Vetores III Produto Escalar n Dados dois vetores

Vetores III

Produto Escalar n Dados dois vetores u e v não nulos, e escolhido um ponto O qualquer, temos: A=O+u e B=O+v n Chamamos ângulo de u e v a medida do ângulo AÔB determinado pelas semi-retas OA e OB

n Indicamos AÔB=(u, v), onde 0<=(u, v)<=π n Observe que se (u, v) = 0, os vetores u e v têm mesmo sentido e se (u, v) = π , estes vetores têm sentidos contrários

Produto Escalar Sejam u e v vetores não nulos. n O produto escalar de u por v, indicado por u. v, é o número real u. v = | u | | v | cos(u, v) n n Se um dos vetores for nulo temos u. v = 0

Exemplo Considere um quadrado ABCD de lado 2 u: n 1) AB. BC = | AB| | BC| cos 90º = 0 n 2) AB. AC = | AB| | AC| cos 45º = 4 n 3) AB. CD = | AB| | CD | cos 180º = -4. n

Produto Escalar n Sejam u um vetor não nulo e v um vetor qualquer. u n v O vetor v se exprime de maneira única na forma v=v 1+v 2, onde v 1 é paralelo a u e v 2 é ortogonal a u

Produto Escalar n Chamamos o vetor v 1, de projeção de v na direção de u e indicamos por projuv=v 1

Interpretação Geométrica n Se v é um vetor qualquer e u um vetor unitário, então v 1=proju v = (v. u) u n Como v 1 // u, temos v 1=t u n Basta mostrar que v. u = t

Interpretação Geométrica O ângulo θ=(u, v) é agudo n Temos t > 0, e daí | v 1 | =| t | | u |= t n

Interpretação Geométrica Por outro lado, o triângulo ABC é retângulo em A n t=|v 1|=|v| cosθ =| v | | u | cos θ = v. u n

O ângulo θ’=(u, v) é obtuso n temos t < 0, e daí | v 1 |= | t | | u |=- t n Além disso, o ângulo (u, v) = π-θ n

n Considere o triângulo retângulo EFG n t =-|v 1|=-|v|cosθ=-|v||u|cosθ=|v||u|cos(π-θ) =v. u

Medida Algébrica n Se 0≠| u |, temos proju v = projuº v=(v. uº)uº n Chamamos v. uº, a medida algébrica da projeção de v na direção de u e indicamos med alg proju v

Exemplo Dados u≠ 0, |v|=6 e (u, v) = 60º, temos: n med alg proju v=v. uº= | v || uº| cos 60º= 6 x 1 x 1/2=3 n n Daí, proju v=3 uº

Exemplo Dados a ≠ 0 , | b| = 8 e ( a , b) =120º n med alg proja b = b. aº = | b | | aº | cos 120º = 8 x 1 x -1/2 =-4 n n Daí, proja b = -4 aº

Propriedades 1) v. u = u. v n 2) u. v = 0 u é ortogonal a v n 3) u. u = |u|2 n 4) t (v. u) = (t v ). u = v. (t u) n

Propriedades 5) u. ( v +w ) = u. v + u. w n Nas propriedades, u, v e w são vetores quaisquer e t é um número real n As quatro primeiras propriedades decorrem diretamente da definição do produto escalar n

Propriedade 5 (prova) Se um dos vetores for nulo, a verificação é imediata. n Considere, na figura, os vetores u , v e w não nulos e os pontos O, A, B e C n

A=O+v, B=A+we. C=O+u n observe que: med alg proju (v +w) = med alg proju v + med alg proju w n ( v+ w ). u° = v. u° + w. u° n ( v+ w ). (| u |u° ) = v. (| u |u° ) + w. (| u |u°) n Então, ( v +w ). u = v. u + w. u n Pela propriedade 1, temos: u. ( v + w ) = u. v +u. w n

Expressão Cartesiana Dada uma base ortonormal { i, j, k} e os vetores u =(x 1, y 1, z 1) e v= (x 2 , y 2 , z 2 ) n u. v = (x 1 i+ y 1 j+ z 1 k). ( x 2 i+ y 2 j+ z 2 k) n n =(x 1 x 2)i. i+(x 1 y 2)i. j+(x 1 z 2)i. k+(y 1 x 2)j. i+ (y 1 y 2)j. j +(y 1 z 2)j. k+(z 1 x 2)k. i+(z 1 y 2)k. j+(z 1 z 2)k. k

Como { i , j, k} é uma base ortonormal, seus vetores satisfazem às relações: n i. j = j. k = k. i = 0 e i. i = j. j = k. k =1 n n u. v = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

n | u | 2 = u. u = x 12 + y 12 + z 12 | u |= n u v u. v = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2= 0

Exemplo Dados os vetores u = (1, 2, 2) e v = (2, 0, 2), temos nu. v=? n | u |= ? n uº = ? n

Exemplo Dados os vetores u = (1, 2, 2) e v = (2, 0, 2), temos nu. v=2+0+4=6 n | u |= n uº = u/|u|= 1/3(1, 2, 2) n

n n cos(u, v) = ? sendo w = (0, 2, -2), w u? med alg proju v = ?

n n cos(u, v) = (u. v)/(| u || v |) = sendo w = (0, 2, -2), u w pois u. w =0 med alg proju v = v. uº = 2 proju v = (v. uº)uº = ((2, 0, 2). (1/3, 2/3)) (1/3, 2/3) = (2/3, 4/3)