VERPLAATSINGENMETHODE Introductie Eindige Elementen Methode EEM De eerste

VERPLAATSINGENMETHODE Introductie Eindige Elementen Methode (EEM) “De eerste kennismaking” Ir J. W. (HANS) Welleman ir J. W. Welleman 1 12/5/2020

EENVOUDIG BASISBOEK l Eindige-elementenmethode voor staafconstructies, Johan Blaauwendraad, Academic Service. 1 Probleemanalyse l 2 Constructiemodellen l 3 Plan van aanpak l ir J. W. Welleman 2 12/5/2020

1 PROBLEEMBESCHRIJVING l Gegeven een model met belasting l Gevraagd : Een methode om op een systematische manier (i. v. m. automatisering) de krachtsverdeling en de vervorming in het model te bepalen ir J. W. Welleman 3 12/5/2020

SYSTEMATIEK (buiging) Verplaatsing Vervorming Snede-krachten ( hoekverdraaiing & ( kromming ) ( moment & zakking ) dwarskracht ) Belastingen ( belastingen ) Kinematische Relatie ir J. W. Welleman Constitutieve Relatie Evenwichts Relatie 4 12/5/2020

SYSTEMATIEK l Kinematische relaties l Constitutieve relaties l Evenwichtsrelaties krachtenmethode verplaatsingenmethode Numerieke aanpak : klassieke aanpak : Eindige-Elementen. Methode ( EEM ) ir J. W. Welleman 5 12/5/2020

KRACHTENMETODE Ouderwets l Handenarbeid (arbeidsintensief) l Kiezen van de statisch onbepaalde vereist ervaring l “moeilijk te structureren” l “Geeft wel inzicht en leidt tot begrip” l ir J. W. Welleman 6 12/5/2020

VERPLAATSINGENMETHODE l Systematische aanpak MAAR VOORAL STATISCH BEPAALD OF ONBEPAALD MET OF ZONDER VERPLAATSBARE KNOPEN : VEEL PRAKTISCHER HET MAAKT NIET UIT ! MODERN, LEUKER l één METHODE : Computer ir J. W. Welleman 7 12/5/2020

2 CONSTRUCTIEMODELLEN l Geometrisch model l knopen l staven staaf knoop Materiaalgegevens l Belastingen l Randvoorwaarden l ir J. W. Welleman 8 12/5/2020

2 D STAAFWERKMODELLEN l Vakwerken l Raamwerken (buiging en extensie) – (niet-verplaatsbare knopen) – (verplaatsbare knopen) ir J. W. Welleman (extensie) 9 12/5/2020

3 PLAN VAN AANPAK l BASISBEGRIPPEN ELEMENTEN (LEGOSTENEN) l EDUCATIEVE STRUCTUUR l – – l Element assemblage en belasting op knopen Verwerken randvoorwaarden Oplossen van onbekenden Postprocessing WERKELIJKE STRUCTUREN ir J. W. Welleman 10 12/5/2020

BASISBEGRIPPEN UITGANGSPUNTEN Onbekend : verplaatsingen in de knopen ( vrijheidsgraden, degree of freedom, dof ) l l Bekend : belastingen in de knopen l Model is opgebouwd uit elementen waarvan het gedrag bekend is => Eindige-elementenmethode : EEM ir J. W. Welleman 11 12/5/2020

BASISBEGRIPPEN ASSENSTELSEL (3 D) l Rechtsdraaiend orthogonaal assenstelsel x-as z y-as y x z-as ir J. W. Welleman x (om de x-as) y (om de y-as) z (om de z-as) 12 12/5/2020

y BASISBEGRIPPEN VRIJHEIDSGRADEN (2 D) l Vakwerk x-as z-as B A u. B w. B u. A w. A l B Raamwerk A w. B u. A w. A ir J. W. Welleman u. B A B 13 12/5/2020

BASISBEGRIPPEN TEKENAFSPRAKEN l Ty zie de basisboeken Toegepaste Mechanica n Fx positieve z-zijde Fz ir J. W. Welleman z-as N V positieve snede V M n x-as N negatieve snede 14 12/5/2020

ELEMENTEN l • Elementkrachten zijn de koppels op de staafuiteinden • Vrijheidsgraden zijn de hoekverdraaiingen van de staafuiteinden Educatief element Buiging met niet-verplaatsbare knopen element (e) Tj (e) Ti(e) i ir J. W. Welleman knoop i EI l knoop j j 15 12/5/2020

ELEMENT STIJFHEIDSMATRIX l l Verband tussen rotaties en de koppels T op de uiteinden Methode ? b. v. vergeet-mij-nietjes Tj (e) i T i ir J. W. Welleman 16 12/5/2020

EDUCATIEVE CONSTRUCTIE Ti Tj (1) i ir J. W. Welleman Tk (2) j k 17 12/5/2020

BEKIJK EEN ENKELE KNOOP element (1) Tj (uitwendige belasting) element (2) Tj (2) knoop i knoop j knoop k KNOOPEVENWICHT ir J. W. Welleman 18 12/5/2020

Tj (uitwendige belasting) KNOOPEVENWICHT l Momentenevenwicht: l Uitwerken per element Element 1 ir J. W. Welleman Tj (1) Tj (2) knoop j Element 2 19 12/5/2020

EVENWICHTSVERGELIJKING l knoop j levert 1 vergelijking l n knopen met n onbekende vrijheidsgraden leveren zo : n vergelijkingen met n onbekenden ir J. W. Welleman 20 12/5/2020

STRUCTUUR v/h SYSTEEM systeem stijfheidsmatrix ir J. W. Welleman dof’s krachtenvector 21 12/5/2020

SNELLE ASSEMBLAGE ( knoop j ) Evenwicht per knoop = omslachtig ! element 2 element 1 8 ir J. W. Welleman x = Tj(uitw) 22 12/5/2020

ONBEKENDEN Hoekverdraaiingen in de knopen l Eventuele inklemmingsmomenten l inklemmingsmoment i = ? Tj (uitwendig)= ? i ir J. W. Welleman 23 12/5/2020

BEKENDEN l l Koppels (uitwendige belasting) Voorgeschreven hoekverdraaiing bij inklemming gegeven belasting Ti (uitwendig) = 0 i BEKENDE VERPLAATSINGEN NA OPSTELLEN VAN HET STELSEL “VERWERKEN” ir J. W. Welleman 24 12/5/2020

VOORBEELD 2 1 (1) l (2) 3 (4) (3) 50 k. Nm alle staven : EI = 8000 k. Nm 2 l ir J. W. Welleman 4 l 5 l = 4, 0 m 25 12/5/2020

ASSEMBLEER HET STELSEL • Element 1 tussen knoop 1 en 2 • Element 2 tussen knoop 2 en 3 • Element 3 tussen knoop 2 en 4 • Element 4 tussen knoop 3 en 5 ir J. W. Welleman “VERWERK” DE RANDVOORWAARDEN 26 12/5/2020

OPLOSSEN (Lineaire Algebra) oplossen met b. v. DERIVE of MAPLE ir J. W. Welleman 27 12/5/2020

OPLOSSING l Alle verplaatsingen bekend l KLAAR ? ir J. W. Welleman NEE : Los oplegreactie op ! 28 12/5/2020

OPLEGREACTIES l Gebruik de weggestreepte vergelijking T 1 = 2, 73 k. Nm ir J. W. Welleman 29 12/5/2020

POSTPROCESSING Bepaal de krachtsverdeling in de constructie (M-lijn) l Hoe ? l Per element met: l Tj (e) i T i onbekend ir J. W. Welleman bekend 30 12/5/2020

ELEMENTKRACHTEN l T 2 Voorbeeld : element 1 (1) 2 (1) T 1 1 (tussen knoop 1 en 2) 2, 73 M-lijn 1 2 element 1 5, 46 ir J. W. Welleman 31 12/5/2020

RESUME VAN DE AANPAK l l l l MODELLEER DE CONSTRUCTIE BEPAAL PER ELEMENT DE ELEMENTSTIJFHEIDSMATRIX ASSEMBLEER DE SYSTEEMSTIJFHEIDSMATRIX STEL DE SYSTEEM-KRACHTENVECTOR OP VERWERK DE RANDVOORWAARDEN LOS HET GEREDUCEERDE STELSEL OP BEPAAL DE OPLEGREACTIES BEPAAL PER ELEMENT DE KRACHTSVERDELING ir J. W. Welleman 32 12/5/2020

ONDERWIJSTOOL • Eenvoudige gebruikersinterface • Voor vak- en raamwerken (2 D of 3 D) • Voor complexe analyse heel veel keus: ANSYS, ABAQUS, AFEMS, DIANA (NL van TNO), ESA (NL), NASTRAN, MARC, Robot en …. ir J. W. Welleman 33 12/5/2020

VOORBEELD Matrix. Frame ir J. W. Welleman 34 12/5/2020