Vetores Segmento de Reta Orientado n Consideremos uma

Vetores

Segmento de Reta Orientado n Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r n Ao segmento de reta AB, podemos associar 2 sentidos : de A para B e de B para A Escrevemos AB para representar o segmento de reta AB associado com o sentido de A para B n

AB é o segmento orientado de origem A e extremidade B n BA é o segmento orientado de origem B e extremidade A n Chamamos BA , oposto de AB n Se A = B então o segmento orientado AB = BA é o segmento nulo, denotado por AA = 0 n

n n Definida uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado, pode-se associar um número real não negativo que é a sua medida em relação a esta unidade A medida do segmento AB é denotada por med(AB) Os segmentos nulos têm medida igual a zero. med(AB) = med(BA)

n n n Dados dois segmentos orientados não nulos AB e CD, dizemos que eles têm mesma direção, se as retas suportes destes segmentos são paralelas ou coincidentes Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados, se eles têm a mesma direção Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários, mas têm a mesma direção

Exemplos – Mesmo sentido

Exemplo – Sentidos Opostos

Equipolência n O segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD se: ¨ ambos têm mesma medida e mesmo sentido ¨ se ambos são segmentos nulos n Denota-se: AB ~ CD

Exemplos

Exemplos

Propriedades n 1. AB ~ AB (reflexiva) n 2. Se AB~CD então CD~AB (simétrica) n 3. Se AB~CD e CD~EF então AB~EF (transitiva)

Propriedades n 4. Dados um segmento orientado AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB~CD n 5. Se AB~CD então BA~DC n 6. Se AB~CD então AC~BD

Vetores n Chamamos vetor determinado por um segmento orientado AB, ao conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB n O vetor determinado por AB, indicamos por AB

n n n Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se AB~CD Um vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, que são chamados representantes desse vetor, e que são todos equipolentes entre si Os segmentos nulos são representantes de um único vetor, chamado vetor nulo, e denotado por 0

n Dado um vetor v = AB, chamamos o vetor BA oposto de AB e indicamos por -AB ou -v

Propriedade Decorre da propriedade 6 de equipolência a implicação: n Se AB = CD então AC = BD n

n n n Dado um vetor u , todos os seus representantes têm a mesma medida, chamada módulo do vetor u, e indicamos por |u | Dizemos que os vetores AB e CD não nulos têm mesma direção (mesmo sentido), se AB e CD têm mesma direção (mesmo sentido) Um vetor u é unitário se |u| = 1. Chamamos versor de um vetor não nulo u, o vetor unitário que tem mesmo sentido de u, e indicamos por u°

Dizemos que dois vetores não nulos são ortogonais, se podem ser representados por segmentos orientados ortogonais, e indicamos por u _v n O vetor Nulo é ortogonal a qualquer outro vetor no espaço n

Soma – Ponto + vetor n Dados um ponto A e um vetor v, existe um único ponto B tal que AB = v. O ponto B é a soma do ponto A com o vetor v, Indicado por A + v

Propriedades n 1. A + 0 = A n 2. (A – v ) + v = A n 3. Se A+ v =B+ v então A = B n 4. Se A+ u= A+ v, então u = v n 5. A + AB = B

Soma – Vetor + Vetor n Considere dois vetores u e v , e um ponto qualquer A. Sejam B = A +u e C = B + v n O vetor s = AC é chamado vetor soma de u e v e indicamos por s = u + v

n Observemos que o vetor s =u+ v independe do ponto A. De fato, se considerarmos outro ponto A’ obteremos B’ =A’ + u e C’= B’+ v n Assim, AB = A’B’ e BC = B’C’

n Usando a propriedade 1 de Vetores , concluímos que : AA’ = BB’ e BB’ = CC’ n AA’ = CC’ e portanto AC = A’C’

Propriedades (1) u + v = v + u ( comutativa )

(2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa )

(2) (u + v) + w = u + (v + w) ( associativa)

(3) u + 0 = u ( elemento neutro ) (4) u +(-u)= 0 ( elemento oposto ) n Indicamos o vetor u + (- v) por u - v.

n Notemos que u – v ≠ v - u

Produto de um número Real por um Vetor Dados a R* e v ≠ 0 , chamamos produto de a por v, o vetor w = av , que satisfaz as condições: 1. | w | = | a | | v | 2. A direção de w é a mesma da v 3. O sentido de w é igual ao de v se a > 0, e contrário ao de v se a < 0 n Se a = 0 ou v = 0, o produto av é o vetor nulo n

Exemplos

n Se a ≠ 0 , o produto 1/a v é indicado por v/a. Se v ≠ 0, é fácil mostrar que v/| v | é o versor de v n vº = v/| v | n portanto v =| v | v°

Propriedades Considere u e v vetores quaisquer, a e b números reais quaisquer n (1) a(b v) = (ab) v n (2) a(u + v) = au + av n (3) (a + b)v = av + bv n (4) 1 v = v n

Exercícios n Dados u, v e w, encontre 2 u -3 v + 1/2 w u v w

Exercícios 1 n Dados u, v e w, encontre 2 u -3 v + 1/2 w w/2 -3 v u v w 2 u

Exercício 2 O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD, Sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB. Encontre n AD+AB M D C n BA+DA n AC-BC n A N B

Exercício 2 AN+BC n MD+MB n BM-1/2 DC n D A N M B C

Exercício 2 AD+AB=AC n BA+DA=CD+DA=CA n AC-BC=AC+CB=AB n AN+BC=AN+NM=AM n MD+MB=MD+DN=MN n BM-1/2 DC=BM+MD=BD n D A N M B C