Verslo situacij kiekybiniai tyrimai 2013 01 05 Matematiniai
Verslo situacijų kiekybiniai tyrimai 2013 -01 -05
Matematiniai metodai ekonomikoje Input-output Įvesties -išvesties Sąnaudų - rezultato Statiniai balansiniai modeliai Dinaminiai balansiniai modeliai Operacijų tyrimas Matematinis programavimas Tinklinis planavimas Masinio aptarmavi mo teorija Sprendimų priėmimo teorija Lošimų teorija Srendimų medžiai Naudingumo teorija Ekonometrija Regresiniai modeliai Laiko eilutės
Matematiniai metodai ekonomikoje Matematinė statistika Lygčių sistemos Matricos Input-output Įvesties -išvesties Sąnaudų - rezultato Statiniai balansiniai modeliai Dinaminiai balansiniai modeliai Operacijų tyrimas Matematinis programavimas Tinklinis planavimas Masinio aptarmavi mo teorija Sprendimų priėmimo teorija Lošimų teorija Srendimų medžiai Naudingumo teorija Ekonometrija Regresiniai modeliai Laiko eilutės Mat. logika Tikimybių teorija
Kiekybiniai verslo situacijų tyrimai • Ekonometriniai metodai • Regresinė analizė • Optimizaciniai metodai • Gamybos planavimo uždaviniai • Dietos • Transporto uždaviniai
Regresinės analizės metodai •
Regresinio modelio sudarymo etapai ir žingsniai • Ekonominis • Statistinis • Ekonometrinės analizės
1 etapas: EKONOMINIS • Pirmas žingsnis: Ekonominės problemos formulavimas. • Analizuojamas verslo situacijos esminė problema ir tikslas. Sudaromas galimai įtakojančių veiksnių sąrašas. • Rezultatas: Įvardinamas nagrinėjamas reiškinys ir jį įtakojantys veiksniai, kurie yra būsimo modelio kintamieji. • Antras žingsnis: Ekonominių hipotezių iškėlimas • Analizuojamas kiekvieno iš veiksnių sąveikos su nagrinėjamu reiškiniu, kryptis ir pobūdis. • Rezultatas: Užduodami reikalavimai matematinei modelio išraiškai • Trečias žingsnis: Duomenų rinkimas • Rezultatas: Sudaromos nagrinėjamą reiškinį ir įtakojančius veiksnius apibūdinančios duomenų lentelės.
2 etapas: STATISTINIS • Ketvirtas žingsnis: Grafinė duomenų analizė. • Braižomos linijinės bei sklaidos diagramos • Penktas žingsnis: Modelio matematinės išraiškos užrašymas • Rezultatas: Užrašoma matematinė modelio lygtis (lygtys) • Šeštas žingsnis: Parametrų įverčių skaičiavimas • Excel skaičiuokle arba kitomis specialiomis programomis apskaičiuojami modelio koeficientai. Užrašomas modelis su skaitiniais koeficientais • Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė • Taikomos hipotezių tikrinimo procedūros. Atsakoma į klausimą, kurie veiksniai reikšmingai veikia nagrinėjamą reiškinį. o kurių įtaka nėra reikšminga • Aštuntas žingsnis: Viso modelio patikimumo tikrinimas • Tikrinamas modelio determinuotumas ir klasikinių modelio prielaidų tenkinimas
3 etapas EKONOMETRINĖS ANALIZĖS • Devintas žingsnis: analizei taikomos apskaičiuotos modelio rodiklių skaitinės reikšmės • Rezultatas. Modelio pagalba daromos ekonominės išvados, kurių negalima būtų gauti, betarpiško stebėjimo ar kitu būdu. • Dešimtas žingsnis: Ekonominių scenarijų kūrimas, prognozavimas.
1 etapas: EKONOMINIS • Pirmas žingsnis: Ekonominės problemos formulavimas. • Priklausomas kintamasis • yduonos kaina– ruginės duonos 1 kg kaina, • nepriklausomi kintamieji: • rugių kaina (xrugių kaina ) • cukraus (xcukraus kaiana ), • elektra (xelektros kaina ), • dyzelinas (xdyzelino kaina ), • darbo užmokestis (xdarb užm ).
1 etapas: EKONOMINIS • Antras žingsnis: Ekonominių hipotezių iškėlimas • Analizuojamas kiekvieno iš veiksnių sąveikos su nagrinėjamu reiškiniu, kryptis ir pobūdis. Keliamos hipotezės apie veiksnių sąveiką • rugių kaina (xrugių kaina ) ↑ → yduonos kaina • cukraus (xcukraus kaiana ) ↑ → yduonos kaina • elektra (xelektros kaina ) ↑ → yduonos kaina • dyzelinas (xdyzelino kaina ) ↑ → yduonos kaina • darbo užmokest. (xdarb užm )↑→ yduonos kaina
1 etapas: EKONOMINIS • Trečias žingsnis: Duomenų rinkimas • Rezultatas: Sudaromos nagrinėjamą reiškinį ir įtakojančius veiksnius apibūdinančios duomenų lentelės.
2 etapas: STATISTINIS • Ketvirtas žingsnis: Grafinė duomenų analizė. • Braižomos linijinės bei sklaidos diagramos 5. 10 Duonos kaina Duonos kainos priklausomybė nuo rugių kainos 5. 20 4. 90 4. 70 4. 50 Duonos kainos. . . 4. 30 4. 10 3. 90 2009/03 2010/03 4. 20 2011/03 rugių kaina, Lt/l 3. 70 100. 00 5. 10 4. 90 Duonos kainos priklausomybė nuo elektros kainos 5. 10 500. 00 700. 00 Duonos kainos priklausomybė nuo dyzelino kainos 4. 90 4. 70 4. 50 4. 30 4. 10 3. 90 18. 00 300. 00 elektros kaina, Lt/l 23. 00 28. 00 33. 00 4. 10 3. 90 2. 50 dyzelino kaina, Lt/l 3. 50 4. 50 5. 50
2 etapas: STATISTINIS • Penktas žingsnis: Modelio matematinės išraiškos užrašymas • Rezultatas: Užrašoma matematinė modelio lygtis (lygtys) Duonos kainos priklausomybė nuo darbo užmokesčio 5. 10 4. 90 R 2 = 0. 1695 4. 70 R 2 = 0. 1668 4. 50 R 2 = 0. 1696 4. 30 4. 10 darbo užmokestis 3. 90 1750. 00 1800. 00 1850. 00 1900. 00 1950. 00 Yduonos kaina =β 0 + β 1 Xdyz kaina +β 2 Xrugių kaina +β 3 Xelek kaina +β 4 Xdarbu užm + β 5 DPVM + ε ln(Yduonos kaina )=β 0 + β 1 ln(Xdyz kaina) +β 2 ln(Xrugių kaina) +β 3 ln(Xelek kaina) +β 4 ln(Xdarbu užm ) + β 5 DPVM + ε
2 etapas: STATISTINIS • Šeštas žingsnis: Parametrų įverčių skaičiavimas • Excel skaičiuokle arba kitomis specialiomis programomis apskaičiuojami modelio koeficientai. Užrašomas modelis su skaitiniais koeficientais
2 etapas: STATISTINIS • Šeštas žingsnis: Parametrų įverčių skaičiavimas • Excel skaičiuokle arba kitomis specialiomis programomis apskaičiuojami modelio koeficientai. Užrašomas modelis su skaitiniais koeficientais • Yduonos kaina = 0, 4180+0, 065+Xdyz kaina +0, 001 Xrugių kaina +0, 005 Xelek kaina +0, 001 Xdarbu užm +0, 231 XCukrus+0, 011 DPVM+ ε Koeficienta i Standartin ė paklaida Laisvasis narys 0, 418 0, 802 0, 521 0, 606 -1, 222 2, 059 Dyzelino kaina, Lt/ltr 0, 065 0, 092 0, 702 0, 488 -0, 123 0, 252 Rugiai, Lt/t 0, 001 0, 000 6, 265 0, 0006 0, 0012 Elektros kaina, ct/k. Wh 0, 005 0, 008 0, 630 0, 533 -0, 011 0, 021 Vid. Darbo Užmokestis, Lt/mėn. 0, 001 0, 000 3, 546 0, 001 0, 002 Cukraus kaina, Lt/kg 0, 231 0, 065 3, 543 0, 001 0, 097 0, 364 PVM pakeitimas 0, 011 0, 032 0, 359 0, 722 -0, 053 0, 076 t Stat P-reišmė Apatinis Viršutinis rėžis 95%
Įverčių savybės Tiesiniai, nepaslinkti, efektyvūs suderinti Prielaida Prielaidos simbolinė išraiška I. Regresijos funkcija koeficientų ir paklaidų atžvilgiu yra yi =+ 0+ 1 x 1 i+…+ nxni+ i tiesinė (tiesiškumas) I. I. Paklaidų vidurkis lygus nuliui (nulinis vidurkis) E( i) = 0 Paklaidos neautokoreliuoja (likučių ne autokoreliacijos) , Cov( i j) = 0, i, j / i j t. y, paklaidos tarpusavyje nėra susijusios ir nestebimi sklaidos dėsningumai. I. Paklaidų dispersija yra pastovi (ne heteroskedastiškumas) 2( i) = konstanta Didėjant nepriklausomų kintamųjų reikšmėms, priklausomojo kintamojo sklaidos intervalas išlieka pastovus. I. Nepriklausomi kintamieji nėra tiesiškai tarpusavyje susiję, xi + jxj, i, j / i j t. y. nėra tiesinės vieni kitų tiesinės kombinacijos (ne multikolinearumas, neinterkoreliacija ) I. Paklaidos pasiskirsčiusios pagal normalųjį skirstinį i ~ N (0, 2) (normalumas).
2 etapas: STATISTINIS • Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė • Standartinė įverčio paklaida • Įverčių tikslumas • į analizę įtrauktų stebėjimų skaičius kiek galima didesnis, • įtakojančių veiksnių (nepriklausomų kintamųjų) reikšmės kuo įvairesnės.
2 etapas: STATISTINIS • Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė • Parametro pasikliautini intervalai • βj [bj tn-k-1, /2 SEbj] • Įverčių tikslumas • Įverčio standartinė paklaida • Pasikliovimo lygmens
2 etapas: STATISTINIS • Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė • T-student statistika • Įverčių tikslumas • Įverčio standartinė paklaida
2 etapas: STATISTINIS Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė • Regresinės analizės įverčių reikšmingumo tikrinimo procedūrą 1. žingsnis. Formuluojamos hipotezės: • H 0 i = 0 (nepriklausomas veiksnys (xi) nedaro įtakos priklausomam kintamajam t. y. , koeficientas prie veiksnio gali būti lygus 0) • H 1 i ≠ 0 (xi poveikis reikšmingas - regresijos koeficientas prie veiksnio nelygus 0) • 2. žingsnis. Apskaičiuojama testo statistika. • Dydis t yra pasiskirstęs pagal Stjudento t-skirstinį su /2 reikšmingumo lygmeniu ir n-k-1 laisvės laipsniais. t. y t~ t /2(n-k-1)
2 etapas: STATISTINIS Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė • 3 žingsnis Apskaičiuota t statistikos reikšmė lyginama su teorine t-skirstino t /2(n-k-1) reikšme. • 4 žingsnis. Daromos išvados Jei apskaičiuotos |t| reikšmės modulis yra didesnis už teorinę t-skirstinio reikšmę, tuomet nulinė hipotezė atmetama ir priimama alternatyvi hipotezė. Su 1 - tikimybe (pvz. , = 0, 05, t. y. , 95 proc. tikimybe. Priešingu atveju, kai t apskaičiuotos reikšmės modulis yra mažesnis už teorinę reikšmę t /2(nk-1), negalime atmesti nulinės hipotezės,
2 etapas: STATISTINIS Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė • Nykščio taisyklės (orientaciniai kriterijai): • T-statistika didesnė už 2 (0, 95 proc tikimybė) • P –reikšmė mažesnė už 0, 05 • Į pasiklaurinus intervalus nepatenka 0 reikšmė
2 etapas: STATISTINIS Septintas žingsnis: Veiksnių statistinio reikšmingumo analizė • Kintamieji gali būti statistiškai nereikšmingi dėl šių priežasčių: • Veiksniai iš tiesų nedaro įtakos nagrinėjamas reiškiniui. • dėl laisvės laipsnių trūkumo „Nykščio taisyklė“ į modelį įtrauktų stebėjimų skaičius bent 6 kartus turi būti didesnis už nepriklausomų kintamųjų skaičių“. • Tam tikri veiksniai netenkina interkoreliacijos klasikinės prielaidos,
VU EF V. Karpuškienė Multikolinearumo diagnostika Porinių koreliacijų matrica Yi=b 0+ b 1 X 1 i+ b 2 X 2 i + …bk. Xki+ei Koreliacijos koeficientų tarp Xj matrica Ky. X = r 1 r 2 r 3 r 4 rk Koreliacijos koeficientų tarp Y ir Xj kintamųjų vektorius KXX = 1 r 12 r 13 … r 2 1 1 r 23. . . r 31 r 32 1 rk 2 rk 3. . . r 1 k r 2 k r 3 k 1
Nykščio taisyklė Jeigu porinės koreliacijos koeficientas |rij | yra didesnis už 0. 8, tuomet regresinis modelis pasižymi interkoreliacija tarp X i ir Xj veiksnių. VU EF V. Karpuškienė Multikolinearumo diagnostika Porinių koreliacijų matrica
Multikolinearumo diagnostika Porinių koreliacijų matrica
Multikolinearumo tikrinimas • Vieno ar kelių stipriai koreliuojančių veiksnių pašalinimas. • Papildomų stebėjimų įtraukimas. • Duomenų koregavimas.
Reikšmingų kintamųjų parinkimas Backward procedūra • Pirmas žingsnis • Apskaičiuojame dauginę regresiją, įtraukdami visą kintamųjų sąrašą = f(x 1, x 2, . . . xk) • Surandame visų įverčių apskaičiuotas statistikas: 1 tb 1, 1 tb 2 1. . . tbk • Išrenkame mažiausią 1 tbj statistiką Palyginame gautą statistikos 1 tbj reikšmę su teorine tn-k-1, α/2 reikšme Jeigu 1 tbj tn-k-1, α/2 , j veiksnio į regresiją netraukiame
Reikšmingų kintamųjų parinkimas Backward procedūra • Antras žingsnis • Apskaičiuojame dauginę regresiją be veiksnio j = f( x 1, x 2. . xj-1, xj+1, . . . xk) • Apskaičiuojame visų įverčių statistikas 2 tb 1 , 2 tb 2. . . 2 tbk • Randame mažiausią 2 tbs statistiką • Palyginame gautą 2 tbs su teorine statistikos tn-k-1, /2 reikšme • Jeigu 2 tbs tn-k-1 α/2 , s veiksnį pašaliname iš regresijos
Reikšmingų kintamųjų parinkimas Backward procedūra • Backward procedūra baigiama: kai visos apskaičiuotos įverčių t statistikos didesnės už teorinę reikšmę tn-k-1 , α/2
Regresijos patikimumas • Pakankamas determinuotumas • Tenkinamos prielaidos
Regresijos determinuotumas Bendrieji regresija paaiškinta nepaaiškinta svyravimai dalis (TSS) (ESS) (RSS) Determinacijos koeficientas
Autokoreliacijos problemos esmė Autokoreliacijos priežastys: • nagrinėjamo reiškinio inertiškumas • Netiksliai parinkti nagrinėjamą reiškinį įtakojantys veiksniai • Neteisingai parinkta veiksnių priklausomybės matematinė išraiška
Autokoreliacijos problemos esmė Kodėl autokoreliacija yra blogai • MKM apskaičiuotas determinacijos koeficiento R 2 yra didesnis už tikrąjį • MKM apskaičiuotos įverčių standartinės paklaidos SEbj yra mažesnės • Negalima tikrinti hipotezių nei t-stjudento nei F kriterijaus pagalba
Autokoreliacijos diagnostika • Grafinis būdas • Durbin-Watson testas • Ženklų kriterijus
Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas
Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas
Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas ei ei-1
Autokoreliacijos diagnostika Yi=b 0 + b 1 X 1 i + b 2 X 2 i + b 3 X 3 i. . . + bk. Xki + ei Pirmos eilės autokoreliacija ei= ρ·ei-1 + ui , kur ρ - koreliacijos koeficientas tarp ei ir ei-1 -1 ρ 1 Antros eilės autokoreliacija ei= ρ·ei-2 + ui. . .
Autokoreliacijos diagnostika Grafinis būdas
Autokoreliacijos diagnostika Durbin-Watson kriterijus Durbin -Watson statistika d 2 (1 - ρ ) ρ =0 d=2 ρ = -1 d=4 ρ=1 d=0
Autokoreliacijos diagnostika Durbin-Watson testas • • H 0 : autokoreliacijos nėra , t. y, ρ =0 H 1 : autokoreliacija yra t. y, | ρ | 1 Apskaičiuojame d statistiką išvados: Jeigu • d. U d 4 - d. U H 0 • d d. L arba d 4 - d. L H 1 • d. L d d. U arba 4 - d. U d 4 - d. L neapibrėžtas rezultatas
Autokoreliacijos diagnostika Durbin-Watson kriterijus Neapibrėžtumo sritys Teigiama autokoreliacija 0 autokoreliacijos nėra d. L d. U 2 4 -d. U Neigiama autokoreliacija 4 -d. L 4
Autokoreliacijos problemos sprendimo būdai 1. Įtraukti naujus veiksnius • laiko veiksnys • vėluojantis priklausomas kintamasis 2. Peržiūrėti modelio matematinę išraišką 3. Tranformuoti duomenis. • Skaičiuoti pokyčių, o ne absoliučių dydžių regresiją: Yt - Yt-1 = b 1(Xt - Xt-1) + …… ui
- Slides: 45