göre, f(0) değeri kaçtır? A) 1 B) – 1 C) – 2 D) – 4 E) – 5 Çözüm: f doğrusal fonksiyon olduğu için f(x) = ax + b şeklindedir. f(x) = ax + b f(2) = 2 a + b f(1) = a + b 2 a + b =3 a = 4 a + b = -1 b= -5 f(x)= 4 x – 5 f(0) = -5

Fonksiyon Sayısı •

Ters Fonksiyon • f: A→B, 1– 1 ve örten bir fonksiyon ise f– 1: B→A fonksiyonu, f fonksiyonunun tersidir. – (x, y) ∈ f ⇔ (y, x) ∈ f– 1 – y = f(x) ⇔ x = f– 1(y) dir. • f(x) fonksiyonunun tersi olan f– 1(x) i bulmak için y = f(x) fonksiyonunda x yerine y, y yerine x yazılır ve y yalnız bırakılırsa f– 1(x) bulunmuş olur.

Ters Fonksiyon •

Ters Fonksiyon •

Ters Fonksiyon •

Bileşke Fonksiyonların Bileşkesi f: A → B; g: B → C şeklinde tanımlanan f ve g fonksiyonları için x ∈ A ve (gof)(x) = g[f(x)] olacak şekilde edilen gof: A → C fonksiyonuna g ile f fonksiyonlarının bileşkesi denir. Not: Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. (fog)(x) ≠ (gof)(x) Bazı özel durumlar için (fog)(x) = (gof)(x) olabilir

Bileşke Fonksiyon Örnek: f : R → R ye olmak üzere, f(x) = 3 x – 2 fonksiyonu için (fof)(k) = 1 olduğuna göre, k değerini bulunuz. Çözüm (fof)(x) = f [f(x)] = 3 f(x) – 2 = 3(3 x– 2) – 2 = 9 x– 6– 2 = 9 x – 8 (fof)(k) = 9 k – 8 = 1 9 k = 9 k = 1 dir.