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Capítulo 4 Movimiento Central. 4. 1. Fuerzas Centrales. Las fuerzas centrales son fuerzas entre dos cuerpos dirigidas según la recta que une los centros de ambos. El movimiento de un sistema de dos cuerpos bajo fuerzas centrales es un problema importante de la física que se puede resolver completamente. Podemos pensar en términos de un centro de fuerzas O, una fuerza central actuando sobre un punto P está dirigida según la dirección que une a los puntos anteriores: Consideremos ahora el momento angular de una partícula P respecto a un punto O:

Figura 4, 1: Plano de movimiento determinado por la posición y velocidad iniciales. Trabajaremos ahora en coordenadas polares en el plano de movimiento de la partícula. Las ecuaciones de movimiento son:

Veamos una aplicación de la conservación del momento angular. Consideremos el encuentro en el espacio de dos astronautas: Tenemos dos astronautas, que para simplificar tomaremos que tienen la misma masa: m 1 = m 2 = m y que se acercan en vuelo libre de propulsión con velocidades iguales y contrarias v 0 v 0 Vamos a describir todo desde el sistema del centro de masa. Las trayectorias iniciales serán rectas. Cuando los dos astronautas están suficientemente cerca, a una distancia d, uno de ellos dispara un cable (de masa despreciable), cuyo cabo agarra el otro. a Desde ese momento los dos astronautas están en interacción mutua y buscan reunirse, tirando del cable y acortando la distancia que los separa. El punto de reunión será el centro de masa CM. Analicemos la conservación del momento angular. Como hemos visto, el movimiento de los dos astronautas ocurrirá en un plano fijo normal al momento angular, definido por las dos rectas de las velocidades iniciales y su módulo será:

La conservación del momento angular implica que: 1. Los astronautas no pueden salir del plano inicial, por mas que tiren del cable, se retuerzan o cuando lleguen a encontrarse se empujen o se agarren mutuamente. 2. El sentido de giro de los dos astronautas alrededor de CM será siempre el mismo, y no se podrá invertir aunque interactúen mutuamente. 3. El producto v(t)d(t)sena(t) permanecerá constante, si llamamos s(t) = d(t)sena(t), tenemos que v(t)s(t) = v 0 s; de manera que si s(t) disminuye v(t) aumentará. v 0 a Veamos un ejemplo numerico: v 0 = 2 m/seg, y s = 25 m y buscan acercarse, tirando del cable a una s’ = 0. 5 m para darse un abrazo. La velocidad angular w cuando se abrazan será de 2 v/s’ = 2 v 0 s/s’ 2 = 4*25/0, 25= 400 radianes/seg. Quizá no parezca demasiado. Sin embargo, corresponde a una frecuencia de rotación n de casi 64 revoluciones por segundo! Ejercicio: calcular la fuerza que deberían hacer los astronautas para mantenerse abrazados.

4. 2. Fuerzas isotrópicas. Consideremos ahora una fuerza que además de central es isotrópica, esto es, sólo depende de la distancia al centro de fuerzas pero no de la dirección:

De , manera que volviendo a la ecuación podemos escribir el lado de la izq. usando el teorema del trabajo y la energía como DT = TB - TA; mientras que la integral nos queda -DU= UA - UB y agrupando es equivalente a que

A esta misma ecuación de conservación de la energía (4. 8) se puede llegar multiplicando a la ecuación (4. 4) por e integrando en t Para convencernos, lo más fácil es proceder a la inversa, esto es partir de la energía cinética , y derivando respecto a t obtenemos: que, usando, la ecuación (4. 5) se transforma en: En resumen, = x lado derecho de (4. 4)

4. 2. 1. Potencial efectivo. A partir de (4, 6), . podemos eliminar a q de la ecuación (4. 8): que re-ecribimos como ( (3. 16): )

puntos de equilibrio (antes) pasan a ser órbitas circulares (r = cte. , Q variable). Ejemplo. -Potencial elástico. Consideremos una partícula sujeta mediante un resorte de longitud natural nula y constante elástica k a un centro de fuerzas fijo; el potencial que experimenta la partícula debido a la fuerza elástica es: U(r) = ½ kr 2 Figura 4, 2: Potencial efectivo (ℓ 0) para una partícula sujeta a una fuerza elástica. Para una energía dada E se destacan los puntos de retroceso (rm, r. M), el radio r 0 y la energía E 0 de la órbita circular.

Supongamos que variamos las condiciones iniciales de manera de obtener diferentes energías pero sin afectar al momento angular ℓ (y sin afectar por lo tanto al potencial efectivo). La mínima energía que la partícula puede tener es la correspondiente al mínimo del potencial efectivo (E 0), Para esa energía, el único valor accesible de r es el correspondiente al mínimo (r 0) y la partícula se mueve en una órbita circular (esa órbita es estable). El radio de esta órbita circular se puede hallar también sin necesidad de encontrar el potencial efectivo, basta considerar r = 0 en (4, 4) y usar la conservación del momento angular (4, 6). Para una energía E por encima de E 0 la partícula se puede encontrar a las distancias que van desde el mínimo rm al máximo r. M que son los llamados puntos de retroceso y. verifican r = 0, es decir, son las raíces de Uef (r) = E.